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Ch8 : Suites-TS

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SUITES NUMERIQUES

I. Présentation des suites numériques

Une suite est un ensemble infini où chaque élément se voit attribuer un numéro

Définition d"une suite.

Une suite (un) est une fonction définie sur l"ensemble ø qui à tout entier naturel n associe un et un

seul réel noté un.

Autrement écrit :

(un) : ø ¾¾® ô n ¾¾® un = u(n) Note : l"image de l"entier n est notée un au lieu de u(n).

Ainsi :

(u

n) désigne la suite. On aurait pu l"appeler u comme une fonction peut s"appeler f. Mais l"usage veut

que ce soit (u n).

A retenir : On dit aussi que u

n est le terme de rang n de la suite.

Avec quoi peut-on définir une suite ?

Il y a deux manières de définir une suite :

Par une formule explicite comme une fonction.

Par exemple, on peut parler de la suite (u

n) définie pour tout entier n par : Un = n n +1

Pour calculer u

34, il suffit juste de remplacer n par 34. C"est comme pour les fonctions.

Cette suite est en fait un raccourci de la fonction f(x) = x (x+1).

En effet, pour tout entier n, u

n = f(x).

Exercice n°01

On considère la suite (un)n;3 définie par un = 1 n

2 - 4 .

Calculer u

3 ; u4 ; u5 ; u100 .

Exprimer u

n+1 - un en fonction de n , et montrer que un+1 - un < 0 pour tout n ; 3

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Par une formule de récurrence.

C"est-à-dire qu"un terme est défini par rapport au précédent.

Par exemple, on peut considérer la suite (u

n) définie par :

Pour calculer u

34, il faut auparavant calculer u1, u2, ...., u32 et u33. C"est-à-dire tous les termes qui le

précèdent...

Un vrai travail de calculatrice ou d"ordinateur !

C"est pour cela que le plus souvent, on essaie de trouver une formule explicite. Sauf que parfois il n"y

en a pas... Il existe certainement d"autres façons de définir des suites mais elles ne sont quasiment pas employées au lycée. C"est pour cela que nous nous bornerons à ces deux manières.

Exercice n° 02

On considère la suite (wn)nÎIN définie par w0 = - 2 et wn+1 = 1 2 wn - 3.

Calculer w

1 ; w2 ; w3 et w4 .

II. Suites arithmétiques et géométriques a) Suites arithmétiques

Définition d"une suite arithmétique.

Dire que la suite (un) est arithmétique de raison r signifie que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r Ainsi, si est une suite est arithmétique alors :

Par exemple, la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ... est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3

Propriété :

Si (un) est une suite arithmétique de raison r alors pour tout entier n, un = u0 + n × r De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors : un = up + (n - p) × r

Ces formules permettent de calculer n"importe quel terme d"une suite arithmétique ou bien encore sa

raison.

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Exercice n°03

(un)nÎIN désigne une suite arithmétique de raison r. · Sachant que r = 2 et u4 = 30, calculer u0 et u8 . · Sachant que u4 = 35 et u2 = 15, calculer r et u0 .

· Sachant que u1 = 2p et u3 = 4p

2 , calculer u2 .

Le truc en plus :

pour démontrer qu"une suite est arithmétique, il suffit de prouver que la différence entre deux termes

consécutifs est constante. C"est-à-dire qu"il suffit de montrer que pour tout entier n, u n+1 - un = constante = r

Si r est négatif alors

(un) est décroissante.

Si r est nul alors

(un) est constante.

Si r est positif alors

(un) est croissante.

Exercice n°04

Les suites définies sur IN par un = 3n + 5 ; wn = 3 x 2n sont-elles arithmétiques ? si oui, quel est leur sens de variations ?

Somme des n premiers entiers.

Si le premier terme est u0, la somme des n premiers termes est S = u

0 + u1 + u2 + L + un-1 = k = 0

k = n-1uk

Si le premier terme est u

1 , la somme des n premiers termes est S = u1 + u2 + u3 + L + un = k = 1∑

k = nuk Attention la somme S = u0 + u1 + u2 + L + un est une somme de (n + 1) termes.

Théorème :

Si n est un entier naturel non nul alors :

ou plus généralement : S = nombre de termes ´ 1 er terme + dernier terme 2 Par exemple, la somme des 100 premiers entiers est égale à :

1 + 2 + .... + 100 =

= 5050

Exercice n°05

(un) désigne une suite arithmétique de raison r, Sn = u0 + u1 + L + un . · Sachant que r = 5 et u0 = 1, calculer u4 et S10. · Sachant que u3 = 5 et S4 = 15, calculer r et u0.

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- 4/9 - b) Suites géométriques

Définition d"une suite géométrique.

Dire que la suite (un) est géométrique de raison q signifie que pour tout entier naturel n,

un+1 = un × q

Autrement dit, nous avons la chose suivante :

Par exemple, la suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48... est la suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2

Propriété :

Si (un) est une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n, un = u0 × qn De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors un = up × qn-p

Ces formules permettent de calculer n"importe quel terme d"une suite géométrique ou bien encore sa

raison.

Exemple :

(u n) est une suite géométrique de raison q = -3 et telle que u7 = 24 . Déterminer u13. Nous pourrions passer par le premier terme de la suite u

0. Mais ce n"est pas nécessaire.

On peut écrire que :

u

13 = u7 × q13-7 = 24 × (-3)6 = 24 × 729 = 17496

Déterminer la raison q et le premier terme v

0 de la suite géométrique (vn) sachant que

v

4 = 7 et v7 = 56.

Commençons par la raison q. On peut écrire que : v

7 = v4 × q7-4 d"où 56 = 7 × q3 d"où q3 = 8 d"où q = 2

Car un seul nombre a pour cube 8 : il s"agit de 2.

Pour ce qui est du premier terme v

0, on peut écrire que :

v

4 = v0 × q4 d"où 7 = v0 × 24 d"où v0 =

Exercice n°06

(un)nÎIN désigne une suite géométrique de raison q.

· Sachant que u2 = 5 et u3 = 7, calculer u

4 . · Trouver toutes les suites géométriques telles que u0 = 1 et u2 = 1.

Le truc en plus :

pour démontrer qu"une suite est géométrique, il suffit de prouver que le quotient de deux termes

consécutifs est constant. C"est-à-dire qu"il suffit de montrer que pour tout entier n, = constante

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Exercice n°07

Les suites suivantes sont-elles géométrisues ? Si oui, quel est leur sens de variation ? U n = 2´3 n Vn = 1 n Somme des n+1 premières puissances d"un nombre réel.

Théorème :

Si n est un entier naturel non nul et si q est un réel différent de 1 alors :

Sn = U0 + U1 + ... + Un = U0 ´ 1 - q

n+1 1 - q Et dans le cas général : Sn = 1er terme ´ 1 - q nombre de termes 1 - q Par exemple, la somme des 11 premières puissances de 2 est égale à : exercice n°08 (un) désigne une suite géométrique de raison q, Sn = u0 + u1 + L + un . · Sachant que u0 = 3 et q = - 5, calculer u3 et S3. · Sachant que u0 = 1 et q = 2 , calculer S63

Exercice n°09

On considère la suite (un) définie par u0 = 8 et un+1 = 2un - 3 pour tout n Î IN .

1. Soit (vn) la suite définie pour tout n Î IN par vn = un - a ; a étant un réel fixé.

Exprimer vn+1 en fonction de vn et de a.

Déterminer une valeur de a pour laquelle la suite (vn) est géométrique.

2. Soit (vn) la suite définie pour tout n Î IN par vn = un - 3.

Exprimer vn en fonction de n . En déduire une expression de un en fonction de n.

3. Soit N un entier. Exprimer en fonction de N la somme SN = u0 + u1 + ... + uN-1

Vérifier pour N = 5 en calculant u1, u2, u3 et u4.

III. Propriétés des suites

Suites bornées.

Une suite est dite bornée si elle ne dépasse pas une certaine borne ! Définition d"une suite minorée ou majorée. Dire que la suite (un) est minorée par le réel m signifie que pour tout entier n, un m. Dire que la suite (un) est majorée par le réel M signifie que pour tout entier n, un M.

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Monotonie.

Une suite est dite monotone lorsqu"elle a toujours le même sens de variation, c"est-à-dire lorsqu"elle

est exclusivement croissante ou bien décroissante ou bien constante.

La définition de la croissance ou de la décroissance est exactement la même que celle des fonctions.

Théorème : caractériser la monotonie d"une suite. Dire qu"une suite (un) est croissante équivaut à dire que pour tout entier n, un : un+1

L"ordre est conservé

Dire qu"une suite (un) est décroissante équivaut à dire que pour tout entier n, un ; un+1

L"ordre est inversé

Exemple

On considère la suite (u

n) définie pour tout entier n par : u n = n2 + 5.n nous allons regarder comment sont deux termes consécutifs quelconques u n et un+1 Pour cela, nous allons nous intéresser au signe de leur différence u n+1 - un.

Pour tout entier n, on peut écrire :

Or n est un entier naturel donc il est positif comme 2n + 1.

Pour tout entier naturel, on a u

n+1 - un 0 c"est-à-dire un+1 un.

Donc la suite (u

n) est croissante.

Conclusion : la suite (u

n) est monotone : elle ne fait que croître. Pour la décroissance, on procède de même !

Exercice n°10

On considère la suite définie par un = n - 1 n + 2 pour tout nÎIN.

Démontrer que la suite (u

n) est croissante.

Propriété

Soit n0 Î IN . Si f est une fonction croissante sur [ n0 ; +¥ [, la suite (un)n;n0 définie par un = f(n) est une

suite croissante.

Remarque

On a une propriété identique avec une fonction décroissante.

La condition est suffisante, mais pas nécessaire, c"est-à-dire que la suite peut être croissante alors que

la fonction ne l"est pas. (voir représentations graphiques ci-dessous) f(x) = cos(2p x) + x u n = cos(2p n) + n La fonction n"est pas croissante La suite est croissante

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Exemple

On peut démontrer que la suite (u

n) définie par un = n - 1 n + 2 est croissante en justifiant que la fonction x ¾¾® x - 1 x + 2 est une fonction croissante sur [ 0 ; +¥ [.

Exercice n°10

Étudier le sens de variation des suites :

n2 + 1 n n³1 (()) 2n nn³1 (((

1 - n3

1 + n3nÎIN

IV. Suites adjacentes

Définition :

On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque :

° (un) est une suite croissante ;

° (vn) est une suite décroissante ;

° limn® +d ( )Vn - Un = 0

Propriété :

Si (un) et (vn) sont des suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Exercice n°11

On considère les suites (u

n) et (vn) définies par : Un = 1 - 10- n et Vn = 1 + 10- n

1. Donner les valeurs de u

0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4,v4.

2. Démontrer que les suites (u

n) et (vn) sont adjacentes.

3. Quelle est leur limite ?

Exercice n°12

On considère les suites (u

n) et (vn) définies par : .nnaturelentiertoutpour, 41v3v
2v etnnaturelentiertoutpour,41u3u 0u n1n0 n1n0?

1. Dans un repère orthonormé (O,[i ,[j ) tracer les droites (ù) et (D) d"équations respectives

y = 3x + 1

4 et y = x

2. En utilisant ces deux droites, placer sur l"axe des abscisses les réels u

1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

3. Calculer u

1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

4. Démontrer que les suites (u

n) et (vn) sont convergentes et donner leur limite.

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V. Le raisonnement par récurrence

De quoi s"agit-il ?

Avant toute chose, nous allons dire ce qu"est un raisonnement par récurrence.

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- 9/9 - Donc la formule est alors aussi vraie au rang n+1. Donc elle se propage de rang en rang : un domino qui tombe, entraînera la chute du suivant... La propriété est donc vraie au rang n : P(n)

¾¾® P(n + 1)

Le principe de propagation que nous avons établi, nous permet alors de dire que la propriété est alors

vraie au rang 1, donc au rang 2, donc au rang 3,...

Tous les dominos tombent...

Conclusion : Pour tout entier naturel n, u

n = 2n+2 + 3. Second exemple : la somme des n premiers entiers : par récurrence Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,

P(n) :

La formule est vraie au rang 1/Le premier domino tombe. S 1 = 1

Ainsi pour n = 1, nous avons que :

La formule est donc vraie au rang 1. P(1) vraie.

La formule se propage

Supposons que la formule soit vraie à un rang n, c"est-à-dire que : Nous allons prouver qu"alors elle est vraie au rang n+1. A ce stade, la seule chose que nous sachions sur S n+1 est qu"il est la somme des n+1 premiers entiers.

Autrement dit :

Donc la formule est alors vraie au rang n+1. Donc elle se propage de rang en rang P(n)

¾¾® P(n + 1)

Conclusion : la somme des n premiers entiers est égale àquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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