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Suites numériques

1. Calculer u1 u2







SUITES NUMERIQUES

Calculer u3 ; u4 ; u5 ; u100 . Exprimer un+1 – un en fonction de n et montrer Pour calculer u34



On considére le sous-espace vectoriel F 1 de R4 formé des solutions

Soit u1 = e1 +e2 -e3 +e4 u2 = e1 +2e2 +e3 +e4 u3 = e1 -e2 +e3 -e4 et u4 = 2e1 +3e2 +2e4. 1) Sans calcul





Suites : Exercices Avec correction

Calculer u1 u25 et u100. 2. On donne : u3 Calculer u4



I) La loi des mailles

Calculer toutes les autres tensions : Réponses attendues: U3 =E–U1 – U2 = 15-2-4 = 9v. U5 = U3 – U4 = 9-3 = 6v. U8 = U5 – U6 – U7 = 6-1-3 = 2v. EXERCICE N°3.



correction Loi des circuits

U4. I5. U5. U3. I3. G. R2. R1. G. R2. R1. Dérivation. Série. U. U. U1. U2 équations de la maille n°1et 2 par la loi des mailles puis calculer U2 et U3.



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Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3 u1 = 8 u2 = 13 u3 = 18 Une telle suite est appelée une suite arithmétique de 



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1) Calculer u2 et u3 2) Quelle est la nature de la suite (un) ? On donnera son premier terme et sa raison 3) Exprimer un+1 en fonction de un



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Sachant que u1 = 2? et u3 = 4?2 calculer u2 Le truc en plus : pour démontrer qu'une suite est arithmétique il suffit de prouver que la différence entre 



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Calcul de u0 u1 u2 u3 u4 et u5 : Point méthode : pour calculer les termes d'une suite définie seulement en fonction de n (sans faire appel à



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La suite un est une suite arithmétique de premier terme u0=– 3 et de raison 2 1 Calculer u1 u2 u3 u4 2 Exprimer un en fonction de n 3 Calculer 



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Par exemple soit (un)n? la suite définie par pour tout entier naturel n : un = n2 On a : u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 9 On peut aussi calculer par 



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Cette formule permet aussi de calculer la raison d'une suite arithmétique dont on u1 u2 est une somme de deux termes ; u1 u2 u3 est une somme de 



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Application : Calcul de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique Exemple : Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison 



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u0 = 38 400 ; u1 = u0 ?400 = 38 000 ; u2 = u1 ?400 = 37 600 ; u3 = u2 ?400 = 37200 Plus généralement : un+1 = un ?400 On a une suite arithmétique de 



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Corrigé du Contrôle Continu no 1 Exercice 1 Soit (un)n?N la suite arithmétique de premier terme u0 = 117 et de raison r = ?3 1 Calculer u4 et u35

  • Comment calculer u1 u2 u3 ?

    Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2 Comme u0 = 1, on a u0+1 = ?3u0 +2 soit u1 = ?3?+2 = ?1 u1+1 = ?3u1 +2 soit u2 = ?3×(?1)+2 = 5 u3 = ?3u2 +2 = ?3?+2 = ?13 u4 = ?3u3 +2 = ?3×(?13)+2 = 41 u5 = ?3u4 +2 = ?3?+2 = ?121. 2.

  • Comment calculer la valeur de u1 ?

    On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en rempla?nt n par 0.

  • Comment calculer V1 et V2 ?

    V1 = V0 – 15%V0 = (1 – 0,15) x V0 = 0,85 x 18 000 = 15 300 € en 2004. V2 = V1 – 15%V1 = (1 – 0,15) x V1 = 0,85 x 15 300 = 13 005 € en 2005. Le montant la valeur de la voiture définit une suite géométrique (Vn) de premier terme V0 = 18000 et de raison q = 0,85. Donc, pour tout entier n, on a Vn +1 = 0,85 x Vn .
  • Re: Determiner la relation Un+1 et Un
    En effet : si la plaque absorbe 10% de l'intensité, il en reste 90 % et calculer 90 % consiste à multiplier par 0,9 donc tu as bien une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 0,9. Attention tu as un=u0×qn ce qui donne un=100?,9n.

Exercices sur les suites (1ères Techno)

1 Généralités : calculs de termes, mode de définition (explicite, récurrente),

représentation graphique, sens de variation

Exercice n

o1 (corrigé ci après) Soitula suite définie pour tout entier naturelnparunAEn2¡3nÅ2. 1.

C alculeru0,u1,u2,u3,u4etu5.

2.

P eut-onca lculeru100directement?

3. L asu iteest -elled éfiniede faç onexp liciteou ré currente? 4.

D ansla f euillede calcul ci-dessou s,qu ellefor mulepeut-on ent rerdan sla cell uleB3 pour obten ir,p arext en-

sion vers le bas, les termes de la suite?5.R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1.

6. Q uellecon jecturepeu t-onémett requ antau sen sde v ariationde la su iteu. 7. C alculerunÅ1¡unet démontrer la conjecture précédente.

Corrigé :

1.

C alculd eu0,u1,u2,u3,u4etu5:

Point méthode : pour calculer les termes d"une suite définie seulement en fonction den(sans faire appel à

u

n¡1, ni aucun terme de la suite) il suffit de remplacernsuccessivement par les valeurs des indices 0, 1, 2, 3,

... Tout se passe comme si on avait une fonctionuqui à une variablenassocieu(n) etu(n) est l"image den

par la fonctionu. on au0AE02¡3£0Å2AE2 u

1AE12¡3£1Å2AE0

u

2AE22¡3£2Å2AE0

u

3AE32¡3£3Å2AE2

u

4AE42¡3£4Å2AE6

u

5AE52¡3£5Å2AE12

2. O ui,on calcul eru100directement en donnant ànla valeur 100 :u100AE1002¡3£100Å2AE702 3.

L asu iteest défin iede f açone xplicite.

4. O npeut ent rerda nsla cellu leB3 la f ormule"=A3 b2 - 3*A3+2». 5.

R eprésentation:

6.L asu iteusemble strictement croissante à partir des termes d"indicenAE2.

7.

C alculonsunÅ1¡un:

u

AE2n¡2

Sin¸2, 2n¡2È0 donc pourn¸2,unÅ1¡unÈ0 doncunÅ1Èunce qui montre que la suiteuest strictement

croissante à partir de l"indicenAE2.

Exercice n

o2 Soitula suite définie pour tout entier naturelnparunAE1nÅ1¡1. 1.

C alculeru0,u1,u2,u3,u4etu5.

2.

P eut-onca lculeru100directement?

3. L asu iteest -elled éfiniede faç onexp liciteou ré currente? 4.

D ansla f euillede calcul ci-dessou s,qu ellefor mulepeut-on ent rerdan sla cell uleB3 pour obten ir,p arext en-

sion vers le bas, les termes de la suite?5.R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1.

6. Q uellecon jecturepeu t-onémett requ antau sen sde v ariationde la su iteu. 7. C alculerunÅ1¡unet démontrer la conjecture précédente.

Exercice n

o3 (corrigé) Soitula suite définie paru0AE1 et, pour tout entier natureln, parunÅ1AE¡3unÅ2. 1.

C alculeru1,u2,u3,u4etu5.

2.

P eut-onca lculeru100directement?

3. L asu iteest -elled éfiniede faç onexp liciteou ré currente? 4.

D ansla f euillede calcul ci-dessou s,qu ellefor mulepeut-on ent rerdan sla cell uleB3 pour obten ir,p arext en-

sion vers le bas, les termes de la suite?

5.R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1.

6.

L asu iteuest-elle monotone?

Corrigé

1.

C alculd eu1,u2,u3,u4etu5:

à des valeurs de termes précédents) il suffit de remplacernsuccessivement par les valeurs des indices 0, 1, 2,

3, ... Ici, dans les expressions obtenues, on aurau1en fonction deu0;u2en fonction deu1;u3en fonction de

u 2... Commeu0AE1, on au0Å1AE¡3u0Å2 soitu1AE¡3£1Å2AE¡1 u

1Å1AE¡3u1Å2 soitu2AE¡3£(¡1)Å2AE5

u

3AE¡3u2Å2AE¡3£5Å2AE¡13

u u 2. O nne p eutp asc alculeru100directement puisqu"il faut connaîtreu99pour le calcul. 3. L asu iteest défin iede f açonr écurrente? 4.

D ansla f euilled eca lcul,on en trerdan sl acellu leB 3pour obt enir,par exten sionv ersle bas ,les ter mesde l a

suite la formule "=-3*B2+2». 5. R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1. 6. L asu iteun"est pas monotone puisqu"il y a alternance des signes et (u0Èu1Çu2).

Exercice n

o4 Soitula suite définie paru0AE1 et, pour tout entier natureln, parunÅ1AEu2n¡3unÅ2. 1.

C alculeru0,u1,u2,u3,u4etu5.

2.

P eut-onca lculeru100directement?

3. L asu iteest -elled éfiniede faç onexp liciteou ré currente? 4.

D ansla f euillede calcul ci-dessou s,qu ellefor mulepeut-on ent rerdan sla cell uleB3 pour obten ir,p arext en-

sion vers le bas, les termes de la suite?5.R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1.

6. Q uellecon jecturepeu t-onémett requ antau sen sde v ariationde la su iteu.

Exercice n

o5 Soitula suite définie paru0AE2 et, pour tout entier natureln, parunÅ1AEu2n¡3unÅ2. 1. L asu iteest -elled éfiniede faç onexp liciteou ré currente? 2.

C alculeru0,u1,u2,u3,u4etu5.

3.

P roposerune expr essionexplicite p ourun.

Exercice n

o6 Soitula suite définie paru0AE1 et, pour tout entier natureln, parunÅ1AE10un¡9nÅ8. 1.

C alculeru0,u1,u2,u3,u4etu5.

2.

P roposerune expr essionexplicite p ourun.

Exercice n

o7 Soitula suite définie paru0AE1 et, pour tout entier natureln¸1, parunAE(nÅ1)un¡1Å1n 1.

C alculeru0,u1,u2,u3,u4etu5.

2.

P roposerune expr essionexplicite p ourun.

Exercice n

o8 (Tableur)

PARTIE A

En 2019, le stock de cabillaud au large des côtes d"un littoral était estimé à 5 000 tonnes.

En raison de la surpêche, ce littoral a vu le stock de cabillaud diminuer sensiblement aux abords des côtes.

Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter la disparition de cette espèce dans ce

littoral et fixe à 600 la masse, en tonnes, de cabillaud pouvant être pêchés en 2019. Les autorités imposent que la

masse, en tonnes, de cabillaud pouvant être pêché diminue de 30 chaque année à partir de 2019.

On notemnla masse, en tonnes, de cabillaud pouvant être pêché dans ce littoral en (2019Ån). Ainsi,m0AE600.

1. C alculerm1la masse, en tonnes, de cabillaud pouvant être pêché dans ce littoral en 2020. 2. C alculerm2la masse, en tonnes, de cabillaud pouvant être pêché dans ce littoral en 2021. 3.

Q uelleest la n aturede la sui tem?

4.

D onnerl "expressionde mnen fonction den.

5. C alculerm10et interpréter le résultat dans le contexte. 6.

O ns ouhaitec réeru nef euillede c alculcalcul antla q uantitémaximale pou vantêt repêch éep aran ainsi q ue

la masse totale maximale ayant pu être pêchée depuis 2019.(a)Q uellefor mule,ent réeen B3 et étirée v ersl eba sper metd "obtenirles ter mesde l as uitemgénérée dans la

colonne B? (b)

Q uelleformule,entréeenC3etétiréeverslebaspermetd"obtenirlamassetotalemaximalepêchéedepuis

2019.
7. C ompléterles cell ulesde l ap lageB8 :C14 g râceà u nta bleurou u necalculatr ice. 8. Q uellemass et otalemaximale ser apêch éeent re2 019et 2 029(i nclus)?

PARTIE B

En réalité, quand des quotas de pêches sont instaurés, la population de cabillauds augmente de 12% par an. Les

autorités locales décident de fixer à 500 la masse, en tonnes, de cabillaud pouvant être pêchés chaque année à partir

de 2019 (l"augmentation de la population précède la saison de pêvhe).

On notecnla masse, en tonnes, de cabillaud présent dans ce littoral en (2019Ån). Ainsi,c0AE5 000.

1.

D émontrerq uel am assec1, en tonnes, de cabillaud présent dans ce littoral en 2020 estc1AE5 100.

2. C alculerc2la masse, en tonnes, de cabillaud présent dans ce littoral en 2020. 3.

Q uelleest la n aturede la sui tec?

4.

D onnerl "expressionde cnen fonction den.

5. C alculerc10et interpréter le résultat dans le contexte.

Exercice n

o9 (Répartition d"une population et exode rural (corrigé))

Dans une région comptant 96 000 habitants en 2017,64 000 habitent à la campagne et 32 000 en ville.

On suppose dans ce modèle que la population totale de la région reste stable égale à 96 000 habitants toute la durée

de l"étude (à savoir au moins 100 ans).

On constate que tous les ans, 16% des ruraux deviennent citadins et que 4% des citadins deviennent ruraux.

On veut prévoir l"évolution de la répartition (ruraux/citadins) afin de de construire des logements, écoles et infra-

structures en nombres adaptés.

On note (cn) le nombre d"habitants vivant à la campagne dans cette région l"année (2017Ån) et (vn) le nombre

d"habitants vivant en ville dans cette région l"année (2017Ån). 1.

D onnerles v aleursde c0etv0.

2. C alculerc1,v1,c2etv2.On arrondira les résultats à l"unité. 3. L asu itecest-elle arithmétique? géométrique? 4. L asu itevest-elle arithmétique? géométrique? 5.

O nc hercheà prév oirla répa rtitiondes habit antsde cett erégion su rl el ongt ermee nsupp osantqu el esflu x

de populations restent constants. Pour cela, on crée une feuille de calcul :

(a)Q uellef ormulep eut-onsaisir en B 3pu isen C3 afin de gén érerles t ermesdes sui tescetvaprès étirement

vers le bas? (b)

C ommentse répa rtissentà ter meles p opulations?(st abilisationd esp opulationsurbaine et r urale?déser -

tification des campagnes?) (c)

Dé terminergrâceautableurunevaleurn0dentellequevn0AE76800.Calculeralorscn0puisvn0Å1etcn0Å1.

Que peut-on dire des suites (vn) et (cn) à partir du rangn0?

Exercice n

o10 (Corrigé de l"exercice concernant la répartition d"une population et exode rural)

Dans une région comptant 96 000 habitants en 2017,64 000 habitent à la campagne et 32 000 en ville.

On suppose dans ce modèle que la population totale de la région reste stable égale à 96 000 habitants toute la durée

de l"étude (à savoir au moins 100 ans).

On constate que tous les ans, 16% des ruraux deviennent citadins et que 4% des citadins deviennent ruraux.

On veut prévoir l"évolution de la répartition (ruraux/citadins) afin de de construire des logements, écoles et infra-

structures en nombres adaptés.

On note (cn) le nombre d"habitants vivant à la campagne dans cette région l"année (2017Ån) et (vn) le nombre

d"habitants vivant en ville dans cette région l"année (2017Ån). 1. O na, d "aprèsl "énoncé,c0AE64 000 etv0AE32 000. 2.

C omme1 6%des r urauxp artentl "année0, il r este8 4%d esr urauxà la c ampagnel "année1 et c ommec ette

population rurale accueille 4% de ceux qui étaient citadins l"année 0, on a : c

Pour le calcul dev1, le plus simple est de calculer 96 000¡c1puisque la population totale reste stable.

viennent citadins).

De même :

c 3.

O na c1¡c0AE¡8 960 etc2¡c1AE¡7 168 donc la différence de termes consécutifs n"est pas constante : la suite

cn"est pas arithmétique?

On ac1/c0AE0,86 etc2/c1AE0,87 donc le quotient de termes consécutifs non nuls n"est pas constant : la suite

cn"est pas géométrique? 4.

O na v1¡v0AE8 960 etv2¡v1AE7 168 donc la différence de termes consécutifs n"est pas constante : la suitev

n"est pas arithmétique? vn"est pas géométrique? 5. (a) E nB3, on peu tsaisir : "= 0,84*B2+0,04*C2»p uisen C 3: "=96 000-B3». (b)

À t ermel espopul ationssemble ntav oirune répa rtitionst able: 19 2 00ha bitantsen camp agneet 7 6800 e n

ville. (c) G râceau tableu ron l itque n0AE52 puisquev51AE76799 etv52AE76 800.

On a alorsc52AE96 000¡76 800AE19 200.

Il vient :

v et c Les suites (vn) et (cn) semblent constantes à partir du rangn0AE52.

Exercice n

o11 (Plan de carrière)

E ntreprise1 : U nsalair emen suelde 2 100 eur osla p remièrea nnéeet c haqueann ée,le salair em ensuelsubit

une augmentation de 60 euros;

-E ntreprise2 : U nsalair emen suelde 1 80 0eur osla p remièrea nnéee tc haqueann ée,le salair emen suelsubit

une augmentation de 2,5%;

E ntreprise3 : U nsalair emen suelde 2 30 0eur osla p remièrea nnéee tc haqueann ée,le salair emen suelsubit

20 euros.

On note respectivementun,vnetwnles salaires mensuels proposés par les entreprises 1, 2 et 3 la n-ième année de

travail après l"embauche. Ainsi,u1AE2 100,v1¡1 800 etw1AE2 300. On étudie l"évolution des salaires et leur cumul sur une carrière complète (42 ans).

PARTIE A

1.

P ourl "entreprise1 :

(a)

C alculeru2etu3.

(b)

D onnerla na turede la su iteu.

(c)

E xprimerunÅ1en fonction deun.

(d)

E xprimerunen fonction den.

(e)

C alculeru42et interpréter cette valeur.

2.

P ourl "entreprise2 :

(a)

C alculerv2etv3.

(b)

D onnerla na turede la su itev.

(c)

E xprimervnÅ1en fonction devn.

(d)

E xprimervnen fonction den.

(e)

C alculerv42et interpréter cette valeur.

3.

P ourl "entreprise3 :

(a)

C alculerw2etw3.

(b) L as uitewest-elle arithmétique? Géométrique? (Justifier par le calcul.)

PARTIE B

On va utiliser une feuille de calcul pour comparer la progression des salaires et leur cumul sur toute la carrière.1.I ndiquerl esf ormulessa isiesdan sles cell ulesB 3,D3 et F 3.L essaisir pui sl esét irerju squ"àla li gne43 .

2. D ansl acell uleC2, on a sa isi: "=B2*12 ».À q uoic orrespondce ca lcul? 3. D ansl acell uleC3, saisir pu isét irerjusq u"àla li gne43 la f ormule: " =C2+ B3*12 ». 4. Q uellev aleurcon tientla cell uleC 43?I nterpréterle résul tat. 5. E nv ousi nspirantdes f ormulessaisies en C 2et C3 ,r emplirles colonn esE et G. 6.

D éterminerl "entrepriseà ch oisirpour :

(a) gag nerle plu sr apidementp ossibleun salair emen suelsupér ieurou ég alà 3 00 0eu ros. (b) obten irun c umuld essal airessu r42 a nsle plu sélev é. (c)

obten iru nemo yennedes sal airesdes 2 5d ernièresann éesd etr availla plu sél evéeposs ible(a finde ma xi-

miser sa retraite).

Exercice n

o12 (Suite homographique) Soitula suite définie paru0AE¡1 etunÅ1AE96¡un. On admet que pour tout entier natureln,un6AE6 et donc que la suiteuest bien définie.

1.C alculeru1etu2et vérifier que la suite n"est ni arithmétique, ni géométrique.

2.

O npose vnAE1u

n¡3pour tout entier natureln. On admet que pour tout entier natureln,un6AE3 et donc que la suitevest bien définie. (a)

C alculerv0,v1etv2.

(b)

C onjecturerla n aturede la sui tevet sa raison.

(c) Dé montrerl esc onjecturesp récédentese tca lculantvnÅ1¡vn.

Exercice n

o13 Soitula suite définie paru0AE1 etunÅ1AEunÅ2n¡1. 1.

C alculeru1,u2etu3.

2. L asu iteuest-elle monotone? (croissante? décroissante?) 3. Vér ifierqu ela su iteun"est ni arithmétique, ni géométrique. 4. O npose vnAEun¡4nÅ10 pour tout entier natureln. On admet que pour tout entier natureln,un6AE3 et donc que la suitevest bien définie. (a)

C alculerv0,v1,v3etv4.

(b)

C onjecturerla n aturede la sui tevet sa raison.

(c) Dé montrerl esc onjecturesp récédentese texpr imantvnÅ1en fonction devn.

2 Suites arithmétiques

Exercice n

o14 (oral) Calculerv2,v3etv4pour la suitevarithmétique de terme initialv1AE1 000 et de raisonrAE¡6.

Exercice n

o15 (oral) Calculerv2,v3etv4pour la suitevarithmétique de terme initialv1AE¡6 et de raisonrAE1 000.

Exercice n

o16 (exo) Soitvla suite arithmétique telle quev9AE15 etv13AE35. 1.

C alculerla r aisonrde cette suite.

2.

C alculerv0.

indication : faire un schéma (à traduire en équation...)!v

13AE35v

12v 11v 10v

9AE15v

8v 7v 6v

5ÅrÅrÅrÅrExercice n

o17 Soitvla suite arithmétique de terme initialv0AE¡14 et de raisonrAE5. 1.

D onnerle sens de v ariationd ev.

2.

C alculerl "indicedu p remierter mep ositif.

3.

C alculerv50.

Exercice n

o18 Soitvla suite définie pour tout entier natureln, parvnAEn2Å3. 1.

C alculerv0,v1etv2.

2. R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1.

3.L asu itesemb le-t-ellear ithmétique?

Indication : se rappeler de ce qu"ont de remarquable les points représentant une suite arithmétique.

4. D émontrerq uel as uiten "estp asar ithmétique.

Point méthode : Pour démontrer qu"une suite n"est pas arithmétique, il suffit de montrer que la différence

entre deux termes consécutifs n"est pas constante. Ainsi, siv2¡v16AEv1¡v0, la suitevn"est pas arithmétique.

On peut aussi bien sûr calculervnÅ1¡vnet montrer que c"est une quantité qui dépend denet n"est donc pas

constante.

Exercice n

o19 Soitwla suite définie pour tout entier natureln, parwnAE4nÅ3. 1.

C alculerw0,w1etw2.

2. R eprésentergr aphiquementl est ermesde la sui tecalcul ésà l aque stion1. 3. L asu itesemb le-t-ellear ithmétiqueau vu de la r eprésentationg raphique?( Justifier.) 4. D émontrerq uel as uiteest ar ithmétiqueet p récisersa r aison. 5.

P réciserle sens de v ariationde w.

3 Suites géométriques

Exercice n

o20 (oral) Calculerv2,v3etv4pour la suitevgéométrique de terme initialv1AE1 000 et de raisonrAE0,5.

Exercice n

o21 (oral) Calculerv2,v3etv4pour la suitevde terme initialv1AE¡1 000 et de raisonrAE2.

Exercice n

o22 (oral) Soitvla suite géométrique telle quev4AE5 etv6AE45. 1.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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