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EXERCICE I : ( 6 points)
On considère la suite () définie par = 2 -
1° Calculer
2° Etudier le sens de variation de cette suite.
3° Montrer que cette suite est majorée par 2.
Corrigé On considère la suite () définie par = 2 -1° Calcul des premiers termes
= 2 -10 + 1= 2 - 1 = 1;= 2 -1
1 + 1=3
2 = 2 -11 + 2= 2 -1
3 =5 32° Pour tout de
- = 2 -1 + 1 + 1 - 2 -1 + 1 = -1 + 2+1 + 1=(- - 1 + + 2) + 1)( + 2)=1 + 1)( + 2) ⋆ ≥ 0 ⟹ + 1 ≥ 1 + 2 ≥ 2⟹ + 1 > 0 + 2 > 0⟹1 + 1)( + 2) > 0 ⟹ - > 0Ainsi la suite (
) est strictement croissante.3° Pour tout de
≥ 0 ⟹ + 1 ≥ 1 ⟹ + 1 > 0 ⟹ 1 + 1 > 0 ⟹ -1 + 1< 0 ⟹ 2 -1 + 1< 0 ⟹ < 2Ainsi, pour tout de ,
< 2, la suite () est majorée par 2EXERCICE III : (8 points)
1° On considère la suite () définie par
= 6 = 2- 5 ( ∈ ) a) Calculer b) A l"aide de la calculatrice, déterminer2° On considère la suite
(!) définie par != 2+ 5 ( ∈ )Etudier le sens de variation de la suite
3° Montrer que les suites
() et (!) sont égales. Corrigé On considère la suite () définie par = 6 = 2- 5 ( ∈ ) et la suite (!) définie par != 2+ 5 ( ∈ )1°
= 2 - 5 = 2 × 6 - 5 = 7 = 2 × - 5 = 9La calculatrice donne
= 41012° Pour tout de
- !=(2- 5)-(2- 5)= 2- 2= 2× 2 - 2= 2(2 - 1)= 2 ⋆ 2 > 0 ⟹ 2 > 0 ⟹ !- !> 0Ainsi la suite (!
) est strictement croissante.3° Montrons que la suite (!
) a les mêmes caractéristiques que la suite () = 2 + 5 = 1 + 5 = 6 =· Pour tout de
= 2+ 5 2! - 5 = 2(2+ 5)- 5 = 2 × 2+ 10 - 5 = 2- 5 = 2!- 5La suite(!
) a le même premier terme que la suite () et elle vérifie la même relation de récurrence,
Ainsi les suites (
) et (!) sont égales.Extrait DS 2012
EXERCICE II : ( 7 points )
On considère la fonction & définie sur [-1;+∞[ par &())= 2 +* Une partie de sa courbe représentative est donnée en annexe.Soit la suite
() telle que = &(), c"est-à dire = 2 +* pour ∈ .1° Représenter graphiquement sur l"annexe les quatre premiers termes de la suite. On laissera apparents
les traits de construction.Emettre quatre conjectures.
2° Calculer
3° Etudier le sens de variation de la suite.
4° a) Montrer que pour tout
∈ , on a : > 2. b) Montrer que la suite () est majorée.5° On considère l"algorithme :
Données
Initialisation
entrer un réel , =0 =14/3Traitement Tant que |-2|≥,
Affecter à la valeur +1
Affecter à
la valeur 2+*FinTantque
Affichage Afficher
a) En faisant fonctionner l"algorithme avec , = 0,5 ; préciser la valeur affichée pour . On détaillera
les différentes étapes. b) Un utilisateur a fait fonctionner l"algorithme avec , = 0,01 et a obtenu comme valeur = 399.Interpréter cette valeur obtenue.
Corrigé
On considère la fonction & définie par &())= 2 +*Soit la suite
() telle que = &(), c"est-à dire = 2 +* pour ∈ .1° Emettre quatre conjectures :
La suite
() semble décroissante, minorée par 2 , majorée par 5 et convergente vers 2.2° Calculer
= 2 +82 × 0 + 3=14
3;= 2 +8
2 × 1 + 3=18
5; = 2 +82 × 2 + 3=22
73° Etudier le sens de variation de la suite.
Pour tout
de - = 2 +8 2 ( + 1)+ 3 - 2 +82 + 3 =8
2 + 5-8
2 + 3=8(2 + 3)- 8(2 + 5)
2 + 3)(2 + 5)= ⋯ =-16
2 + 3)(2 + 5)
≥ 0 ⟹ 2 + 3 ≥ 32 + 5 ≥ 5⟹ 2 + 3 > 02 + 5 > 0⟹-162 + 3)(2 + 5)< 0 ⟹ - < 0
Ainsi la suite
() est strictement décroissante.4° a) Montrer que pour tout
∈ , on a : 2Pour tout
de 0 ⟹ 2 0 ⟹ 2 3 3 ⟹ 2 3 0 ⟹82 3 0 ⟹ 2 8
2 3 2 ⟹ 2
Ainsi pour tout
∈ , on a : 24.b. Montrer que la suite
est minorée.La suite
) est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme.5° On considère l"algorithme :
Données
Initialisation
entrer un réel , 014/3Traitement Tant que |2|,
Affecter à la valeur 1
Affecter à
la valeur 2*FinTantque
Affichage Afficher
5a. En faisant fonctionner l"algorithme avec
, 0,514/3,0
|14/32|0,50 1 1 →
2 22 85 22 1,6 0,5
1 1 2 →
2 22872231,140,5
2 1 3 →
2 22 89 223 0,88 0,5
3 1 4 →
2 "4 → 228112230,72
0,54 1 5 →
2 "5 → 22 813 223 0,61
0,5
5 1 6 →
2* "6 → 228152230,53
0,56 1 7 →
2 "7 → 22 817 223 0,47
0,5
Arrêt
Affichage : 89
5b. Le plus petit entier
tel que | 2| 0,01 est : 399EXERCICE III : (10 points)
On considère la fonction & définie sur par &) ) 3 et la suite ) définie par = -2 = &() c"est-à-dire : = -2 + 3 ( ∈ )1. Dans le repère orthonormé en annexe ,
a) Tracer la droite Δ représentant la fonction & et la droite < d"équation = = ) b) En utilisant ces droites, placer les termes ; ;4 de la suite sur l"axe des abscisses.Laisser apparents les traits de construction.
c) Emettre des conjectures.2.a. Calculer
2.b. Déterminer une valeur approchée à 10
> près deà l"aide de votre calculatrice.
2.c. Recopier et compléter l"algorithme pour qu"il donne :
la valeur du terme de rang et la somme des termes deDonnées
Initialisation
Entrer un entier
Traitement Pour ... allant de ... à ...
FinPour
Sortie /Affichage Afficher
3. On considère la suite (!
) définie par != - 6, pour ∈3. a. Calculer !
3. b. Montrer que pour tout de
, on a !=4. On considère la suite
(@) définie par @= 6 - 8A BMontrer que les suites
() et (@) sont égales.5. Déduire la valeur exacte de
6 .6. Déterminer le sens de variation de la suite
Corrigé
On considère la fonction & définie sur par &())= ) + 3 et la suite ) définie par = -2 = &() c"est-à-dire : = -2 + 3 ( ∈ )1.. Conjectures
La suite
() semble croissante, minorée par -2 , majorée par 6 et convergente vers 6.2.a. Calculer
=1 2 + 3 =1 2×(-2)+ 3 = 2;
=1 2 + 3 = 4; =1 2 + 3 = 52.b. V
aleur approchée à 10> près deà l"aide de votre calculatrice :
≈ 5,992 2.c.Données
Initialisation
Entrer un entier
2→
-2→CTraitement Pour D allant de 1 à
12+3→
C+→
FinPour
Sortie /Affichage Afficher
Afficher C
3. On considère la suite (E8) définie par E8= F8- G, pour 8 ∈
3. a. Calculer !
- 6 = -2 - 6 = -8!= - 6 = 2 - 6 = -4! - 6 = -23. b. Montrer que pour tout de
, on a !=Pour tout de , on a :
!= - 6 = 1 2 + 3 - 6 =1 2 - 3 =1 2 (- 6)=1 24. On considère la suite
(@) définie par @= 6 - 8A BMontrer que les suites
(F8) et (H8) sont égales. Montrons que la suite (@) a les mêmes caractéristiques que la suite () = 6 - 8 × A B = 6 - 8 × 1 = -2 =· Pour tout de
IJKJL@= 6 - 81
2 1 2 @+ 3 =1 2M6 - 81
2N + 3 = 3 - 81
2 + 3 = 6 - 81 2 =1 2 @+ 3La suite(@
) a le même premier terme que la suite () et elle vérifie la même relation de récurrence,
Ainsi les suites (
) et (@) sont égales.5. Déduire la valeur exacte de
FOG.Les suites
() et (@) sont égales, donc la forme explicite de () est donnée par = 6 - A BD"où
6= 6 - 8A
B6= 6 - 8 ×
PQ= 6 -
RPQ= 6 -
PR=4S5
*S6. Déterminer le sens de variation de la suite
(H8).Pour tout de , on a :
@- @= M6 - 81 2N - M6 - 81
2N = -81
2 ×1 2 + 8 × 1 2 = 1 2×(-4 + 8)= 4 × 1
2 12> 0 ⟹ 1
2 > 0 ⟹ 4 × 1 2 > 0 ⟹ @- @> 0Ainsi, la suite
(@) est croissante.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] ds recurrence
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