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1S DS n

o12Duree : 2h

Exercice 1(7 points )

1.La suite (un) est denie pour tout entier naturelnparun=n23n+ 2 est-elle arithmetique?

*Solution:

Pour tout entier natureln, on a :

u n+1= (n+ 1)23(n+ 1) + 2 =n2+ 2n+ 13n3 + 2 =n2n La dierence de deux termes consecutifs n'est pas constante (depend den) donc la suite (un) n'est pas arithmetique.Remarque On peut aussi calculeru0= 020 + 2 = 2,u1= 123 + 2 = 0 etu2= 226 + 2 = 0

On a alorsu1u0= 02 =2

etu2u1= 00 = 0 La dierence de deux termes consecutifs n'est pas constante donc la suite (un) n'est pas arithmetique.

2.(un) est une suite arithmetique de premier termeu1et de raisonrtelle queu12= 25 etu20= 49.

Exprimerunen fonction denpuis calculeru1+u2+:::::::+u30. *Solution: u

20=u12+ (2012)r()49 = 25 + 8r

()24 = 8r ()r= 3

On a alorsun=u12+ (n12)r= 25 + 3n36 =11 + 3n

u n=11 + 3n.On a alorsu1=11 + 3 =8 etu30=11 + 330 = 79 u

1+u2+:::::::+u30= 30u1+u302

= 308 + 792 = 1065 u

1+u2+:::::::+u30= 1065Remarque

Si le premier terme estu1, on aun=u1+ (n1)r.

On peut determineru1en utilisant la relationu12=u1+ (121)3 soit 25 =u1+ 33....

3.(un) est une suite geometrique de raisonq= 0;4 et de premier termeu0=3.

Etudier les variations de la suite (un).

*Solution: (un) est une suite geometrique de raisonq= 0;4 et de premier termeu0=3 doncun=u0qn=30;4n etun+1=30;4n+1

Pour tout entier natureln, on a :

u n+1un=30;4n+1(30;4n) =30;4n0;4(30;4n) =30;4n(0;41) =30;4n(0;6) = 1;80;4n

0;4n>0 doncun+1un>0

donc la suite (un) est strictement croissante.4.Calculer 1+2+4+8+16+16384+32768 en utilisant une suite geometrique dont on precisera

la raison et le premier terme. *Solution: On considere la suite geometrique de premier termeu0= 1 et de raisonq= 2 et on a alors pour tout entier natureln,un=u0qn= 2n

On cherche doncntel queun= 2n= 32768

Avec la calculatrice (MENU TABLE puisY1= 2Xavec XSTART=1 et PITCH=1) on obtient u

15= 32768

1 + 2 + 4 + 8 + 16+ 16384 + 32768 =u0+:::::u15

=u01215+112 12161
= 2 161

1 + 2 + 4 + 8 + 16+ 16384 + 32768 = 21615.La suite (un) est denie pour tout entier naturelnparun=n32n2+ 5n3.

Etudier les variations de (un).

*Solution:

On posefdenie sur [0;+1[ parf(x) =x32x2+ 5x3

et on a alors pour tout entier natureln,un=f(n). fest derivable sur [0;+1[ etf0(x) = 3x24x+ 5

Etude du signe def0(x)

=b24ac= (4)2435 =44 <0 donc 3x24x+ 5 n'admet aucune racine etf0(x) est de signe constant et du signe dea= 3 coecient dex2

On a doncf0(x)>0

doncfest strictement croissante donc (un) est strictement croissante.

6.La suite (un) est denie pour tout entier natureln1 par la relationun+1=2unn

etu1= 2.

On admettra que pour tout entier natureln1,un>0.

Etudier les variations de la suite (un).

En deduire, en utilisant la calculatrice, le plus petit entier natureln3 tel queun<1010 *Solution:

Pour tout entier natureln1 :

u n+1un=2unn un 2unn nunn =2unnunn un(2n)n u n>0 etn1 doncun+1unest du signe de 2n.

2n <0 pourn >2 donc pourn3 on aun+1un<0

donc la suite (un) est strictement decroissante pourn3.Avec le MENU RECUR puis en selectionnant TYPE=an+1, on a :On a alorsu1871010etu1981011.

La suite (un) est strictement decroissante pourn3 donc pour tout entiern19, on aura u nu19<1010 Le plus petit entier natureln3 tel queun<1010est 19.Exercice 2(7 points )

Une personne loue une maison a partir du 1 janvier 2000. Elle a le choix entre deux formules de contrat.

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 3600eet le locataire s'engage a occuper la maison pendant neuf annees completes.

1.Contrat 1 :

Le locataire accepte une augmentation annuelle de 6 % du loyer annuel de l'annee precedente. On noteunle loyer annuelannuelpour l'annee 2000 +n. a)

Que v autu0? Calculeru1etu2.

*Solution: u

0est le loyer annuel de l'annee 2000 + 0 = 2000 doncu0= 3600.

u

1est le loyer annuel de l'annee 2000 + 1 = 2001

doncu1= 3600 +6100

3600 = 1;063600 = 3816.

u

2est le loyer annuel de l'annee 2000 + 2 = 2002

doncu2= 3816 +6100

3816 = 1;063816 = 4044;96.

u

0= 3600,u1= 3816 etu2= 4044;96.b)Q uelleest la n aturede la suite ( un)? Justier la reponse.

*Solution: u nest le loyer annuel de l'annee 2000 +n etun+1est le loyer annuel de l'annee suivante soitunaugmente de 6%. u n+1=un+6100 un= 1;06un

donc (un) est une suite geometrique de raisonq= 1;06.Rappel : relation de recurrence pour une suite geometrique de raisonq:un+1=qun

c) Ex primerunen fonction den. Calculeru6(arrondir le resultat a l'unite); que represente ce resultat? *Solution: (un) est une suite geometrique de raisonq= 1;06 et de premier termeu0= 3600 doncun=u0qn= 36001;06n.u

6= 36001;0665107

Le loyer annuel de l'annee 2000 + 6 = 2006 est de 5107 euros environ.d)So itGnla somme payee a l'issue de (n+ 1) annees de contrat. ExprimerGnen fonction den.

*Solution: Le locataire loue pendantn+ 1 annees completes sot jusqu'a la n de l'annee 2000 +n. donc il faut calculerGn=u0+u1+:::::un G n=u01qn+11q(il y an+ 1 termes deu0aun) = 360011;06n+10;06

36000;06(11;06n+1)

=60000(11;06n+1) = 60000(1;06n+11) Il va payerGn= 60000(1;06n+11) euros pendantn+ 1 annees de location.2.Contrat 2 : Le locataire accepte une augmentation annuelle constante de 300edu loyer annuel de l'annee precedente. On notevnle loyer annuel pour l'annee 2000 +n. a)

Que v autv0? Calculerv1etv2.

*Solution: V

0est le loyer annuel de l'annee 2000 + 0 = 2000 doncv0= 3600.

vest le loyer annuel de l'annee 2000 + 1 = 2001 doncv1= 3600 + 300 = 3900. v

2est le loyer annuel de l'annee 2000 + 2 = 2002 doncv2= 3900 + 300 = 4200

v

0= 3600,v1= 3900 etv2= 4200b)Q uelleest la n aturede la suite ( vn)? Justier la reponse.

*Solution: v nest le loyer annuel de l'annee 2000 +n etvn+1est le loyer annuel de l'annee suivante soitvnaugmente de 300 euros. v n+1=vn+ 300

donc (vn) est une suite arithmetique de raisonr= 300.Rappel : relation de recurrence pour une suite arithmetique de raisonr:un+1=un+r

c) Ex primervnen fonction den. Calculerv6; que represente ce resultat? *Solution: (vn) est une suite arithmetique de raisonr= 300 et de premier termev0= 3600 doncvn=v0+nr= 3600 + 300n.v

6= 3600 + 3006 = 5400

Le loyer annuel de l'annee 2000 + 6 = 2006 est de 5400 euros. d)So itAnla somme payee a l'issue de (n+ 1) annees de contrat. ExprimerAnen fonction den. *Solution: Le locataire loue pendantn+ 1 annees completes sot jusqu'a la n de l'annee 2000 +n. donc il faut calculerAn=v0+v1+:::::vn A n= (n+ 1)v0+vn2 = (n+ 1)3600 + 3600 + 300n2 = (n+ 1)7200 + 300n2 = (n+ 1)(3600 + 150n)

Il va payerAn= (n+ 1)(3600 + 150n) euros pendantn+ 1 annees de location.3.Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire a l'issue des 9 annees? Justier la reponse.

*Solution:

Apres 9 annees de location on a donc :

G

8= 60000(1;0691)41369 euros

etA8= 9(3600 + 1508) = 43200 euros

Le contrat 1 est plus avantageux pour neuf annees de location.4.On suppose maintenant que le locataire reste dans la maison 20 ans aux m^emes conditions d'aug-

mentations annuelles. A partir de quelle annee le contrat 2 aura ete le plus avantageux? Justier la reponse. *Solution: Avec le MENU TABLE ou RECUR de la calculatrice, on peut calculer les termesAnetGn pour 0n20.

Dans TABLE, on peut saisirY1= 60000(1;06X+11)

etY2= (X+ 1)(3600 + 150X) puis XSTART=0, XEND=20 et PITCH=1

On a alorsA16< G16

etA17> G17 doncn= 17 et cela correspond a l'annee 200 + 17 = 2017 soit la 18ieme annee de location. donc le contrat 2 est plus avantageux a partir de 2017.

Exercice 3(6 points )

Partie A

On considere l'algorithme suivant :

Les variables sont le reelUet les entiers naturelsketN.

Entree

Saisir le nombre entier naturel non nulN.

Traitement

Aecter aUla valeur 3

Pourkallant de 0 aN

Aecter aUla valeur14

U+ 3

Fin pour

Sortie

AcherUQuel est l'achage en sortie lorsqueN= 2? (justier) *Solution:

SiN= 2, on a :

Premier passage dans la boucle POUR :k= 0 etU=14

3 + 3 =154

Deuxieme passage dans la boucle POUR :k= 1 etU=14

154
+ 3 =6316 Troisieme passage dans la boucle POUR :k= 2 =NetU=14 6316
+ 3 =25564

Arr^et de la boucle puisquek=N= 2

Il va s'acher

25564
.Partie B On considere la suite (un) denie paru0= 3 et, pour tout entier natureln,un+1=14 un+ 3.

1.Calculeru1etu2.

*Solution:

En prenantn= 0 :u1=14

u0+ 3 =154

En prenantn= 1 :u2=14

u1+ 3 =6316 u 1=154 etu2=6316

2.Justier que la suite (un) n'est ni arithmetique ni geometrique.

*Solution: Si (un) est arithmetique, on a pour tout entier natureln:un+1=un+r donc (un) n'est pas arithmetique (coecient14 devantun) Si (un) est geometrique, on a pour tout entier natureln:un+1=qun donc (un) n'est pas geometrique ( on ajoute 3)

La suite (un) n'est ni arithmetique, ni geometrique.3.Soit la suite (vn) denie, pour tout entier natureln, parvn=un4.

a)

Mon trerque vn+1=14

vn. *Solution:

Pour tout entier natureln, on a :

v n+1=un+14 14 un+ 34 14 un1 14 (un4) 14 vn v n+1=14 vnEn deduire que (vn) est une suite geometrique dont on precisera la raison et le premier terme. *Solution:

La suite (vn) est geometrique de raisonq=14

et de premier termev0=u04 = 34 =1 b) Don nerl'expression de vnen fonction den, et en deduire queun= 4(14 )n, *Solution: v n=v0qn=114 n =14 n v n=un4 doncun=vn+ 4 =14 n+ 4. u n= 414 n4.a)Mon trerque ( un) est une suite croissante surN. *Solution: u n+1= 414 n+1 u n+1un= 414 n+1(414 n) =14 n+1+14 n =14 n14 +14 n 14 n(14 + 1) 14 n34 14 n>0 doncun+1un>0

donc la suite (un) est strictement croissante.b)D eterminer al'aide de l acalculatrice le plus p etiten tierntel queun>3;99.

*Solution:

MENU TABLE ou RECUR de la calculatrice.

Avec le menu TABLEY1= 414

Xet XSTART=1 et PITCH=1.

On a alorsu33;984 etu43;996

(un) est strictement croissante donc pourn4, on aunu4>3;99.

Le plus petit entierntel queun>3;99 est 4.c)Mo dierl'algorithme p ourqu'il ac heen sortie la v aleurdu plus p etiten tierntel queun>3;99.

*Solution:

Il faut alors utiliser une boucle TANT QUE :

Traitement

Aecter anla valeur 0

Aecter aUla valeur 3

Tant queU <3;99

Aecter aUla valeur14

U+ 3

Aecter anla valeurn+ 1

Fin Tant que

Sortie

Achern

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