[PDF] [PDF] QUELQUES NOTIONS DANALYSE VECTORIELLE

View - Download [PDF] QUELQUES NOTIONS DANALYSE VECTORIELLE

Previous PDF

Next PDF

PSI* Champollion 1 Champs et opérateurs forme de relations localesen un point quelconque Les définitions et relations ci-dessous seront utilisées notamment dans les cours Les opérateurs vectoriels que nous rencontrerons transforment un champ (vectoriel ou scalaire) en un autre champ (vectoriel ou scalaire).

1. Les principaux opérateurs et leurs propriétés

1.1. Gradient

On peut définir intrinsèquement le gradient par la relation : dU = U(M+݈݀,,,&,t) - U(M,t) = gradUMtdl o(,).

Son interprétation physique est liée à la variation spatiale de la grandeur U à un instant fixé

(gradient de pression dans un fluide, gradient de concentration dans un électrolyte, gradient de température, etc.). Le gradient est orthogonal aux surfaces " équiU ».

1.2. Divergence

d = div(ܣ où d est le flux du vecteur ܣ est lié au flux : il intervient très souvent en physique dans les équations de conservation : conservation de la charge, en thermique, conservation de la masse en mécanique des fluides, conservation du nombre de particules, etc.

1.3. Rotationnel

dC = ݎ݋ݐ,,,,,,&(ܣ où dC est la circulation du vecteur ܣ div(ݎ݋ݐ,,,,,,&(ܣ grad U) = 0

S ܣ

près (puisque )(ctegrad grad U. Nous verrons que cela correspond à écrire que la circulation de ce champ est conservative,

48(I48(6 127H216 G·ANALYSE

VECTORIELLE

PSI* Champollion 2 Champs et opérateurs

1.4. Relations utiles

grad (UV) = U. grad

V + V.

grad U grad (U) div(Uܣ&) = Udiv(ܣ&) + ܣ grad (U)

U = div(

grad (U)) : ceci constitue la définition intrinsèque du laplacien scalaire grad (divܣ&) - ܣ

2. Coordonnées cartésiennes

Soit un point M repéré par ses coordonnées cartésiennes : OMxyz ooo = xeye+ze

2.1. Gradient

grad (U)= w U x

݁&x +

w U y

݁&y +

w U z

݁&z.

2.2. Divergence

divܣ w A x x w A y y w A z z

2.3. Rotationnel

w A y z w A z y )݁&x + ( w A z x w A x z )݁&y + ( w A x y w A y x )݁&z. 2.4. U = w 2 2U x w 2 2U y w 2 2U z 2.5.

3. Coordonnées cylindriques

Soit un point M repéré par ses coordonnées cylindriques :

OMrezerz

oo

3.1. Gradient

grad (U)= w U r

݁&r +

1 r U wT w U z

݁&z.

PSI* Champollion 3 Champs et opérateurs

3.2. Divergence

divܣ 1 r rA r r w 1 r A wT w A z z

3.3. Rotationnel

1 r Az wT w A z )݁&r + ( w A z r w A r z 1 r rA r w 1 r Ar wT )݁&z. 3.4. U = 1 rrrU r w w w() 1 2 2 2r U wT w 2 2U z

3.5. Quelques relations utiles

div(݁&r) = 1 r div(r݁&r) = 2. div( e r r ) = 0. div(f(r)݁&) = 0, où f(r) est une fonction quelconque de r. e r o

4. Coordonnées sphériques

Soit un point M repéré par ses coordonnées sphériques : OMrer o

4.1. Gradient

grad (U)= w U r

݁&r +

1 r U wT 1 r U sin w wM

4.2. Divergence

divܣ 1 2 2 r rA r r w 1 r A sin (sin) wT wT 1 r A sin w wM

4.3. Rotationnel

1 rsin T wT (sin)A wM A )݁&r + 1 r 1 sin w wM Ar w ()rA r 1 r rA r(() w wT Ar 4.4. U = 12 2rrrU w() 1 2r U sin(sin) w wTTw wT 1 22
2 2r U sin w wM PSI* Champollion 4 Champs et opérateurs

4.5. Quelques relations utiles

div(݁&r) = 2 r div( e r r 2 ) = 0.

U(r) =

2 r dU dr dU dr 2 2

5. Théorème de STOKES

Adl o rotAdS oo R . (règle du tire-bouchon)

6. Théorème de GREEN-OSTROGRADSKI

r le volume limité par cette surface de la divergence de ce champ. .AdS o divA V d R : La normale orientée à une surface fermée est toujours sortante. Nous voyons que les champs dont la divergence est nulle sont à flux conservatif et ceux dont le rotationnel est nul sont à circulation conservative.

7. Var

is ses variations spatiale et temporelle ; elle est notée DU :

DUgradUMtdlU

tdt o(,). w ; Dans cette relation : gradUMtdl o(,). représente la variation locale dU) : dU = U(M+݈݀,,,&, t) - U(M,t), w U tdt représente la variation temporelle de U : U(M, t + dt) - U(M, t). DU correspond à la variation du champ U qui serait ressentie par une particule subissant ce e quantité vectorielle ݈݀,,,& pendant un intervalle de temps dt. dܵ d݈Ԧ dܵ (V)quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] analyse vectorielle exercices corrigés physique

[PDF] livre d anglais 1am algerie 2016

[PDF] sujet danglais de 2eme année lycée langue

[PDF] anglais 1as scientifique

[PDF] cours 1ere année anglais lmd

[PDF] bts industriels exemples dossiers ccf anglais

[PDF] expression oral anglais bts

[PDF] vocabulaire anglais administratif

[PDF] anglais des affaires cours gratuits

[PDF] english business communication pdf

[PDF] cours d'anglais 1ere année universitaire st

[PDF] la phonétique et la phonologie pdf

[PDF] cours de phonétique française

[PDF] cours de phonétique française s1 pdf

[PDF] exercice phonétique français pdf