[PDF] Toutes les mathématiques Connaître les opérateurs

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Solutinstindeuxrceultin

n

D.Duverney-S.Heumez-G.Huvent

Edition Ellipses 2004

Solutins de

lxlrcssSintsrrs L"analysevectoriellefaitintervenirà lafoisdes outilsanalytiques(dérivées partielles) et ducalculvectoriel. Les notions de base de l"analysevectorielle sontindispensablesenélectrostatiqueet en électromagnétismenotamment.

Après avoirétudiécechapitre, vousdevez:

A.Connaîtrelesopérateursde l"analysevectorielle(nabla,gradient,divergence etrotationnel) et savoir démontrer leurspropriétés. C.Connaîtreladéfinitiondufluxd"un champ devecteursà travers unesurface orientée, et savoircalculerdesfluxsimples.

D.Savoir ce qu"est un champ àfluxconservatif.

E.Connaîtreles formules de Stokes et d"Ostrogradski.

F.Savoir ce qu"est unanglesolide.

de !"# L"espaceétantrapportéà la base orthonormaledirecte i,j,k, ondéfinit l"opérateurauxdérivéespartiellesnablapar : Onnoteraquenablaest unopérateur auxdérivéespartielles, et pas unvecteur. Il opèreà gaucheenutilisantles trois types demultiplicationvectorielle. Soit d"abordU=U(M)unefonctionde troisvariables(fonctionscalaire) ; on définitlegradientdeUpar :

Onretrouveladéfinition25.12.

Soit maintenant

E=E(M)=Exi+Eyj+Ezkun champ devecteurs; on

définitladivergenceet lerotationnelde

Erespectivement par :

$eChapitre28 rotE=Ñ ÙE= Ex E y E z , d"où : Remarque 28.1.L"opérateurnablaestessentiellementunenotation, très commodepourretenirlesdéfinitionsdugradient, de ladivergenceet du rotationneletretrouverles formules(28.2),(28.3)et(28.4). Exemple 28.1.Soitkun paramètre. Considérons lechampnewtoniendéfinien coordonnées sphériques [voir (25.16)] par

E=E(M)=k

r 2er.

Puisquer=

OMeter=OM

OM , on a : E=kOM OM 3=k x2+y2+z2)3

2xi+yj+zk (28.5)

Il enrésulteque :

div 2 2. Enutilisantla formule qui donne ladérivéed"un produit, ilvient: x(x2+y2+z2)-3

2=(x2+y2+z2)-3

2-3x2(x2+y2+z2)-5

2 =(x2+y2+z2)-5

2(x2+y2+z2-3x2)=(x2+y2+z2)-5

2(-2x2+y2+z2).

Lesdérivéespartiellespar rapport àyetzs"obtiennentsanscalcul, en permutant les rôles dexetyet ceux dexetzrespectivement. Ainsi : div

E=k(x2+y2+z2)-5

2[(-2x2+y2+z2)+(x2-2y2+z2)+(x2+y2-2z2)],

c"est-à-dire div

E=0.Un champnewtonienest àdivergencenulle.

Lelecteurcalculera

rotEetvérifieraquerotE=0 (exercice28.1).

Remarque 28.2.Composonsladivergenceet legradient:

div

Analyse vectorielle$%

dx dy dz 2. Onintroduitainsi un nouvelopérateur, leLaplacien: dx dy dz

2 (28.6)

Apartirdesdéfinitions, on démontre un grandnombredeformules d"analyse vectorielle. Les deux plus importantes, quidoiventêtreconnues, sont : rotgradU=0 ;divrotE=0 (28.7) Voir l"exercice28.2 pour leur démonstration. Lesexercices25.12 et 28.3 donnent d"autres exemples de formules utiles. ded &! ! dedn#"&! Dans l"espacerapportéaurepèreorthonormaldirect

O,i,j,k, une

surface (S)estdéfiniepar uneéquationde la formeF(x,y,z)=0. Par exemple, l"équationax+by+cz+d=0 estcelled"un plan, tandis que l"équation(x-xW)2+(y-yW)2+(z-zW)2=R2estcellede la sphère decentre Wde rayonR. Un troisième exemple important est le suivant : Exemple 28.2.Soienta,b,cÎR+*. L"équationcartésienne: x2 a 2+y2 b 2+z2 c

2=1 (28.8)

estcelled"unellipsoïdedecentreO, d"axesprincipauxOx,Oy,Oz. Pour visualisercettesurface, coupons-la par exemple par un planhorizontal d"équationz=z0,avec-c£z0£c. Lasectioncorrespondantea pouréquation x 2 a 2 +y2 b

2=1-z02

c 2?x2 a1-z02 c 2 2+y2 b1-z02 c 2 2=1. Il s"agitdonc d"uneellipse. Ainsi lasectiond"unellipsoïdepar un plan horizontalest uneellipse. Il en est demêmelorsqu"on coupe l"ellipsoïdepar un planx=x0ouy=y0. Ainsi unellipsoïdea la forme d"unballonde rugby aplati,commereprésentéfigure28.1 pagesuivante. Sia=b=c=R, l"ellipsoïdeest la sphère decentreOde rayonR. Il sera souventcommoded"utiliserunereprésentationparamétrique d"une surface. Puisqu"unesurfaceest unobjetà deuxdimensions, il seranécessaire d"utiliserdeux paramètres. Ainsi unereprésentationparamétrique d"unesurface sera de la forme :x=f(u,v);y=g(u,v);z=h(u,v).

Onparleraalors denappe paramétrée.

$d'Chapitre28

Figure 28.1 : Ellipsoïde x y z

Exemple 28.3.Lasurfacede la sphère decentreOde rayonRpeutêtre paramétrée par : x=Rsinqcosj;y=Rsinqsinj;z=Rcosq (28.9) oùqvarie entre0 etp, tandis quejvarie entre0 et 2p(figure28.2). Eneffet, le paramétrage (28.9)n"est pasautrechose que les formules de passage des coordonnées sphériques aux coordonnéescartésiennes,avecr=R, puisque le pointMsedéplaceà lasurfacede la sphère. j M q

Figure 28.2

ds

Figure 28.3

S

Ô dM

Ô grad F(M)

M dedd!"( )&! Théorème28.1.Unvecteurnormal à la surface(S)d"équationcartésienne F (x,y,z)=0au point M(x,y,z)est levecteur

N=gradF(M).

Démonstration :Déplaçons le pointMd"un déplacementinfinitésimal dMen restantsur lasurface(S)(figure28.3). AlorsFresteégalà 0 dans ce déplacement, detellesorte quedF=0. Or on sait quedF= gradF(M).dM. Il enrésulteque gradF(M).dM=0 pour tout déplacementdMsur(S), c"est-à-dire que gradF(M)etdMsont orthogonaux pour tout déplacement infinitésimalsur lasurfacede(S)àpartirdeM. Ainsi gradF(M)est bien normal à (S)au pointM. Exemple 28.4.Si(P)est le plan d"équationax+by+cz+d=0, unvecteur

Analyse vectorielle$d

normal à (P)est Ici levecteurnormal estindépendantdeM, et onretrouvele théorème 7.2. Exemple 28.5.Unvecteurnormal au pointM(x,y,z)de l"ellipsoïded"équation: x 2 a 2 +y2 b 2+z2 c 2=1 est a 2i+y b 2j+z c 2k. Dans le cas de la sphère decentreOde rayonR, on voit que : N=2 R

2xi+yj+zk=2

R 2OM.

Onretrouveainsi que le rayon

OMestorthogonalà lasurfacede la sphère.

Remarque 28.3.Etantdonné unvecteurnormal

Nen un pointMd"unesurface

S), on peutdéfinirdeuxvecteursnormauxunitairesenM(figure28.4) : n1=N N ;n2= -N N = -n1. Lorsqu"on a choisi un des deuxvecteursnormauxunitaires, on dit qu"on a orientélasurface(S).Cecirevientàdéfinirunsens positif de traverséede(S) (dans le sens duvecteurnormalunitaire nchoisi).

Figure 28.4 S

Ô n1

M

Ô n2

Remarque 28.4.On dit qu"unesurfacede l"espaceestferméelorsqu"elle délimite unintérieuret unextérieur. Par exemple une sphère ou unellipsoïde sont dessurfacesfermées ; parcontreun plan n"en est pas une. Parconvention, une surface fermée sera toujoursorientéevers l"extérieur, c"est-à-dire que son vecteurnormalunitairesera toujoursdirigéevers l"extérieur. Ainsi la sphère de centreOde rayonRseraorientéepar levecteurnormalunitaire: n=OM OM =1Rxi+yj+zk ded$ r#* !+( &!,#"# Soit Eun champ devecteurs. Onappellelignede champtoutecourbe(L)telle que, en tout pointMde(L), le champ

Eau pointMesttangentà(L).

Par exemple, si

E= -gkest le champ depesanteurauvoisinagedu sol, les $ddChapitre28 lignes de champ sont les droitesverticales(figure28.5 pagesuivante). Si E=k r

2erest un champnewtoniend"origineO, les lignes de champ sont les

droites passant parO(figure28.6 pagesuivante).

Ô g

Ô g

Ô g

Figure 28.5

Figure 28.6

Ô E

Ô E

Ô E

Ô E

Ô E

Supposonsmaintenant que le champEdérived"unpotentielscalaireV; alors E= -gradV. Onappellesurfaceéquipotentielletoutesurfaceoù les points sont aumêmepotentiel, c"est-à-dire d"équationV=C, oùCest uneconstante donnée.

Exemple 28.6.Soit

E= -gkle champ depesanteurauvoisinagedu sol. On

sait que EdérivedupotentielscalaireV=gz. Donc unesurfaceéquipotentielle a pouréquationgz=C, c"est-à-direz=Cg . Lessurfaceséquipotentiellessont donc les planshorizontauxz=constante(figure28.5).

Exemple 28.7.Soit

E=k r

2erun champnewtoniend"origineO. Ildérivedu

potentielscalaireV=kr . Lessurfaceséquipotentiellesont pouréquation kr =C, c"est-à-direr=kC. Ce sont les sphères d"équationsr=constante (figure28.6). Dans les deux casparticuliersreprésentésfigures28.5 et 28.6, onconstateque lignes de champ et surfaceséquipotentiellessecoupentà angle droit.Ceciest unrésultatgénéral, puisqu"unvecteurnormal à lasurfaceéquipotentielleV=C au pointMest N=gradV= -E(théorème 28.1). Ainsi le champEest orthogonalà lasurfaceéquipotentielleau pointM; puisque

Eesttangentà la

lignede champ,celle-ci coupe lasurfaceéquipotentielleàangledroit. ded-t*&! Uneintégralede surfaceest uneintégralede la forme :

I=òòSf(M)ds (28.10)

IciSdésigne unesurfacede l"espace, le pointMdécritS,fest unefonctionde M, etdsest un morceauinfinitésimaldesurfaceentourantle pointM. On

Analyse vectorielle$d$

noteraque lesintégralesdoublesétudiéesdans lechapitre26 sont des cas particuliersd"intégralesdesurface: dans ce casSest unesurfaceplanedu plan Oxy. Pourcalculerl"intégraledesurface(28.10), on choisit unereprésentation paramétrique deS. Onobtientdsenfaisantvarierles deux paramètres defaçon infinitésimale. On se ramène alors à uncalculd"intégraledouble.

Exemple 28.8.CalculerI=

òòSz2ds, oùSest la sphère decentreOde rayon R. Onutilisele paramétrage de la sphère donné par(28.9). Pourobtenirds, faisonsvarierqdedqetjdedj(figure28.2). Onobtientà lasurfacedeSun rectangleinfinitésimald"aireds. Cerectanglea pour longueurRdqet pour largeurRsinqdj(voir lecalculdedVen coordonnées sphériques,section27.4).

Donc :

ds =R2sinqdqdj (28.11) PourdécrireS,qvarie entre0 etpetjvarie entre0 et 2p. D"où : I= òq=0q=pòj=0j=2p(Rcosq)2R2sinqdqdj =R4òq=0q=pcos2qsinqdqòj=0j=2pdj =R4 -1

3cos3q

0p´[j]02p=4

3 pR4. de$ ./ !+( ! Soit Eun champ devecteurset(S)unesurfacede l"espace(figure28.7). On désiremesurer laquantitéde champ qui traverse la surface(S). Pourcela, on commenceparorientercettesurface(de manièrearbitraire)grâceà unvecteur normalunitaire n. On prendensuiteen compte l"angleformé, localement au pointM,entrele champ

Eetn. Laquantitéde champ quitraverse(S)sera

d"autantplus grande quecetangleserapetit, c"est-à-dire que le produitscalaire E.nsera plus grand. Ondéfinitdonc lefluxinfinitésimalquitraversela surfacedsau pointMpar : df =

E.n ds (28.12)

Lefluxdu champ

E à travers la surfaceorientée(S)sera doncdéfinipar l"intégraledesurface: f =òòSE.n ds (28.13) $d-Chapitre28

Figure 28.7

S

Ô n

M

Ô E

S M ds

Figure 28.8

Ô E

Ô n

Exemple 28.9.SoitEun champconstant.PosonsE=E. Soit(S)une surfaceplaneorientée(figure28.8) d"aireS. Alors levecteurnormalunitaire n (S)formeavec EunangleaindépendantdeM. LefluxdeEà travers(S) vaut : f =

òòSE.n ds =òòSE.ncosads.

Puisque

n=1, ilvient: f =EcosaòòSds =EScosa (28.14) Dans le cas où lasurface(S)tourneavecune vitesseangulaireconstantew autour d"un axeorthogonalà

E, on aa =wtpuisqueEestconstantet leflux

quitraverse(S)estsinusoïdal, de la formef =EScoswt. Remarque 28.5.Lecalculdufluxd"un champnewtonienest plusdifficileet conduiraà la notion d"anglesolide, que nousdévelopperonsdans lasection 28.5.
de- ."( "0 "*0# de-s/#"##1, # *! Nous avonsdéfiniladivergenced"un champ àpartirde l"opérateurnabla.Cette définitionn"est pasintrinsèque, puisqu"ellesefaitàpartirdes coordonnées cartésiennesx,y,z. Ladéfinitionintrinsèquede ladivergenceutilisela notion defluxet s"énonceainsi : soitdVunvolumeinfinitésimalentourantle pointM; orientons lasurfaceinfinitésimaledSqui délimitedVvers l"extérieur(surface fermée). Alors lefluxdu champ

Eà traversdSvaut :

df =divE.dV (28.15) Ainsi ladivergencemesure-t-ellelaquantitéde champ qui sort localement (diverge) du pointM. Exemple 28.10.Retrouvons àpartirde l"expressionintrinsèquedf =div E.dV l"expression (28.3)de ladivergenceen coordonnéescartésiennes. Nous considérons au pointM(x,y,z)levolumeinfinitésimaldVlimité par les plans

Analyse vectorielle$d2

d"abscissesxetx +dx,yety+dy,zetz+dz(figure28.10). O M dx dy dz x y z

Figure 28.10 A B B"

A" M" C C"

Ô i

j rsinq dr rsinqdj

Figure 28.11

M q r rdq

Ô e

r

Ô e

q On adV=dxdydzet levecteurnormal à lafaceABB?A?esti;cettefacea pourairedydz. Puisque tous les points decettefaceont pour abscissex+dx, le fluxdf1à traversABB?A?vautdf1=

E.i.dydz=Ex(x+dx,y,z)dydz.

Demême, levecteurnormal àMCC?M?est-

i, et lefluxdf2à traversMCC?M? vautdf2= - E.i.dydz= -Ex(x,y,z)dydz. Donc lefluxinfinitésimalàyetz constants vaut : dxdydz. Enprocédantdemêmepour lesquatreautresfacesdedV, on voit que leflux sortant dedVa pourvaleur: df =dfy,z+dfx,z+dfx,y=

En remplaçant dans

(28.15)et en divisant pardxdydz, onobtientbien : div Exemple 28.11.Calculonsl"expression de ladivergenceen coordonnées sphériques. Onconnaîtalors

Edans la base orthonormaledirecteer,eq,ej:

E=Erer+Eqeq+Ejej. LevolumedV(figure28.11) est levolumehabituel des coordonnées sphériques et vautdV=r2sinqdrdqdj. Lafacequi a pour vecteurnormal- era pourairer2sinqdqdjet lefluxcorrespondantvaut : df1= -Er(r,q,j)r2sinqdqdj. Quand on augmenterdedr, lefluxsortant à travers lafacedevecteurnormal ervautdf2=Er(r+dr,q,j)(r+dr)2sinqdqdj. Donc lefluxsortant àqetjconstants a pour expression : $d3Chapitre28 dfq,j=df1+df2=

Er(r+dr,q,j)(r+dr)2-Er(r,q,j)r2sinqdqdj

(r2Er)sinqdrdqdj. Enraisonnantdemêmepour les autresfaces, on voit que lefluxtotalsortant du volumedVvaut : df =dfq,j+dfr,j+dfr,q

En remplaçant dans

(28.15)et en divisant parr2sinqdrdqdj, onobtient l"expression de ladivergenceen coordonnées sphériques: divE=1 r Remarque 28.6.Lecalculde ladivergencedu champnewtonien,effectuéen coordonnéescartésiennesdans l"exemple 28.1, estévidemmentbeaucoupplus simpleen coordonnées sphériques. Dans ce cas eneffet,Er=k r 2 ,Eq=0 et Equotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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