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Chapitre A-IX

Analyse vectorielle.

Joël SORNETTE met ce cours à votre disposition selon les termes de la licence Creative Commons :

- Pas d"utilisation commerciale. - Pas de modification, pas de coupure, pas d"intégration à un autre travail. - Pas de communication à autrui sans citer son nom, ni en suggérant son autorisation. Retrouvez l"intégralité du cours sur le site joelsornette.fr 1

RÉSUMÉ :

L"objet de ce chapitre est double. On veut tout d"abord y regrouper tous les rappels de calcul vectoriel, tous les théorèmes et toutes les formules utiles d"analyse vectorielle concernant le gradient, le rotationnel, la divergence, le laplacien, etc. Mais l"occasion est trop belle pour ne pas chercher à les introduire de façon sérieuse, donc d"introduire la notion de tenseur (ramenée modestement à une convention d"écriture)

et de présenter les résultats fondamentaux de l"algèbre extérieure sans en faire vraiment

(simple question de compromis). Le lecteur pressé pourra donc sauter les parties 1 et 3 ainsi que le paragraphe 5b; le lecteur curieux est libre de s"y promener. 2

Table des matières

A-IX Analyse vectorielle. 1

1 Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.a Base vectorielle, composantes d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . 5

1.b Formes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.c Formes bilinéaires. Espace métrique euclidien. . . . . . . . . . . . 6

1.d Bijection entre vecteurs et formes linéaires. . . . . . . . . . . . . . 7

1.e Endomorphismes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.f Comportements dans un changement de base. . . . . . . . . . . . 9

1.g Tenseurs, définition pragmatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.h Déterminant. Bases directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.i Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Retour à la géométrie traditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.a Norme, produit scalaire, orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.b Produit vectoriel, vecteur surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.c Produit mixte, orientation, volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.d Pseudo-vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Formes différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.a Définition pragmatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.b Gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.c Rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.d Divergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.e Bilan de cette présentation de l"analyse vectorielle. . . . . . . . . . 28

3

4 Utilisation pratique de l"analyse vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.a Champs et opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.b Gradient d"un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.c Rotationnel d"un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.d Divergence d"un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.e Laplacien d"un champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.f Théorèmes dérivés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.g Composition d"opérateurs et autres formules. . . . . . . . . . . . . 36

4.h Dérivées temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Analyse vectorielle en coordonnées cylindriques et sphériques. . . . . . 38

5.a Coordonnées cylindriques et sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.b Méthodologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.c Le formulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4

1 Espaces vectoriels.

Il s"agit ici de quelques rappels simples de mathématique sur les espaces vectoriels.

Seule la notation utilisée peut dérouter, mais on s"y fait très vite et dès qu"on l"a comprise,

on ne peut plus jamais s"en passer. Si l"on ne cherche dans ce chapitre qu"un formulaire, on peut sauter toute la partie 1.

1.a Base vectorielle, composantes d"un vecteur.

En physique classique, l"espace est ramené à un espace vectoriel à trois dimensions et en relativité restreinte à un espace à quatre dimensions. Nous nous placerons ici dans le premier cas. Une base vectorielle y est un ensemble de trois vecteurs linéairement indépendants que les physiciens notent plutôt!ex,!eyet!ezet les mathématiciense1,e2ete3(sans flèches). Nous proposerons dans ce cours, qui sans cela serait purement utilitaire, une initiation à

l"algèbre tensorielle qui sous-tend la théorie de la relativité générale, initiation a minima

dans ce chapitre; nous utiliserons donc les indices numériques.

Un vecteur

!xde l"espace vectoriel ou un vecteur position de l"espace affine!x=!OM

sera présenté comme une combinaison linéaire des trois vecteurs de base dont les coefficients

sont appelées composantes du vecteur, soit pour le physicien, puis le mathématicien : x=x!ex+y!ey+z!ez x=x1e1+x2e2+x3e3 On remarquera que, par convention d"écriture, les vecteurs de base comportent un indice en bas à droite, qualifié d"indicecovariantet les composantes un indice en haut à droite, qualifié d"indicecontravariant.

On peut aussi écrirex=i=3X

i=1x ieiet même puisque la dimension de l"espace est connue x=X ix iei. Remarquons que l"on aurait pu aussi bien écrirex=X jx jejou encore x=X kx kek; le nom que l"on donne a l"indice n"est pas significatif, on l"appelleindice muet. A la limite, on pourrait écrire!x=X x een laissant au lecteur le choix du nom de l"indice à mettre dans le petit rond. Pour donner une fluidité à la lecture, nous adopterons une notation, appeléeconvention de sommation d"EINSTEIN, qui consiste à sous-entendre le signe somme pour un indice muet, que l"on reconnaît au fait qu"il figure deux fois dans l"expression, une fois covariant, une fois contravariant. Désormais un vecteur sera notéx=xiei. 5 Remarque : un même indice ne peut être répété que deux fois dans une expression,

une fois de façon covariante, une autre de façon contravariante. Tout autre forme de répé-

tition (deux indices covariants ou deux contravariants) ou toute répétition multiple (trois occurences ou plus) est forcément fautive.

1.b Formes linéaires.

Une forme linéaire, notée iciapar exemple, est une application linéaire qui à tout

vecteurxassocie un réel (ou un complexe). Par définition de la linéarité, à tout vecteur

x=xiei, la formeaassocie : a(x) =a(xiei) =xia(ei)

Notonsai=a(ei), on a donca(x) =aixi.

Si l"on notee1la forme linéaire qui à tout vecteurxassocie sa composantex1et plus

généralementeila forme linéaire qui lui associe sa i-ième composante, on peut écrire :

a(x) =aiei(x) ce qui montre que la formeaest combinaison linéaires des formeseique l"on note a=aiei. L"ensemble des formes linéaires est donc un espace vectoriel de dimension trois, appelé espace dual, les formeseien constituent une base, appeléebase dualeet les coefficientsai sont les composantes de la forme dans la base duale. Dans l"espace proprement dit, les vecteurs de base sont covariants et les composantes d"un vecteur contravariants et dans l"espace dual, les vecteurs de base sont contravariants et les composantes d"une forme linéaire covariants.

1.c Formes bilinéaires. Espace métrique euclidien.

Formes bilinéaires.

Une forme bilinéaire, notée iciapar exemple, est une application linéaire vis-à-vis des deux vecteurs qui à tout couple ordonné de vecteursxetyassocie un réel (ou un complexe). Par définition de la linéarité, à tout couple ordonné de vecteursx=xieiety=yjej(on donne au second indice muet un autre nom pour éviter toute confusion), la formeaassocie : a(x;y) =a(xiei;yjej) =xia(ei;yjej) =xiyja(ei;ej) où ici la convention d"Einsteinescamote la notation d"une sommation double (P iP j).

Notonsaij=a(ei;ej), on a donca(x;y) =aijxiyj.

6 On peut considérer que l"ensemble des formes bilinéaires est un espace vectoriel de dimension neuf (trois au carré) dont une base est l"ensemble des formes bilinéaires qui au couple de vecteursxetyassocie le produit d"une composante dexet d"une composante dey, ce qui donne33 = 9vecteurs de base. On les note traditionnellementei ejet l"on peut donc écrirea=aijei ej.

Espace métrique euclidien.

On se définit unemétriquedans un espace vectoriel par la donnée d"unproduit scalaire qui est une forme bilinéaire privilégiéeg(x;y) =gijxiyjtelle que pour tout vecteurxnon nul, on aitg(x;x) =gijxixjstrictement positif. On appelle alors norme dexla grandeur notéekxket définie parkxk=pg ijxixjet produit scalaire dexety, notéxy, la valeur prise par la forme pour le couplexety, soitxy=g(x;y) =gijxiyj. Un espace métrique est dit euclidien si, dans une base vectorielle bien choisie, lesgij

qui définissent la métrique sont nuls sii6=jet égaux à l"unité sii=j; la base est alors

qualifiée d"orthonormée. On note traditionnellementijde tels coefficients. La notation est le symbole deKroneckermais attention il ne s"agit surtout pas d"y voir autre chose qu"une notation (on y reviendra). Remarque : sixy= 0, on dit que les vecteursxetysont orthogonaux.

1.d Bijection entre vecteurs et formes linéaires.

A tout vecteurx=xiei, on peut associer une forme linéaire que nous noterons provi- soirement~xqui a tout vecteury=yjejassocie le produit scalairexy, soit : ~x(y) = ~x(yjej) =xy=gijxiyj Or, dans la base duale,~xdoit s"écrireajejet~x(y)doit donc s"écrireajyj. Par identi- fication on doit donc avoir pour toutj: a j=gijxi Remarque : nous rencontrons ici pour la première fois une situation où un même indice

est répété une fois de chaque côté d"une égalité. Dans ce cas, ses deux occurences doivent

être de la même nature covariante ou contravariante et il n"y a a pas de sommation sous entendue; il faut au contraire comprendre que l"égalité est valable pour toutes les valeurs de cet indice. Il ne s"agit plus d"un indice muet mais d"unindice libre. On peut montrer que cette association entre un vecteur et une forme linéaire est bijec- tive, ce qui permet dans une certaine mesure d"identifier le vecteurx=xieiet la forme ~xdont on supprimer le tilde et, en conséquence, on notera désormaisxjles composantes dans la base duale, soitx=xjej(avecxj=gijxi). Cette identification est encore plus naturelle avec une base orthonormée. En effet le seulgij=ijnon nul dans le second 7 membre est celui pour lequel l"indice muetisur lequel s"effectue la sommation prend la valeurjde l"indice libre; le second membre prend donc la valeurxj; il y a donc alors égalité numérique entrexjetxj. On s"interdira par contre de noterxj=xj(quelle horreur! cf remarque ci-dessus), l"égalité numérique s"écrit toujoursxj=ijxi. Désormais, on confond vecteur et forme linéaire associée et, par abus de langage rendu

nécessaire par le besoin de préciser de quelle écriture on parle, on parlera (peu importe le

nom donné à l"indice) du vecteurxiouxi(au lieu dexidentifié~x) c"est-à-dire que l"on confond dans l"écriture un vecteur et ses composantes covariantes ou contravariantes.

1.e Endomorphismes linéaires.

On appelle endomorphisme linéaire une application linéaire, notée icif, qui à tout vecteurx=xieiassocie un autre vecteury=f(x) =yjej. Par linéarité, on doit avoir : y jej=f(xiei) =xif(ei) On introduit les composantes de chacun desf(ei)par ses composantes de la base de l"espace vectoriel soitf(ei) =fj iej, d"où : y jej=xifj iej La décomposition d"un vecteur sur une base est unique, on en déduit que pour tout indicej, on a : y j=fj ixi L"endomorphisme linéaire est donc caractérisée par la donnée desfj i(on parlera donc, par abus de langage, de l"endomorphismefj ien le confondant avec ses coefficients) dans lesquelles on reconnaît les coefficients de la matrice de cet endomorphisme, dans la pré- sentation classique; l"indice contravariant correspond aux lignes et l"indice covariant aux colonnes. Au vu de la position des indices, on dit qu"un endomorphisme est une fois cova- riant et une fois contravariant. La composition (non commutative) de deux endormorphismesfetgest notéeh=gf est définie parh(x) =gf(x) =g[f(x)]; en utilisant plus rapidement les outils introduits jusqu"ici, on a : h(x) =g[f(x)] =g[f(xiei)] =g[(fj ixi)ej] =gj k(fj ixi)ek ce qui montre que les coefficients dehse calculent par : h ki=gkjfj i où l"on retrouve la règle du produit de matrices. 8

1.f Comportements dans un changement de base.

Matrice de passage.

Quand on passe d"une base (nous dirons l"ancienne base) dont les vecteurs sont notés e ià une autre base (nous dirons la nouvelle base) dont les vecteurs sont notése0i0, il faut connaître les composantes des vecteurs de la nouvelles base dans l"ancienne. On note : e

0i0=pii0ei

qui n"est rien d"autre que la présentation tensorielle de la matrice de passagep. En appelantp0la matrice inverse on a aussi : e i=p0i0 iei0 Remarque : puisque les matrices sont inverses, leur produit est la matrice unité ce que l"on peut exprimer parp0ijpj k=iketpijp0j k=ik

Comportement des vecteurs.

Soit un vecteurxquelconque. Dans l"ancienne base, on l"écritx=xiei, soit en y reportant l"expression des vecteurs de l"ancienne base dans la nouvellex=xip0i0 ie0i0et par ailleurs il doit s"écrire dans la nouvelle basex=x0i0e0i0; on en déduit, par identification, la relation de passage entre anciennes et nouvelles composantes : x

0i0=p0i0

ixi et un raisonnement symétrique conclurait que : x i=pii0x0i0 En comparant avec ces relations entre composantes d"un vecteur et celles liant les deux

bases, on remarque que les rôles de la matrice de passage et de son inverse ont été permutés.

Comportement des formes linéaires.

Soit une forme linéaireaquelconque. Dans l"ancienne base, l"on écrita(x) =aixi, soit en y reportant l"expression des anciennes composantes en fonction des nouvellesa(x) = a ipii0x0i0et par ailleurs il doit s"écrire dans la nouvelle basea(x) =a0i0x0i0; on en déduit, par identification, la relation de passage entre anciennes et nouvelles composantes de la forme linéaire dans la base duale de la nouvelle base : a

0i0=pii0ai

9 et un raisonnement symétrique conclurait que : a i=p0i0 iai0 En comparant avec les relations entre composantes d"une forme linéaire et celles liant les deux bases et contrairement aux vecteurs, on remarque que les rôles de la matrice de passage et de son inverse sont identiques. On laisse au lecteur le soin de monter sur le même principe que pour une forme bili- néaire, on a : a

0i0j0=pii0pj

j 0aij Remarque 1 : supposons que la forme bilinéaire soit celle d"une métrique (cf supra) et que les deux bases soient orthonormées (cf supra); on doit donc avoir : i0j0=pii0pj j 0ij Les seul termes non nuls du second membres sont ceux pour lesquelsi=jd"où : i0j0=pii0pij0 Cette expression est illicite car l"indiceiest deux fois contravariant; c"est dû au fait queijn"est qu"une notation qui pose souvent ce genre de problème quand on l"escamote (cf supra). On rectifie

1en notanttpla transposée2dep, vu comme une matrice et en

remplaçant au bon endroit les indices dans la notationà gauche; on doit donc avoir : j0 i

0=pii0tpj0

i A droite, on reconnaît un produit de matrices (cf supra) et à gauche la matrice unité. On retrouve la propriété classique de la matrice de passage entre bases orthonormées : sa transposée est son inverse.

Comportement des endomorphismes.

Soit un endomorphismeftel que dans l"ancienne basey=f(x)se traduise paryj= f j ixiet dans la nouvelley0j0=f0j0 i

0x0i0. Compte tenu de ce qui précède, on peut écrire :

y

0j0=p0j0

jyj=p0j0 jfj ixi=p0j0 jfj ipii0x0i0 d"où par identification avecy0j0=f0j0 i

0x0i0, on a :

f 0j0 i

0=pii0p0j0

jfj

i1. Je reconnais qu"ainsi présenté, ça sent l"entourloupe, mais en fait, en revenant aux notations classiques

et en détaillant les sommations, le point de départ et celui d"arrivée sont bien identiques. Ça m"a permis

de gagner du temps.

2. On permute le rôle des lignes et colonnes, donc on permute les indices.

10 Dans le changement de base, on utilise la matrice de passageppour la gestion de l"indice covariant et son inversep0pour le gestion de l"indice contravariant, exactement comme pour les autres exemples.

1.g Tenseurs, définition pragmatique.

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