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EXERCICES CORRIGÉS

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

L3M1

Optimisation

et analyse convexeOptimisation et analyse convexe

OPTIMISATION

ET

ANALYSE CONVEXE

Exercices et problèmes corrigés,

avec rappels de cours

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar

Parc d"activités de Courtabœuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture: un corps convexe d"épaisseur presque constante et son ombre; reproduit avec la gracieuse permission de Christof Weber (université de

Zurich).

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0373-6

Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous

pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des

pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l"autorisation de l"éditeur est illicite et constitue une

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être réalisées avec l"accord de l"éditeur. S"adresser au : Centre français d"exploitation du droit de copie,

3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

c ?2009, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabœuf,

91944 Les Ulis Cedex A

TABLE DES MATIÈRES

Introductionv

Abréviations et notationsix

I Révision de bases : calcul diérentiel, algèbre linéaire et bilinéaire 1 I.1Algèbre linéaire et bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2Calculdiérentiel ......................... 2

I.3Fonctionsconvexes ........................ 3

II Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité41 II.1Conditionsdeminimalitédupremierordre........... 41 II.2Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 42 III Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité63 III.1Conditionsdeminimalitédupremierordre........... 63 III.2Cône tangent, cône normal à un ensemble . . . . . . . . . . . . 65 III.3Priseencomptedelaconvexité ................. 66 III.4Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 66

IV Mini-maximisation. Dualisation de problèmes

de minimisation convexe 127
IV.1Points-selles (ou cols); problèmes de mini-maximisation . . . . 127 IV.3Premiers pas dans la théorie de la dualité . . . . . . . . . . . . 129

Optimisation et analyse convexe

V Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines (Programmation linéaire) 165
V.1Polyèdresconvexesfermés ....................165 V.2Optimisation à données anes (Programmation linéaire) . . . 168 V.2.1Dé“nitionsetnotations .................168 V.2.2Résultatsfondamentauxdexistence ..........170 V.3Ladualitéenprogrammationlinéaire ..............171 V.3.1Formulations de problèmes duaux . . . . . . . . . . . . 171

V.3.2Relations entre les valeurs optimales et les solutionsde programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172

V.3.3Caractérisation simultanée des solutions du problème primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173 VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe fermé 217
VI.1.1Ensembles convexes associés à un convexe donné . . . 217 VI.1.2Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée . . . . . 218 VI.1.3Hyperplan dappui, fonction dappui . . . . . . . . . . 219 VI.1.4Théorèmes de séparation par un hyperplan ane . . . 219

VI.3Fonctionsconvexes ........................220

VII Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel 271
VII.1La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . 271 VII.1.1Dé“nitions ........................271 VII.1.2Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 272 VII.2Lesous-diérentieldunefonction ................273 VII.2.1Dé“nitions ........................273 VII.2.2Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 274

Sources323

Références générales325

Notice historique327

Index331

iv

INTRODUCTION

"Good modern science implies good variational problems»

M.S. Berger (1983)

Le recueil d"exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici concerne les domaines des Mathématiques répertoriées sous les vocables d"Optimisation etAnalyse convexe. L"Optimisation est traitée dans ses aspects suivants : la clé de voûte que constituent les conditions d"optimalité (chapitres II et III); le rôle (incontournable) de la dualisation de problèmes (chapitre IV); le monde particu- lier (et toujours en haut de l"affiche depuis ses débuts) de l"Optimisation linéaire (chapitre V). L"Analyse convexe (moderne) n"est pas traitée en tant que telle mais par l"utilisation qu"on peut en avoir en Optimisation; il s"agit en fait d"une initia- tion à la manipulation de concepts et de résultats concernant essentiellement : la projection sur un convexe fermé (au chapitre VI), le calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel (chapitre VII). L"Analyse linéaire et bilinéaire (ou, plutôt, l"Analyse matricielle) ainsi que le Calcul différentiel interviennent de manière harmonieuse en Optimisation et Analyse convexe : un chapitre de revi- sion des bases leur est consacré (chapitre I). Près de 160 exercices et problèmes sont corrigés, parfois commentés et situés dans un contexte d"utilisation ou de développement historique, gradués dans leur difficulté par un, deux ou trois?: ?Exercices plutôt faciles (applications immédiates d"un résultat du Cours, vérification d"un savoir-faire de base, etc.); ??Exercices que le lecteur-étudiant doit pouvoir aborder après une bonne compréhension et assimilation du Cours. De difficulté moyenne, ce sont de loin les plus nombreux; ???Exercices plus difficiles, soit à cause de certains calculs à mener à bien, soit simplement en raison d"un degré de maturité plus grand que leur résolution requiert. Comme tous les exercices de mathématiques, ceux présentés ici ne seront pro- fitables au lecteur-étudiant que si celui-ci les travaille, un crayon à la main, sans

Optimisation et analyse convexe

regarder la correction dans un premier temps. Qu"il garde à l"esprit ce proverbe chinois : " J"entends et j"oublie,(cours oral) je vois et je retiens,(étude du cours) je fais et je comprends ». (exercices) Lecadre de travailchoisi est volontairement simple (celui des espaces de di- mension finie), et nous avons voulu insister sur lesidéesetmécanismes de base davantage que sur les généralisations possibles ou les techniques particulières à tel ou tel contexte. Les problèmes ditsvariationnelsrequièrent dans leur traitement une intervention plus grande de la Topologie et de l"Analyse fonctionnelle, à com- mencer par le cadre - fondamental - des espaces de Hilbert; ils seront abordés dans un prochain recueil. Lesconnaissances mathématiquespour tirer profit des exercices et problèmes du recueil présent sont maintenues minimales, celles normalement acquises après une formation scientifique àBac + 2ouBac + 3(suivant les cas). Chaque chapitre débute par des rappels de résultats essentiels, ce qui ne doit pas empêcher le lecteur-étudiant d"aller consulter les références indiquées à la fin du livre. L"approche retenue est celle d"une progression en spirale plutôt que linéaire au sens strict : ainsi, par exemple, la fonctionA?M n (R)?-→ln(détA) est d"abord considérée pour un calcul de différentielles, puis pour sa convexité, puis plus tard en raison de son rôle comme fonction-barrière dans des problèmes d"optimisation matricielle. Pour ce qui est de l"enseignement, les aspects de l"Optimisation et Analyse convexe traités en exercices ici trouvent leur place dans les formations de niveau deuxième cycle universitaire (modules généralistes ou professionnalisés) et dans la formation mathématique des ingénieurs, sur une durée d"un semestre environ; la connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en optimisation numérique par exemple. La plupart des exercices et problèmes proposés, sinon tous, ont été posés en séances d"exercices ou examens à l"Université Paul Sabatier de Toulouse. Je voudrais remercier les anciens étudiants ou jeunes collègues qui ont bien voulu relire une première version de ce document et y relever une multitude de petites fautes (il en reste sûrement...), parmi eux : D. Mallard, M. Torki, Y. Lucet, C. Imbert et J. Benoist. Enfin je ne voudrais pas oublier A. Andrei pour la part primordiale qui a été la sienne dans la saisie informatique de l"ouvrage.

Toulouse, 1989-1997

J.-B. Hiriart-Urruty

vi

Introduction

Depuis sa publication il y a dix ans (en mars 1998), cet ouvrage a subi les vicis- situdes d"un document de formation destiné à un public (d"étudiants en sciences) en nette diminution. Il a été traduit en russe par des collègues de Kiev (Ukraine) en 2004, mais la version française originelle n"est plus disponible depuis 2006. Ainsi, pour répondre à une demande de collègues et étudiants, un nouveau tirage a été envisagé. Je remercie les éditions EDP Sciences, notamment mon collègue D. Guin (directeur de la collection Enseignement Sup - Mathématiques), d"avoir accueilli ce projet. Aude Rondepierre a donné un coup de main pour reprendre les fichiers informatiques anciens; qu"elle soit remerciée de sa bonne volonté et efficacité.

Toulouse, printemps 2009

J.-B. Hiriart-Urruty

vii

ABRÉVIATIONS ET NOTATIONS

:=: égal par définition. cf.:confer, signifie " se reporter à ». i.e.:id est, signifie " c"est-à-dire ». ln: notation normalisée pour le logarithme népérien. R ,R ou]0,+∞[:ensemble des réels strictement positifs. u :partie positive du réelu. x=(x 1 ,...,x n )oux=(ξ 1 n ):notation générique pour un vecteur deR n u signifie(u +1 ,...,u +n )lorsqueu=(u 1 ,...,u n )?R n

Lorqueuetvsont deux vecteurs deR

n ,u?vsignifie "u i ?v i pour tout i=1,...,n». {u k }ou(u k ):notations utilisées pour les suites indexées par des entiers naturels. Pour une fonctionfdifférentiable enx(resp. deux fois différentiable enx), Df(x)désigne la différentielle (première) defenx(resp.D 2 f(x)désigne la différentielle seconde defenx).Si la variable est réelle (et notéet), on utilise la notationf (t)(resp.f (t)) pour la dérivée defent(resp. la dérivée seconde def ent) [ce sont des éléments de l"espace d"arrivée et non des applications linéaires]. Pour une fonction numériquefdéfinie sur un ouvertOdeR n ,différentiable enx?O(resp. deux fois différentiable enx?O),?f(x)(resp.? 2 f(x))désigne le (vecteur)gradientdefenx(resp. la matricehessiennedefenx). Lorsqu"elle existe, la dérivée directionnelle defenxdans la directiondest notéef (x,d).

Pour une fonction vectoriellef:O?R

n →R m différentiable enx?O,Jf(x) désigne la matricejacobiennedefenx(matrice àmlignes etncolonnes).

Optimisation et analyse convexe

M m,n (R):ensemble des matrices(m,n)(mlignes etncolonnes) à coefficients réels;M n (R)est une abréviation deM n,n (R). [a ij ]:matrice de terme générala ij (à lai-ème ligne etj-ème colonne). diag (λ 1 n ):matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont 1 n I n (ouIquand il n"y a pas d"ambiguïté) : matrice-unité deM n (R),i.e. diag (1,...,1). A ou t

A:transposéedeA?M

m,n (R)[les deux notations sont d"un usage très courant; par contreA t est à proscrire car génératrice de confusions].

LorsqueAest inversible,A

désigne l"inverse deA (ou, ce qui revient au même, la transposée deA -1 trA:trace deA?M n (R). détA:déterminant deA?M n (R). cofA:matrice des cofacteurs deA?M n (R),i.e.celle dont le terme(i,j)est (-1) i+j détA ij ,oùA ij est obtenue à partir deAen enlevant lai-ème ligne et la j-ème colonne. S n (R):ensemble des matrices deM n (R)qui sont symétriques. ?symbolise la somme directe de sous-espaces vectoriels. vect{v 1 ,...,v k }:sous-espace vectoriel engendré par les vecteursv 1 ,...,v k

Sauf indication contraire,R

n est muni de sa base canonique; ainsiàA? M m,n (R)est canoniquement associée une application linéaire deR n dansR m d"où les notations KerA,ImA,etc.

L"isomorphisme canonique deR

n surM n,1 (R)est celui qui àx=(x 1 ,...,x n associe la matrice unicolonneX=? ?x 1 x n ?; des expressions commeAX(ouAx)ne devraient pas arrêter l"étudiant-lecteur. Si, par exemple,uetvsont deux vecteurs deR n ,uv estunematricecarréedetaillendont le terme général estu i v j ,alors queu vest la matrice-scalaire (ou scalaire) n i=1 u i v j ?·,·?,?·,·?,(·|·):notations utilisées pour les produits scalaires (dans des espaces euclidiens). Sauf indication contraire,?·,·?désigne dansR n le produit scalaire usuel (celui qui àx=(ξ 1 n )ety=(η 1 n )associe?x,y?:= n i=1 i i ,soit encorex y(cf.supra)). Bien des problèmes d"optimisation se posent dans des espaces de matrices : siX:=M m,n (R),le produit scalaire standard sur

Xest défini par?M,N?:=tr(M

N). x

Abréviations et notations

SoitA?M

n (R),uetvdes vecteurs deR n :u

Avest un(e) (matrice-)

scalaire égal(e) à (sa transposée)uA v; un mécanisme plus commode d"utilisation et engendrant moins de fautes est d"écrire?u,Av?=?A u,v?. Silest une application linéaire d"un espace euclidien(E,?·,·?)dans un autre espace euclidien(F,?·,·?),l"adjointel delest l"application linéaire deF dansEdéfinie par ?l (y),x?=?y,l(x)?pour tout(x,y)?E×F. Si l"on représente l"ensemble des formes linéaires surEparEviale produit scalaire?·,·?(idem pourF), prendre l"adjointe delou sa transposée revientquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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