Optimisation et analyse convexe
OPTIMISATION. ET. ANALYSE CONVEXE. Exercices et problèmes corrigés avec rappels de cours. Jean-Baptiste Hiriart-Urruty. Collection dirigée par Daniel Guin.
Exercices corrigés
La fonction f est une somme de fonctions convexes elle est par conséquent convexe sur Df . Exercice 14.4. On consid`ere la fonction f définie sur R2 par f(x
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Corrigé. Exercice 1 (6 points). Soit C ? R2 l'ensemble donné par Il n'est pas convexe parce que les point A0 = (1
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
Pour optimiser f sous la contrainte de façon géométrique il faut déterminer les plus petit et plus grand k ? R tels que la courbe de niveau k de f coupe l'
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS DOPTIMISATION EXERCICE
1. 3y2 ? 1. ) . Rappelons que f est convexe sur R2 si et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie positive en tout point. Or
Convexité et Optimisation
28 janv. 2009 3.8 Projection sur les convexes dans les espaces de Hilbert et séparation des convexes . ... Corrigé de l'Exercice 2.10 On note d'abord que.
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26 mars 2015 “Optimisation et programmation dynamique” ... convexe fermé non vide K de Rn. Si y = (yi)i=1...
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Le but de l'UE est d'optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou sous doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice ...
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Séance 6 : Algorithmes pour l'optimisation avec contraintes. Exercice 1 (Algorithme d'Uzawa : Cas de contraintes d'égalité et inégalité). Corrigé 2 .
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29 juil. 2014 On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. ... Soit D un sous-ensemble convexe de R2 et f : D ? R une fonction.
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(a) Montrer que D est un sous-ensemble convexe de R2 (b) Montrer que la fonction h = ln ?f est bien définie sur D et étudier la convexité ou la concavité de h
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b) Montrer que U est un ensemble convexe et compact 2 c) Introduire deux fonctions g1 et g2 pour décrire U comme un ensemble de contraintes inégalités et
1. Montrer que la fonctionf:R2!R2définie par
f(x,y) =( y2x six6=0 ysix=0 admet des dérivées partielles au point(0,0), mais n"est pas continue en(0,0).2. SoitE, unR-espace vectoriel muni d"un produit scalaireh,i. Montrer la continuité,
puis la différentiabilité et calculer la différentielle de l"application " produit scalaire »
F:E2!Rdéfinie parF(x,y) =hx,yipour tous(x,y)2E2.3. SoitA2 Mn,m(R), avec(n,m)2N2.
(a) Montrer que l"applicationJ:Rm!Rdéfinie parJ(X) =kAXk2, où la notationkk désigne la norme euclidienne deRn, est différentiable et calculer sa différentielle. (b) Soitf2 C1(R). Montrer que l"applicationG:Rm!Rdéfinie parG(X) =f(J(X)) est différentiable et calculer sa différentielle.Corrigé de l"exercice
1. On a pour toutt2R,f(t,0)f(0,0) =02t
=0, ce qui montre que limt!0f(t,0)f(0,0)t =0,2. L"applicationFétant bilinéaire, sa continuité surE2est équivalente à sa continuité en(0,0). De
plus, d"après l"inégalité de Cauchy-Schwarz,jF(x,y)j kxk kykpour tous(x,y)2E2, où kxk=phx,xi. Étudions la différentiabilité deF. Fixons(x,y)2E2et(h,k)2E2. On a :F(x+h,y+k) =F(x,y) +F(x,k) +F(h,y) +F(h,k),
donc siL(h,k) =F(x,k) +F(h,y), on a kF(x+h,y+k)F(x,y)L(h,k)k=kF(h,k)k khk kkk=o(N(h,k)), en prenant par exempleN(h,k) =maxfkhk,kkkg. De plus,Lest linéaire et continue car jL(h,k)j kxk kkk+khk kyk N(x,y)N(h,k)!N(h,k)!00,
en vertu de l"inégalité de Cauchy-Schwarz. On en déduit simultanément queFest différentiable,
et quedF(x,y)(h,k) =L(h,k) =hx,ki+hy,hi.3. (a) L"applicationX2Rn7! kXk2estC¥donc différentiable surRn, car polynômiale. L"ap-
plicationX7!AXest linéaire, donc différentiable. Par conséquent, l"applicationJest dif- férentiable en tant que composée de fonctions qui le sont. De plus, pour toutX2Rm, on aJ(X) =hAX,AXi=hA>AX,Xi,
avecA>A2 Sm(R). On en déduit que la différentielle deJenXest l"application linéaire dXJ:h2Rm7!2A>Ah.
(b) Utilisons le théorème de composition des différentielles. On obtient dXG(h) =dJ(X)fdXJ(h) =2f0(J(X))A>Ah.
pour touth2Rm.EXERCICE II(Calcul différentiel)
On considère la fonctionf:R2!Rdéfinie parf(x,y) =( x3+y3x2+y2si(x,y)6= (0,0)
0 sinon.
La fonctionfest-elle continue surR2? de classeC1surR2?Corrigé de l"exercice
La fonctionfestC¥surR2nf(0,0)gen tant que produit, quotient ne s"annulant pas etc. de fonctions qui le sont. Reste à étudier la régularité en(0,0). On a8(x,y)2R2nf(0,0)g,jf(x,y)j jxj3x
2+jyj3y
2=jxj+jyj !(x,y)!(0,0)0.
en(0,0). En effet, soitt6=0 et(x,y)6= (0,0). On a f(tx,ty)f(0,0)t =t3(x3+y3)t3(x2+y2)!(x,y)!(0,0)x
3+y3x 2+y2.Or, sifétait différentiable en(0,0), cette limite coïnciserait avecd(0,0)f(x,y)et serait en particulier
linéaire par rapport à(x,y)ce qui n"est pas le cas.EXERCICE III(optimisation sans contrainte)
On considère la fonctionfdéfinie surR2par
f(x,y) =x4+y42(xy)2.1. Montrer qu"il existe(a,b)2R2+(et les déterminer) tels que
f(x,y)ak(x,y)k2+b pour tous(x,y)2R2, où la notationk kdésigne la norme euclidienne deR2.En déduire que le problème
inf(x,y)2R2f(x,y)(P) possède au moins une solution.2. La fonctionfest-elle convexe surR2?
3. Déterminer les points critiques def, et préciser leur nature (minimum local, maximum
local, point-selle, ...). Résoudre alors le problème(P).Corrigé de l"exercice
1.fest polynômiale donc de classeC¥(R2). En utilisant le fait quexy 12
(x2+y2), on écrit f(x,y)x4+y42x22y2+4xyx4+y24x24y2, pour tout(x,y)2R2. En utilisant le fait que pour tout(X,#)2R2,X4+#42#X20, il vient f(x,y)(2#4)x2+ (2#4)y22#4.Choisissons par exemple#=3, on en déduit
f(x,y)2(x2+y2)162!k(x,y)k!+¥+¥,ce qui prouve quefest coercive surR2qui est fermé et de dimension finie. D"après le théorème
du cours, le problème(P)admet au moins une solution.2. Pour étudier la convexité def(qui est de classeC2surR2), calculons sa matrice hessienne en
tout point(x,y)deR2. On a Hessf(x,y) =43x21 11 3y21
Rappelons quefest convexe surR2si, et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie positive en tout point. Or, on vérifie aisément que les valeurs propres de Hessf(0,0)sont 0 et2. Par conséquent,fn"est pas convexe.
3. Les points critiques defsont donnés par les solutions derf(x,y) = (0,0), autrement dit, les
points critiques sont solutions du système : x3(xy) =0 y3+ (xy) =0,x3+y3=0
y3+ (xy) =0,y=x
x 32x=0On en déduit quefadmet trois points critiques :O(0,0),A(p2,p2)etB(p2, p2).
fétant de classeC2, on va utiliser la caractérisation des points critiques à l"aide de la hessienne
calculée à la question précédente. - Point A: Hessf(A) =20 4 4 20 donc la trace de Hessf(A)vaut 40 et son déterminant 384. On en déduit que Hessf(A)possède deux valeurs propres strictement positives donc queA est unminimiseur localpourf. - Point B: Hessf(B) =Hessf(A), donc la même conclusion que pour le pointAs"impose. - Point O: Hessf(O) =4 4 44, donc la trace de Hessf(O)vaut8 et son déterminant est nul. Il vient que ses valeurs propres sont 0 et8. On ne peut donc rien conclure dans ce cas à l"aide de la matrice hessienne. En revanche, on peut donner un argument à la main : soit x2Rtel quejxj<2. On af(x,x) =2x48x2=2x2(4x4). Or,jxj<2 donc 4x2>0 et on en déduit quef(x,x)<0. De même, soitx2R. On af(x,x) =2x40. Puisque
les inégalités précédentes sont obtenues pour desxarbitrairement petits, on en déduit que le
point(0,0)est unpoint-sellepourf.En conclusion, puisque le problème(P)possède une solution, la caractérisation des points cri-
tiques defnous assure que inf (x,y)2R2f(x,y) =f(A) =f(B) =8. EXERCICE IV(optimisation quadratique, moindres carres) SoitN2N. On considère un nuage de pointsf(ti,xi)g1iN, et on cherche à mettre en oeuvre unerégression parabolique, autrement dit, on recherche la parabolePd"équationy=at2+bt+c,oùa,betcsont trois réels à déterminer, telle que la somme sur tous les indicesivariant de 1 à
Ndu carré de la distance du point(ti,xi)au point de même abscisse surPsoit minimale.1. Écrire ce problème comme un problème de minimisation quadratique, c"est-à-dire un
problème de la forme infX2RnJ(X)avecJ(X) =12
hAX,Xi hb,Xi, (Q) avecA2 Sn(R),b2Rn. On devra donc explicitern,Aetb.On utilisera la notationSk=åNi=1tki.
2. Discuter de l"existence des solutions d"un tel problème.
3. On suppose que la matriceAest définie positive. Démontrer que(Q)possède une
unique solution.Corrigé de l"exercice
1. Le problème s"écrit
infX2R3J(X)avecX=0
@a b c1 A etJ(X) =Nå i=1(xiat2ibtic)2.ÉcrivonsJ(X) =kMXkk2avecM=0
B @t 21t11t
2NtN11
CAetk=0
B @x 1... x N1 CA. D"après le cours sur la
méthode des moindres carrés, on aJ(X) =12
hAX,Xi hb,Xi avecn=3,A=M>M2 S3(R)etb=M>k2R3. On calculeA=0 @S 4S3S2 S 3S2S1 S 2S1N1 A2. Ce problème est équivalent au problème de minimiser la distance euclidienne dekau sous es-
pace vectoriel (de dimension finie) Im(M). C"est donc un problème de projection orthogonale, et il admet une solution.3. Dans ce cas, on sait que HessJ(X) =Aqui est définie positive. Par conséquent,Jest strictement
convexe, etJpossède au plus un minimum dansRN. Comme on a vu qu"elle en possède au moins un, on conclut à l"existence et l"unicité. EXERCICE V(optimisation quadratique, moindres carrés) On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle[1,1]parf(x) =x3. L"espaceC0([1,1])des fonctions continues sur[1,1]est muni du produit scalaire défini parhh,gi=R11h(x)g(x)dx
et on notek kla norme associée, définie parkhk=phh,hi, pour tous(h,g)2(C0([1,1])2.On souhaite déterminer le polynômePde degré inférieur ou égal à 1 qui approche le mieuxf
au sens des moindres carrés, c"est-à-dire qui minimisekfPk2parmi tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 1 (sous réserve qu"il existe et soit unique).1. Mettre ce problème sous la forme d"un problème de moindres carrés de dimension finie.
Quelle est cette dimension?
2. Étudier l"existence/l"unicité des solutions de ce problème.
3. Résoudre ce problème.
Corrigé de l"exercice
1. Le problème d"optimisation sous-jacent s"écrit
inf (a,b)2R3J(a,b), avecJ(a,b) =Z 11(x3axb)2dx.
On calcule alors
J(a,b) =Z
11(x6+a2x2+b22ax42bx3+2abx)dx=12
hAX,Xi h˜b,Xi+c, avecX= (a,b)>,A=4/3 0 0 4˜b=4/5
0 etc=27 . On s"est ainsi ramené à un problème d"optimisation de dimension 2.2. Le problème d"optimisation précédent est un problème d"optimisation quadratique donc la ma-
trice hessienne associée est définie positive (cela se retrouve d"ailleurs en utilisant le formalisme
des problèmes de moindres carrés menant à l"équation normale). On en déduit que la fonctionJ
est coercive surR2qui est fermé et de dimension finie donc ce problème possède une solution unique.3. L"équation normale s"écritAX=˜bqui se résout directement. On obtient :X=3/5
0 EXERCICE VI(convexité, optimisation quadratique)Soita2R. On définitfa:(x,y)7!x2+y2+axy2x2y.
1. Pour quelles valeurs dea, la fonctionfaest-elle convexe? Et strictement convexe?
2. Discuter en fonction des valeurs du paramètreade l"existence de solutions au problème
d"optimisation infffa(x,y),(x,y)2R2g.3. Lorsquea2]2,2[, résoudre le problème précédent.
Corrigé de l"exercice
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