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Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019

Exercices corrig´es

Merci de me signaler toute coquille pr´esente dans ce document :selim.cornet@dauphine.fr

Exercices du polycopi´e

Exercice 8.6

Soientb > a >0 etf: [a,b]→Rune fonction de classeC1et convexe sur [a,b]. 1. Rapp elezla d ´efinitionde f est con vexesu r[ a,b]. 2.

En d ´eduireque

?(Q,Q0)?[a,b]2,f(Q)Q -f(Q0)Q

0≥?

1-Q0Q f ?(Q0)-f(Q0)Q 0? (8.2) 3.

Consid ´eronsun bien Adont le coˆut total de fabrication est li´e `a la quantit´e produiteQ?[a,b] par la relation

C=f(Q).

(a) Rapp elezla d ´efinitiondu c oˆutmo yenet du co ˆutmarginal. (b)

On su pposequ"il existe une quan tit´eQ?pour laquelle le coˆut moyen et le coˆut marginal s"´egalisent. D´eduire

de (8.2) que le coˆut moyen atteint son minimum enQ?.

Corrig´e

1.fest convexe si sa courbe repr´esentative est au-dessus de toutes ses tangentes sur [a,b], c"est-`a-dire si

?Q0?[a,b],?Q?[a,b],f(Q)≥f(Q0) +f?(Q0)(Q-Q0) 2. Soien tQ0,Q?[a,b]. CommeQ >0 etQ0>0, on d´eduit de la relation pr´ec´edente : f(Q)Q ≥f(Q0)Q 1-Q0Q f ?(Q0) f(Q)Q -f(Q0)Q

0≥f(Q0)Q

-f(Q0)Q 0+? 1-Q0Q f ?(Q0) f(Q)Q -f(Q0)Q

0≥?

1-Q0Q f ?(Q0)-f(Q0)Q 0? La relation (8.2) est d´emontr´ee pour tout (Q0,Q)?[a,b]2. 3. (a)

Le co ˆutmo yenest donn ´epar fM(Q) =f(Q)Q

, et le coˆut marginal parfm(Q) =f?(Q). (b)

En Q?, on a doncf(Q?)Q

?=f?(Q?). En rempla¸cantQ0parQ?dans la relation (8.2), on a alors ?Q?[a,b],f(Q)Q -f(Q?Q 1-Q?Q f ?(Q?)-f(Q?)Q = 0

c"est-`a-direfM(Q)-fM(Q?)≥0 pour toutQ?[a,b]. Par d´efinition du minimum global, la fonctionfM

poss`ede donc un minimum global sur [a,b] enQ?. 1 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019

Exercice 13.5

Soit la fonctionfd´efinie par

f(x,y) =xαyβ

o`uαetβsont des r´eels non nuls. SoitC={(x,y)?R2,x >0,y >0}.On admet queCest ouvert.´Etudier la convexit´e

(ou la concavit´e) defsurCen discutant selon les valeurs deαetβ.

Corrig´e

Commen¸cons par remarquer que pour tout (x,y)? C, on a ln(f(x,y)) =αln(x)+βln(y). Ainsi, siα <0,β <0, ln◦fest

convexe (par les propri´et´es d"extension et d"addition), doncfest convexe. Calculons les d´eriv´ees partielles def. On a, pour tout (x,y)? C,∂f∂x (x,y) =αxα-1yβ,∂f∂y (x,y) =βxαyβ-1, puis ∂2f∂x

2(x,y) =α(α-1)xα-2yβ,∂2f∂x∂y

(x,y) =αβxα-1yβ-1,∂2∂y

2(x,y) =β(β-1)xαyβ-2. Le d´eterminant de la matrice

hessienne en (x,y) vaut doncrt-s2=αβ(α-1)(β-1)x2α-2y2β-2-(αβ)2x2α-2y2β-2=αβ(1-α-β)x2α-2y2β-2.

Celui-ci est du signe deαβ(1-α-β). Ainsi : •Siα <0,β >0 etα+β >1, on art-s2<0 etr≥0, doncfn"est ni convexe ni concave. •On peut faire la mˆeme analyse dans le cas sym´etriqueα >0,β <0. On r´esume tous ces r´esultats dans le tableau ci-dessous.αβα+βfest<0<0-convexe <0>0>1ni convexe ni concave >0<0>1ni convexe ni concave >0>0>1ni convexe ni concave

Exercice 13.8

Soit la fonctionfd´efinie parf(x,y) = (y-1)ln(y-1)-ln(x) +x2-xy+ 2y2-7y-32 x+ 3. 1. Donner le domaine de d ´efinitionDfdefet faire un dessin de cet ensemble. 2.

L"ensem bleDfest-il convexe ? Est-il ouvert ?

3.

Mon trerque fest de classeC2surDf.

4. Mon trerque la fonction ?:u?→uln(u) est convexe sur son ensemble de d´efinition. 5.

En d ´eduirela con vexit´ede fsurDf.

2 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019

Corrig´e

1.

Les quan tit´es` al"in t´erieurdes logarithmes doiv entˆ etrestricte mentp ositives.fest donc d´efinie surDf={(x,y)?

R

2,x >0,y >1}.Oxy

D f2.Dfest convexe et ouvert car c"est l"intersection de deux demi-plans ouverts. 3.

La fonction ?est d´efinie et de classeC1sur ]0,+∞[. Pour toutu?]0,+∞[, on a??(u) =u×1u

+ ln(u) = 1 + ln(u) qui est une fonction croissante,?est donc convexe sur ]0,+∞[. 4.

La fonction ln ´ etantde classe C2surR+, la fonction (x,y)?→ -ln(x) est de classeC2par extension. La fonction

(x,y)?→ln(y-1) est aussi de classeC2car compos´ee d"une fonction affine par la fonction logarithme qui est de classe

C

2. Par produit avec une fonction affine, la fonction (x,y)?→(y-1)ln(y-1) est de classeC2.fest par cons´equent

de classeC2, comme somme de fonctions de classeC2et d"une fonction polynomiale qui est aussi de classeC2.

5.

P arcomp ositiond"une fonction c onvexepar une fonction affine ,( x,y)?→(y-1)ln(y-1) =?(y-1) est convexe

surDf. De plus, par application du crit`ere de convexit´e des fonctions polynomiales de degr´e 2, la fonction (x,y)?→

x

2-xy+ 2y2-yy-32

x+ 3 est convexe surDf(car 4ac-b2= 4×1×2-(-1)2= 3>0 eta= 1>0). Enfin, la

fonction-ln ´etant convexe, la fonction (x,y)?→ -ln(x) est convexe d"apr`es la propri´et´e d"extension. La fonctionf

est une somme de fonctions convexes, elle est par cons´equent convexe surDf.

Exercice 14.4

On consid`ere la fonctionfd´efinie surR2par

f(x,y) =xye-x2+y22 1. On consid `erela fonction φd´efinie surRparφ(u) =ue-u22 . Montrer queφest de classeC2surRet calculerφ?et 2.

D ´eterminerles extrema de φsurRet donner les plus grands intervalles (au sens de l"inclusion) sur lesquelsφest

convexe. 3.

P ourtout ( x,y)?R2, exprimerf(x,y) en fonction deφ(x) etφ(y). En d´eduire une expression des d´eriv´ees partielles

premi`eres defen fonction deφet deφ?. 4. D ´eterminerles cinq p ointscritiqu esde fsurR2. 5.

T oujours` al"aide des fonctions φ,φ?etφ??, donner la matrice hessienne defen un point quelconque (x,y) deR2.

6.

Donner la nature lo caledes p ointscritiques.

7. On p oseD={(x,y)?R2,x >0 ety >0}. On admet que c"est un ouvert deR2. 3 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 (a)

Mon trerque Dest un sous-ensemble convexe deR2.

(b)

Mon trerque la fonction h= ln◦fest bien d´efinie surDet ´etudier la convexit´e ou la concavit´e dehsurD.

(c)

En d ´eduiresans calcul les extrema de fsurD.

(d)

Mon trerque fest born´ee surD.

Corrig´e

1.

La fonction u?→e-u22

est de classeC2surRcomme compos´ee de la fonction exponentielle par une fonction

polynomiale. Par produit avec une fonction polynomiale, la fonctionφest donc de classeC2surR. On calcule, pour

toutu?R, ?(u) = (1-u2)e-u22 etφ??(u) = (u3-3u)e-u22

2.•On aφ?(u) = 0?u? {-1,1}. De plusφ??(1) = 2e-1/2>0,φ??(1) =-2e-1/2<0. La fonctionφposs`ede

donc un minimum local en-1, de valeurφ(-1) =-e-1/2, et un maximum local en 1 de valeurφ(1) =e-1/2.

e

-1/2. De mˆeme, comme limu→+∞φ(u) = 0, il existeb?Rtel que pour toutu≥b,|φ(u)|< e-1/2. On a

n´ecessairementa <-1 etb >1. Commeφest continue, elle admet un minimum et un maximum global

sur [a,b], qui sont n´ecessairement atteints en des points critiques ou sur le bord. Maisφ(a)>-e-1/2=

φ(-1),φ(b)> e-1/2=φ(-1), le minimum global n"est donc pas atteint sur le bord mais enu=-1. De mˆeme,

plus, ´etant donn´e le choix deaetb, ces in´egalit´es sont ´egalement vraies pour toutu /?[a,b]. En conclusion,

maximum global en 1. •On a, pour toutu?R,φ??(u) =u(u-⎷3)(u+⎷3)e-u22 . L"exponentielle ´etant toujours positive, un tableau de

signes nous donne queφ??(u)≥0 pouru?[-⎷3,0] etu?[⎷3,+∞[. Ces deux intervalles sont donc les plus

grands sur lesquelsφest convexe. 3. On a, p ourtout ( x,y)?R2,f(x,y) =φ(x)φ(y). On en d´eduit que, pour tout (x,y)?R2, ∂f∂x (x,y) =φ?(x)φ(y) et∂f∂y (x,y) =φ(x)φ?(y) 4.

On r ´esoutle syst `eme

?φ?(x)φ(y) = 0 φ(x)φ?(y) = 0. La premi`ere ligne donneφ?(x) = 0 ouφ(y) = 0. •Siφ?(x) = (1-x2)e-x22 = 0, alors n´ecessairementx=-1 oux= 1. Commeφ(1)?= 0,φ(-1)?= 0, la deuxi`eme ligne impose doncφ?(y) = 0 soit, de la mˆeme mani`ere,y=-1 ouy= 1.

•Siφ?(x)?= 0, alorsφ(y) = 0 ce qui imposey= 0. Commeφ?(0)?= 0, la deuxi`eme ligne impose alorsφ(x) = 0

doncx= 0. En conclusion,fposs`ede 5 points critiques qui sont (-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1) et (0,0). 5.

On a, p ourtout ( x,y)?R2,

2f∂x

2(x,y) =φ??(x)φ(y)∂2f∂y

2(x,y) =φ(x)φ?(y)∂2f∂x∂y

(x,y) =φ?(x)φ?(y)

D"o`u la matrice hessienne en (x,y) :

Hf(x,y) =?φ??(x)φ(y)φ?(x)φ?(y)

?(x)φ?(y)φ(x)φ??(y)? 4 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 6.

On calcule, en ( x,y)?R2,

xy(x3-3x)(y3-3y)-(1-x2)2(1-y2)2? e-x2-y2

Ainsi :

•En (-1,-1), on art-s2= 4e-2>0 etr=-2e-1<0. La fonctionfa donc un maximum local en (-1,-1). •En (-1,1), on art-s2= 4e-2>0 etr= 2e-1>0. La fonctionfa donc un minimum local en (-1,1). •En (1,-1), on art-s2= 4e-2>0 etr= 2e-1>0. La fonctionfa donc un minimum local en (1,-1). •En (1,1), on art-s2= 4e-2>0 etr=-2e-1<0. La fonctionfa donc un maximum local en (1,1). •En (0,0), on art-s2=-1<0. La fonctionfa donc un point-col en (0,0). 7. (a) Dest convexe car c"est l"intersection de deux demi-plans ouverts. (b)

La fonction fest strictement positive surD.

Ainsih= ln◦fest bien d´efinie surD, et pour tout (x,y)? D,h(x,y) = ln(f(x,y)) = ln(x) + ln(y)-x2+y22

Les fonctions ln etu?→ -u22

sont concaves surR?+, donc par extension les fonctions (x,y)?→ln(x),(x,y)?→ ln(y),(x,y)?→ -x22 et (x,y)?→ -y22 sont concaves surD. La fonctionhest donc concave comme somme de fonctions concaves. (c)

La fonction ln ´ etantstrictemen tcroissan te,les fonctions fethont les mˆemes extrema locaux aux mˆemes

points. Or on sait d´ej`a que le seul point critique defsurDest (1,1) et quefa un maximum local en ce point.

La fonctionha donc ´egalement un maximum local en (1,1). Mais commehest concave, on peut donc affirmer

queha mˆeme un maximum global en (1,1) surD. Commefethont les mˆemes extrema, la fonctionfa donc

aussi un maximum global en (1,1) surD. Commefn"a pas d"autres points critiques surD(qui est ouvert), elle n"a pas d"autres extrema locaux surD. (d) On a, p ourtout ( x,y)? D,f(x,y)≥0. De plus, commefa un maximum global en (1,1) surD, on a pour fonctionfest donc born´ee surD.

Exercice 14.8

Soient les fonctionsfetgd´efinies par

f(x,y) =xy g(x,y) =1x +1y 1. D ´eterminerles extrema de fsurR2puis sous la contrainteg(x,y) =23 2. D ´eterminerles extrema d egsurDgpuis sous la contraintef(x,y) = 9.

Corrig´e

1.

Optimisation de fsurR2(qui est ouvert).

Commen¸cons par d´eterminer les points critiques. On r´esout le syst`eme : ∂f∂x (x,y) = 0 ∂f∂y (x,y) = 0??y= 0 x= 0 fposs`ede donc un seul point critique qui est (0,0). D´eterminons sa nature. Pour tout (x,y)?R2,

2f∂x

2(x,y) =∂2f∂y

2(x,y) = 0 et∂2f∂x∂y

(x,y) = 1 5 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019

D"o`u en (0,0), on art-s2= 0×0-12=-1<0. La fonctionfa donc un point-col en (0,0), etfn"a pas d"extrema

locaux surR2.

Optimisation defsous contrainte explicite.

La contrainte

1x +1y =23 imposex?= 0,y?= 0 ainsi quex?=32 ,y?=32 (car la contrainte ne peut pas ˆetre v´erifi´ee si xouyprend la valeur32 ) et se r´e´ecrit1y =23 -1x . Il s"ensuity=12 3 -1x =3x2x-3.

On pose doncF(x) =f?

x,3x2x-3? =3x22x-3. Pour toutx /?? 0,32 , on a F ?(x) =6x(2x-3)-2×3x2(2x-3)2=6x2-18x(2x-3)2=6x(x-3)(2x-3)2

La fonctionF?s"annule enx= 0 oux= 3, mais le casx= 0 est exclu ; la fonctionFposs`ede donc un seul point

critique qui estx= 3. D´eterminons sa nature. Pour toutx /?? 0,32 , on a F ??(x) = 6(2x-3)(2x-3)2-(x2-3x)×2×2×(2x-3)(2x-3)4=54(2x-3)3

On a doncF??(3) =543

3=5427

>0. La fonctionFposs`ede donc un minimum local en 3. La valeur correspondante

deyesty=3×32×3-3= 3. La fonctionfposs`ede donc un minimum local sous la contrainte en (3,3), de valeur

f(3,3) = 9. 2.

Optimisation de gsurDg.

On aDg={(x,y)?R2,x?= 0,y?= 0}et cet ensemble est ouvert. Cherchons les points critiques deg. Pour tout

(x,y)? Dg,?∂g∂x (x,y) = 0 ∂g∂y (x,y) = 0?? -1x 2= 0 -1y 2= 0

et ce syst`eme n"a pas de solutions. La fonctiongn"a donc pas de points critiques, et pas d"extrema locaux surDg.

Optimisation degsous contrainte explicite.

Pour tout (x,y)? Dg, la contraintexy= 9 se r´e´ecrity=9x (carx?= 0). On pose, pour toutx?= 0,

G(x) =g?

x,9x =1x +x9 . Cherchons ses points critiques. Pour toutx?= 0,G?(x) =-1x 2+19 et cette fonction s"annule enx=-3 etx= 3.

De plus, pour toutx?= 0,G??(x) =2x

3, d"o`uG??(-3)<0,G??(3)>0. La fonctionGposs`ede donc un maximum

local en-3 et un minimum local en 3. Par cons´equent, sous la contrainte, la fonctiongadmet un maximum local

en (-3,-3), de valeur-23 , et un minimum local en (3,3), de valeur23

Exercice 14.9

Soit la fonctionhd´efinie parh(x,y) =-x2-4y2.

D´eterminer les extrema dehsurR2et sous la contraintex+ 2y2-2 = 0.

Corrig´e

•OptimisonshsurR2. On calcule, pour tout (x,y)?R2,∂h∂x (x,y) =-2x,∂h∂y (x,y) =-8y. Le seul point critique de maximum global en (0,0), de valeur 0. 6 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 •La contrainte se r´e´ecritx= 2-2y2. On pose alors h(y) =h(2-2y2,y) =-(2-2y2)2-4y2=-4 + 8y2-y4-4y2=-4 + 4y2-y4=-(y2-2)2

Pour touty?R, on a?h?(y) =-2(y2-2)×2y. Ainsi?h?(y) = 0?y? {-⎷2,0,⎷2}. On remarque d´ej`a que

?h(-⎷2) = ⎷2, de valeur 0. Reste `a ´etudier la nature du point critique 0. On a ?h??(y) =-12y2+ 4 donc?h??(0) = 4>0. La fonction

?hposs`ede donc un minimum global en 0, de valeur?h(0) =-4. Comme limy→+∞?h(y) =-∞, ce minimum

n"est pas global.

En conclusion, sous la contrainte,hposs`ede un maximum global en (-2,-⎷2) et (-2,⎷2), de valeur 0, et un

minimum local en (2,0), de valeur-4.

Exercice 14.10

D´eterminer les extrema (locaux ou globaux) de la fonction suivante sous la contrainte indiqu´ee.

f(x,y) =x2+y2sousx24 -y216 -1 = 0

Corrig´e

La contrainte se r´e´ecrity2= 4x2-16. Celle-ci n"est pas enti`erement explicite, mais comme la d´efinition defne

fait intervenir quey2(et pasy), cette reformulation suffit. Elle impose en particulier 4x2-16≥0, doncx≥2 ou

x?]- ∞,-2[?]2,+∞[,F?(x) = 10xqui ne s"annule pas sur ]- ∞,-2[?]2,+∞[. La fonctionFne poss`ede donc pas de

point critique sur l"int´erieur de son domaine de d´efinition, et les seuls candidats pour donner des extrema locaux sont

par cons´equent les bords, doncx=-2 etx= 2. De plus, on aF(-2) =F(2) = 4, etFest d´ecroissante sur ]- ∞,-2]

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