Optimisation et analyse convexe
OPTIMISATION. ET. ANALYSE CONVEXE. Exercices et problèmes corrigés avec rappels de cours. Jean-Baptiste Hiriart-Urruty. Collection dirigée par Daniel Guin.
Exercices corrigés
La fonction f est une somme de fonctions convexes elle est par conséquent convexe sur Df . Exercice 14.4. On consid`ere la fonction f définie sur R2 par f(x
Devoir Maison dOptimisation Numérique – Corrigé
Corrigé. Exercice 1 (6 points). Soit C ? R2 l'ensemble donné par Il n'est pas convexe parce que les point A0 = (1
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
Pour optimiser f sous la contrainte de façon géométrique il faut déterminer les plus petit et plus grand k ? R tels que la courbe de niveau k de f coupe l'
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS DOPTIMISATION EXERCICE
1. 3y2 ? 1. ) . Rappelons que f est convexe sur R2 si et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie positive en tout point. Or
Convexité et Optimisation
28 janv. 2009 3.8 Projection sur les convexes dans les espaces de Hilbert et séparation des convexes . ... Corrigé de l'Exercice 2.10 On note d'abord que.
Partiel du 26 Mars 2015—Corrigé “Optimisation et programmation
26 mars 2015 “Optimisation et programmation dynamique” ... convexe fermé non vide K de Rn. Si y = (yi)i=1...
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
Le but de l'UE est d'optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou sous doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice ...
Travaux dirigés. 1 Optimisation & Analyse convexe Séance 6
Séance 6 : Algorithmes pour l'optimisation avec contraintes. Exercice 1 (Algorithme d'Uzawa : Cas de contraintes d'égalité et inégalité). Corrigé 2 .
MS41 Optimisation I
29 juil. 2014 On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. ... Soit D un sous-ensemble convexe de R2 et f : D ? R une fonction.
[PDF] quelques exercices corrigés doptimisation
La fonction f est-elle convexe sur R2 ? 3 Déterminer les points critiques de f et préciser leur nature (minimum local maximum local point-selle
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OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE Exercices et problèmes corrigés avec rappels de cours Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Collection dirigée par Daniel Guin
[PDF] Exercices corrigés
(a) Montrer que D est un sous-ensemble convexe de R2 (b) Montrer que la fonction h = ln ?f est bien définie sur D et étudier la convexité ou la concavité de h
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6 jan 2014 · 4ème année CC2 - Optimisation Durée : 2h30 Seuls le polycopié de cours et les notes personnelles de cours sont autorisés Exercice 1
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26 mar 2015 · “Optimisation et programmation dynamique” convexe fermé non vide K de Rn Si y = (yi)i=1 m et z = (zi)i=1 m sont Exercice 1
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Séance 6 : Algorithmes pour l'optimisation avec contraintes Exercice 1 (Algorithme d'Uzawa : Cas de contraintes d'égalité et inégalité) Corrigé 2
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(4) Trouver le minimum et le maximum de f sur T Solution 1) La fonction f n'est ni convexe ni concave puisque elle est C2 et sa matrice
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Devoir Maison d'Optimisation Numérique – Corrigé Exercice 1 (6 points) Il n'est pas convexe parce que les point A0 = (12) et A1 = (?12)
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b) Montrer que U est un ensemble convexe et compact 2 c) Introduire deux fonctions g1 et g2 pour décrire U comme un ensemble de contraintes inégalités et
![ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE](https://pdfprof.com/Listes/17/48730-172011-exo-DUGEAD.pdf.pdf.jpg)
I. Catto
R. Rhodes
ANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE
ET SOUS CONTRAINTE : EXERCICES ET
ANNALES
Responsables I. Catto et R. Rhodes
UE 13 du DEGEAD
Année 2011-2012
I. CattoUniversité Paris-Dauphine.R. RhodesUniversité Paris-Dauphine.ANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE ET SOUS
CONTRAINTE : EXERCICES ET ANNALES
I. Catto, R. Rhodes
Responsables I. Catto et R. Rhodes
UE 13 du DEGEAD
Année 2011-2012
TABLE DES MATIÈRES
Instructions.. ................................................................................ i Organisation de l"enseignement .. ............................................................ i Programme . . ................................................................................ i Documents et bibliographie .. ................................................................ i Contrôle continu des connaissances (CC) .. .................................................. i Absences au contrôle continu .. .............................................................. iiConseils pratiques à propos des copies des contrôles ou de l"examen .. ........................ ii
1. Exercices.................................................................................... 1
1.7. Différentielle et approximation affine .. .................................................. 1
1.8. Calculs approchés des variations - Applications économiques .. .......................... 2
1.9. Formule de Taylor . ....................................................................... 2
1.10. Extrema des fonctions d"une variable . ................................................... 3
1.11. Géométrie dansR2etR3.. .............................................................. 3
1.12. Topologie dansR2.. .................................................................... 4
1.13. Parties convexes deR2.................................................................. 4
1.14. Fonctions de deux variables .. .......................................................... 5
1.15. Continuité .. ............................................................................ 5
1.16. Dérivées partielles du premier ordre .. .................................................. 6
1.17. Différentielle .. .......................................................................... 6
1.18. Applications économiques .. ............................................................ 7
1.19. Dérivées partielles du deuxième ordre .. ................................................ 7
1.20. Développement limité d"ordre 2 . . ...................................................... 7
1.21. Fonctions convexes et concaves .......................................................... 8
1.22. Extrema libres des fonctions de deux variables .. ........................................ 9
1.23. Extrema liés des fonctions de deux variables .. .......................................... 10
2. Recueil d"annales.. ........................................................................ 11
2.1. Contrôles continus ........................................................................ 11
2.2. Examens .. .............................................................................. 20
INSTRUCTIONS
Organisation de l"enseignement
1. 28 séances cours -TD (26 séances cours -TD, 2 contrôles écrits).
2. Cours de soutien en mathématiques pour aider tous ceux quile désirent.
Programme
Le but de l"UE est d"optimiser une fonction de deux variables: optimisation libre ou sous contrainte.
Documents et bibliographie
En L1 de Sciences-Économiques toutes les universités françaises traitent à peu près le même programme
de mathématiques, mais la répartition sur les deux années, la présentation (plus ou moins théorique),
les méthodes de résolution et les exigences sont variables. Ce programme suppose un bon acquis des notions vues au lycée (le niveau terminale ES ou L est unpeu insuffisant au début et demandera quelques remises à niveau et une participation assidue au cours
de soutien).- Les définitions, formules et théorèmes du polycopié doivent être connus par coeur pour être utilisés
dans les applications.- Le polycopié d"exercices donne les énoncés des applications qui seront traitées en T.D. Ces exercices
doivent être préparés : écouter le corrigé d"un exercice, sans avoir préalablement essayé de le résoudre
ne sert à rien. Vous n"en retirerez aucun profit, puisque vousn"en aurez pas saisi les éventuelles
difficultés.- Des sujets d"annales sont proposés dans le polycopié d"exercices. Vous pouvez aussi les retrouver,
ainsi que quelques corrigés, sur MyCourse : mycourse.dauphine.fr- Une version plus détaillée du polycopié a été publiée sous forme de livres chez Ellipses. Cette version
contient des exercices corrigés. Cet ouvrage est en plusieurs exemplaires à la bibliothèqueI. Catto, I. Gentil et G. Pons, Mathématiques : Eléments de calcul différentiel pour l"économie,
collection L Sciences Eco, Ellipses, 2011.Contrôle continu des connaissances (CC)
L"évaluation des étudiants se fera sur la base de 2 tests écrits de 1h30. La note finale de contrôle continu
sera calculée sur la base de la moyenne arithmétique des deuxnotes obtenues en tenant compte de
l"assiduité et de la participation de l"étudiant.Absences au contrôle continuEn application du texte sur le contrôle des connaissances duDEGEAD,toute absence, même
justifiée, à un des tests écrits comptant pour la note de contrôle continu est sanctionnée
par la note 0. Conseils pratiques à propos des copies des contrôles ou de l"examenPRÉSENTATION
Nous avons constaté ces dernières années une dégradation constante dans la présentation des copies.
Les enseignants ne veulent plus corriger des copies illisibles ou ressemblant à de véritables torchons. Il
nous semble donc indispensable de rappeler quelques principes élémentaires :1. Écrire lisiblement à l"encre et laisser une marge.
2. Le numéro de chaque question traitée doit être mis en évidence dans la marge. Inutile de recopier
l"énoncé de la question.3. Tous les résultats doivent être encadrés ou soulignés d"une couleur différente de celle choisie pour
l"écriture, le rouge étant exclu car réservé au correcteur.4. Les notations sont importantes. Si vous utilisez une notation personnelle, c"est-à-dire, différente
de celle du poly, vous devez la définir. En mathématiques, il n"y a pas d"à peu près. Un résultat
est juste ou faux.Le non-respect des consignes ci-dessus entraînera des pénalités (sous forme de points négatifs) aux
contrôles et aux examens.RÉDACTION
Une copie de mathématiques n"est pas une simple suite de calculs, mais un texte en français qui doit
être compris par votre lecteur : elle doit donc être rédigée. Les conseils suivants doivent vous aider à présenter vos raisonnements.1. Annoncez ce que vous allez faire : montrons que la fonctionfest continue .... , calculons la dérivée
defen utilisant la formule de dérivation d"un quotient ....,2. Rappelez les hypothèses utiles : comme la fonction est continue ..., par hypothèse la fonction est
de classeC2...., sachant quexest un réel strictement positif...3. Énoncez une formule ou un résultat connu que vous utiliserez ensuite : sachant que l"équation de
la tangente à une courbe au point d"abscisseas"écrit ..., en utilisant le théorème de Pythagore ...
4. Justifiez vos réponses en expliquant votre raisonnement,étape par étape. Chaque étape doit
s"appuyer sur une formule, ou une définition, ou une propriété, ou un théorème ou un résultat
obtenu à une question précédente. Citez les théorèmes utilisés (éventuellement par leur nom s"ils
en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant de les
appliquer. Dans l"enchaînement des démonstrations ou des calculs il est recommandé d"écrire des
mots de liaison : mais, comme, or, on sait que, on en déduit donc, c"est-à-dire, en effet, car, parce
que ....5. Intercalez des commentaires entre des lignes de calcul sinon c"est un jeu de piste pour le correcteur!
6. Pour conclure, utilisez les expressions ou les mots suivants : alors, donc, on en déduit, nous avons
montré que ... Enoncez le résultat final correspondant à la question posée, et mettez-le en évidence
en l"encadrant ou en le soulignant. Les calculatrices et les téléphones portables sont interdits aux contrôles et à l"examen iiCHAPITRE 1
EXERCICES
1.7. Différentielle et approximation affine
Exercice 1.22. - Soitfla fonction définie surRparf(x) =x3-3x2+6xet soitaun réel quelconque.1. Justifier que la fonctionfest de classeC1surR.
2. Définir les applicationsf?etdfa.
3. Pourh?R, déterminerdfa(h)etΔfa(h). Préciser les casa= 1eta=-1.
4. Quelle est l"erreur absolue commise en remplaçantΔfa(h)pardfa(h)?
Exercice 1.23. - On considère les fonctionsfetgdéfinies sur]0,+∞[parf(x) =xxetg(x) = x-1 + ln(x).1. Justifier que les fonctionsfetgsont de classeC1sur]0,+∞[.
2. Calculer les dérivéesf?etg?.
3. Écrire les développement limités à l"ordre1pour les fonctionsfetgau voisinage de1.
4. On considère la fonction?définie sur]0,1[?]1,+∞[par
?(x) =f(x)-1 g(x)=xx-1x-1 + ln(x). Montrer que?(x)admet une limite lorsquextend vers1.Exercice 1.24. - Déterminer l"approximation affine des fonctions suivantes au voisinage des points
indiqués : -f(x) =ex+ ln(x)enx= 1, -g(x) =ex-e-x ex+e-xenx= 0, - soitα?]0,1[,h(x) =xαenx= 1, -k(x) = exp{xln(x)}enx= 1. En déduire des valeurs approchées def(0.9),g(0.2),k(0.8)eth(1.1)pourα= 1/2.Exercice 1.25. - En utilisant la dérivation composée, calculer la dérivéedeg=f◦udans les cas
suivants. Préciser le domaine de définition deget vérifier que les fonctionsuetfsont de classeC1sur
leur domaine de dérivation1. pouru(x) =xex+ 1/xetf(u) =⎷
u.2. pouru(x) =x2+x+ 1etf(u) = ln(1 +u).
3. pouru(x) = ln(x)etf(u) = ln(u).
1.8. Calculs approchés des variations - Applications économiques
Exercice 1.26. - Un entrepreneur, employant comme seul facteur de production le travail, a commefonction de productionf(x) = 2x1/3oùxreprésente la quantité de travail (x?0). On suppose qu"il
dispose de 1000 heures de travail.1. De combien augmentera sa production s"il dispose d"une heure supplémentaire de travail? Faire
un calcul exact (calculatrice) et un calcul approché (différentielle).2. Même question pour 2 heures supplémentaires de travail.
Exercice 1.27. - Le coût total de production d"un bienAest donné en fonction de la quantité produiteq: ?q >0, C(q) =q3-5q2+ 10q.1. Montrer queCest croissante sur]0,+∞[et strictement positive.
2. Déterminer les fonctions de coût marginalCmet de coût moyenCM.
3. Quel est le coût de production de 10 unités deA?
4. De combien varierait le coût si l"on produisait un dixièmed"unité supplémentaire à partir de
q= 10? Faire un calcul exact et un calcul approché en utilisant la fonction de coût marginal.5. On se place toujours au niveau de productionq= 10. Calculer une valeur exacte et une valeur
approchée de la variation relative du coût lorsqu"on augmente la production de 2%.Exercice 1.28. - Soientfetgdeux fonctions strictement positives, définies sur]0,+∞[telles que
la composéeg◦fest définie sur]0,+∞[. Calculer en fonction des élasticités defetg, les élasticités
des fonctions :fg,f/getg◦f.Exercice 1.29. - Déterminer les fonctions définies sur]0,+∞[, strictement positives, dérivables et
ayant une élasticité constante.Exercice 1.30. -
1. Déterminer toutes les fonctions définies surR, strictement positives et dérivables, ayant une déri-
vée logarithmique constante, c"est-à-dire un taux de croissance instantané constant.Indication :
on pourra noterr=f?(x)/f(x)et on pourra exprimerf(x)en fonction dex,f(0)etr.2. On considère une fonction vérifiant la propriété de la question 1. Montrer que le taux de variation
pour une unité supplémentaire[f(x+1)-f(x)]/f(x)est constant. On noteratce taux de variation.Déterminer une relation entrerett.
Exercice 1.31. - Dans une situation de monopole, le prix unitairepd"un bien A est fixé par le monopoleur. La quantitéxconsommée dépend du prixppar la relationx=F(p). La fonctionFs"appelle la fonction de demande etFest définie, positive sur]0,+∞[. On suppose que la fonctionF
est bijective de]0,+∞[sur]0,+∞[.1. Quel prix devra pratiquer le monopoleur s"il désire vendrexunités du bien A? Cette nouvelle
fonction (pen fonction dex) s"appelle la demande inverse.2. Préciser le résultat de la question précédente pourF:p?→F(p) =kp-raveck >0etr >0.
1.9. Formule de Taylor
Exercice 1.32. - On considère la fonctionfdéfinie sur]0,+∞[par f(x) =lnx x2.1. Justifier quefest de classeC3sur]0,+∞[.
22. Écrire les développements limités à l"ordre2et3au voisinage de1. Préciser les approximations
affines, polynomiale d"ordre2et polynomiale d"ordre3defau voisinage de1.3. Donner la position de la courbe par rapport à la tangente auvoisinage du point du graphe
d"abscisse1. Faire une représentation graphique sommaire de la courbe représentative defau voisinage de(1,f(1)).Exercice 1.33. -
1. Soitgla fonction définie surRpar
g(x) =ex-e-x ex+e-x.Justifier quegest de classeC3surR. Écrire le développement limité à l"ordre3au voisinage de
0. Donner la position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage du point du graphe
d"abscisse0. Faire une représentation graphique sommaire de la courbe représentative degau voisinage de?0,g(0)?.2. Soithla fonction de définie sur]-1,+∞[par
h(x) = ln2(1 +x).Justifier quehest de classeC3sur]-1,+∞[. Écrire le développement limité à l"ordre3en0.
3. On considère la fonctionfdéfinie surD=]-1,0[?]0,+∞[par
f(x) =h(x)-x2 x-g(x).Montrer quefadmet une limite en0.
1.10. Extrema des fonctions d"une variable
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