Exercices sur le cours “Optimisation et programmation dynamique” 1 PDF

Ecrire les conditions nécessaires d'opti- malité et calculer cette solution. 3. (difficile) Montrer que le probl`eme admet bien une solution. Exercice 3. On

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS DOPTIMISATION EXERCICE

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION. EXERCICE I (Calcul différentiel). 1. Montrer que la fonction f : R2 ? R2 définie par f(x y) =.

MS41 Optimisation I

29 juil. 2014 Optimisation I. Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire. Gloria Faccanoni i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html.

Optimisation I

Il est important de ne pas consulter le corrigé qui se trouve à la fin du texte sur des feuilles de couleur avant d'avoir terminé les exercices. 2° Évaluez vos

Devoir Maison dOptimisation Numérique – Corrigé

Devoir Maison d'Optimisation Numérique. –. Corrigé. Exercice 1 (6 points). Soit C ? R2 l'ensemble donné par. C := {(x y) ? R2 : (x2 ? 1)2 + y2 ? 4}.

Table des matières 1 Calcul différentiel

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION. Yannick PRIVAT - yannick.privat@unistra.fr 2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte.

1 Les conditions de Kuhn-Tucker

Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... C'est un probl`eme d'optimisation sous contrainte égalité. On utilise donc la.

MS52 Optimisation

6 oct. 2016 On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. ... et l'omniprésence des fonctions de plusieurs variables et de l'optimisation.

Corrigé optimisation 3M

Exercice 7.5. ? Figure d'étude et définition des inconnues. • x = distance de O à P. • base du rectangle = 2x. • hauteur du rect. = y. ? À optimiser.

Corrigé type de la série des exercices 1 Optimisation sans

Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.

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Montrer que le point (10) est le minimum du probl`eme Exercice 6 Soit A une matrice symétrique de format n × n 1 Montrer que m = min

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Voici quelques suggestions pour réussir ces exercices 1° Rédigez les solutions en prenant pour modèle les exemples présentés dans le texte Il est important de

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21 sept 2021 · PDF On Jul 9 2021 Sonia Radjef published Optimisation: Cours et exercices Version 2021 Find read and cite all the research you need

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12 mar 2020 · 1 I Optimisation sans contraintes 5 2 5 Quelques exemples corrigés Chaque chapitre est clôturé par un ensemble d'exercices

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Corrigé essayez de le faire en deux heures max Vrai ou faux 1 (4 points) Exercice 2 (5 points) Considérer la fonctionnelle J(f) := ? 1

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Devoir Maison d'Optimisation Numérique – Corrigé Exercice 1 (6 points) Soit C ? R2 l'ensemble donné par C := {(x y) ? R2 : (x2 ? 1)2 + y2 ? 4} 1

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Exercice 1 (Voir la solution 1) Un artisan menuisier fabrique des tables et des chaises à base du bois et d'un métal pour le compte d'un revendeur

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5 2 Exercices sur l'optimisation sans contraintes Cours de G Carlier (optimisation) : https://www ceremade dauphine fr/?carlier/progdyn pdf

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ANALYSE VARIATIONNELLE ET OPTIMISATION Éléments de Cours exercices et problèmes corrigés D AZÉ J -B HIRIART-URRUTY

Exercices sur le cours

\Optimisation et programmation dynamique"

2018-2019

Master mention Math´ematiques appliqu´ees 1`ere ann´ee

Universit´e Paris Dauphine

1 Optimisation

1.1 Le theor`eme de Kuhn et Tucker

Exercice 1.On consid`ere le probl`eme

max g(x)0f(x) Montrer que, sixest un maximum du probl`eme et la contrainte est qualifi´ee enx, alors il existe

0 tel que

rf(x) +rg(x) = 0:

Exercice 2.On consid`ere le probl`eme de la boite

min x i0 x

1x2x3= 2(x1x2+ 2x2x3+ 2x1x3)

Prop oserune in terpr´etationdu probl `eme.

2. On supp oseque le probl `emeadmet une solution. Ecrire le sconditions n ´ecessairesd"opti- malit´e et calculer cette solution. 3. (dicile) Mon trerque le probl `emeadmet bien une solution

Exercice 3.On consid`ere probl`eme

max x3+y33xy+1=0(x+y) Calculer la solution de ce probl`eme (on admet l"existence d"un maximum).

Exercice 4.On consid`ere le probl`eme

max 0xi42 x

1+ 2x2+ 2x372(x1+x2)

Calculer la solution de ce probl`eme.

Exercice 5.On consid`ere le probl`eme

max 0x

0y(1x)3(3x+y)

1.Mon trerque le p oint(0 ;1) est le seul point v´erifiant les conditions n´ecessaires.

2. Mon trerque le p oint(1 ;0) est le minimum du probl`eme. Exercice 6.SoitAune matrice sym´etrique de formatnn. 1.

Mon trerque

m= minkxk=1xTAx est la plus petite valeur propre deA. 2. Soien tfvigi=1;:::;kune famille de vecteurs propres deA, deux `a deux orthogonaux. Montrer que la quantit´e min kxk= 1; v

Tix= 0;8i= 1;:::;kx

TAx est une valeur propre deA. Exercice 7.SoitPl"hyperplan deRNd"´equationcTx=d(o`uc2Rn,d2R). Calculer la projection orthogonale d"un pointydeRnsurP, c"est-`a-dire le minimum du probl`eme min cTx=d12 kxyk2

Exercice 8.Quelles conditions doivent v´erifier les r´eelsp,q,rpour que la fonction lin´eaire

(x1;x2;x3;x4)!x1+px2+qx3+rx4atteigne son maximum sous les contraintes 0x1x2 x

3x4au point (0;0;13

;23 Exercice 9.Les probl`emes suivants ont-ils a priori une unique solution? La (les) calculer. min x+y1 x+ 2y+z0 yzx

2+y2+ 2z2min

y0 yx x+y+ 30x 2+y Exercice 10.Calculer, en fonction du param`etreu2R, la solution du probl`eme min 8< :0xyz x+y+z1(xy+uxz+u2yz)

Exercice 11.D´eterminer les points v´erifiant les conditions n´ecessaires d"optimalit´e et trouver

la solution du probl`eme si celle-ci existe : max 8< :y0; yx x+y+ 30x 2+y

Exercice 12.SoientMla matrice

M=0 @2 1 1 1 2 1

1 1 21

A etSl"ensemble convexe

S=f(x1;x2;x3)2R3jx1+ 2x2+ 3x31; xi0 pouri= 1;2;3g

Montrer que le probl`eme

maxX2SXTMX admet une unique solution. La calculer.

Ind. L"inverse deMestM1=14

0 @311 1 31 11 31 A Exercice 13.On cherche `a r´esoudre le probl`eme (P) min(x;y)2K(x2)2+y2o`uK=f(x;y)2R2j2xy21 etx0g: 1. Mon trerque le probl `emeadmet au moins une solution. 2. Mon trerque la con trainteest qualifi ´eeen tout p oint. 3. Ecrire les conditions n ´ecessairesd"optimalit ´edu probl `eme. 4. T rouvertous les p ointssatisfaisan tles conditions n ´ecessairesd"optimalit ´e. 5. En d ´eduirela (ou les) solution(s) du probl `eme( P).

1.2 Dualite

Exercice 14.R´esoudre par dualit´e le probl`eme min x2+y21 y+z012 (x2)2+y2+z2

Exercice 15.Calculer le probl`eme dual de

min log(x)y0 y1x+12 y2 Exercice 16.R´esoudre par dualit´e le probl`eme min 1? xTAx1cTx o`uAest une matrice sym´etrique d´efinie positive de formatnn, etcun vecteur deRn.

Exercice 17.On s"int´eresse au probl`eme

(P) minCxd12 xTAx+bTx o`uAest une matricennd´efinie positive,best un vecteur deRn,Cest une matrice de format lnetdest un vecteur deRl. L"expressionCxdsignifie que toute composante deCx

est inf´erieure ou ´egale `a la composante correspondante ded. Montrer que le probl`eme dual du

probl`eme (P) est le probl`eme suivant max

2Rl+12

TCA1CT(bTA1CT+dT)

3 Exercice 18.On consid`ereai(i= 1;:::;n) des r´eels strictement positifs, etxtel quePn i=1x2i=a2i>

1, c"est-`a-dire quexn"appartient pas `a l"ellipsode

E=fu2RnjnX

i=1x

2i=a2i1g

Calculer le probl`eme duald() du probl`eme

min u2Ekuxk2

Montrer que le maximum ded() v´erifie

n X i=1a

2ix2i(a2i+)2= 1:

Exercice 19.R´esoudre par dualit´e le probl`eme min hs;xi012 kxk2 hc;xi o`usetcsont des vecteurs deRnnon nuls.

Exercice 20.On consid`ere le probl`eme

minquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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