[PDF] Devoir Maison dOptimisation Numérique – Corrigé

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Devoir Maison d"Optimisation Numérique

-Corrigé Exercice 1(6 points).SoitC?R2l"ensemble donné par

C:={(x,y)?R2: (x2-1)2+y2≤4}.

1.

Dessiner l"ensem bleC.

2.

S"agit-il d"un ensem blecompact ?

3.

S"agit-il d"un ensem blecon vexe?

4. Considérer la fonction fdonnée parf(x,y) =xy. Admet-elle un minimum et un maximum surC? 5. Calculer inf{f(x,y) : (x,y)?C}etsup{f(x,y) : (x,y)?C}.

Solution⎷3-

⎷3⎷3 ⎷3C•A

0•A

1•A

1/2L"ensembleCest bien compact, puisqu"il est fermé (à cause de l"inégalité large dans la définition) et borné

(pour tout(x,y)?Cnous avons|x|,|y| ≤2). Il n"est pas convexe, parce que les pointA0= (1,2)etA1= (-1,2)appartiennent àCmais leur point intermédiaireA1/2= (0,2)n"y appartient pas puisque22+ (02-1)2= 5>4. La fonctionfest continue et elle admet donc in minimum et un maximum surCpar le théorème de

Weierstrass.

Si on calcule?fon?f(x,y) = (y,x). La contrainte estg(x,y)≤0avecg(x,y) =y2+ (x2-1)2-4 et?g(x,y) = (4x(x2-1),2y). Les deux fontionsfetgsont bien dérivables partout (elles sontC1). La

fonctiongpermet d"appliquer le théorème des multiplicatuers des Lagrange parce que?g= 0seulement

en(0,0),(1,0)et(-1,0), qui n"appartiennent pas à l"ensemble oùg= 0(le bord deC). Les points candidats à la minimisation et à la maximisation sont donc les p ointsoù ?f= 0, c"est-à-dire juste(0,0) les p ointsoù le sys tèmedonné par le m ultiplicateurde Lagrange est satisfait ??y= 4λx(x2-1), x= 2λy, y

2+ (x2-1)2= 4.

Pour résoudre le système remarquons d"abord queλne peut pas être nul (sinon on auraitx=y= 0mais

la troisième équation n"est pas satisfaite). Nous pouvons ensuite multiplier les deux premières équations

entre elles après avoir réécrit la deuxième comme2λy=xet nous obtenons

2λy2= 4λx2(x2-1).

Avec la troisième équation, et en divisant par2λ?= 0, cela donne

4-(x2-1)2= 2x2(x2-1).

Posonst=x2-1. On at≥ -1et

4-t2= 2t(t+ 1),

qui est une équation d"ordre deux dont les solutions sont t=-1±⎷13 3 mais seulementt= (-1 +⎷13)/3satisfaitt≥ -1. On trouve alorsx=±⎷t+ 1 =±?(2 + ⎷13)/3. En correspondance de cela, on trouvey=±⎷4-t2=±?22 + 2 ⎷13/3. Les point sur les bords qui sont candidats à l"optimisation sont donc (x,y) =(

±?2 +

⎷13 3 ,±?22 + 2 ⎷13 3

Il est évident que les deux choix oùxetyont le même signe donnent une valeur defégale et positive,

les deux avec signes opposés égale et négative, et on compare cela avecf(0,0) = 0.

On a donc

max

Cf=?2 +

⎷13 3

·?22 + 2

⎷13 3 minCf=-?2 + ⎷13 3

·?22 + 2

⎷13 3 Exercice 2(5 points).Soitf:R3→Rla fonction définie parf(x1,x2,x3) =|x1|+|x2|2+|x3|3.

S"agiti-il d"une fonction convexe? strictement convexe? écrire son sous-différentiel∂f(x)en tout point

x= (x1,x2,x3).

Solution

La fonctionfest convexe en tant que somme de fonctions convexes d"une variable. Pourtant, elle n"est

pas strictement convexe parce que la partie qui porte surx1ne l"est pas, et elle est indépendante des deux

autres. Par exemple, en prenantf(1,0,0),f(3,0,0)etf(2,0,0)on trouve une contradiction à la stricte

convexité.

En tout point(x1,x2,x3)avecx1?= 0la fonctionfest différentiable et son gradient vaut?f(x1,x2,x3) =

(signe(x1),2x2,3x23signe(x3)). Si on prend un point du type(0,x2,x3)on ap= (p1,p2,p3)?∂f(0,x2,x3)si et seulement si ?(h1,h2,h3)|h1|+|x2+h2|2+|x3+h3|3≥0 +|x2|2+|x3|3+h1p1+h2p2+h3p3. En prenanth1=h2= 0eth3→0on trouve forcémentp3= 3x23signe(x3), et en prenanth1=h3= 0et h

2→0on trouve forcémentp2= 2x2. En prenanth2=h3= 0on a ensuite

|h1| ≥p1h1 qui doit être satisfaite pour touth1?R, ce qui implique|p1| ≤1.

On sait donc que tout élément de∂f(0,x2,x3)est de la forme(t,2x2,3x23signe(x3))pourt?[-1,1].

D"autre part, ce n"est pas difficile de vérifier, en utilisant la convexité dex2?→ |x2|2etx3?→ |x3|3, et

l"inégalité|h1| ≥p1h1pour touth1?Ret toutp1?[-1,1], que tout vecteur de cette forme appartient

bien à∂f(0,x2,x3).

Nous avons finalement

∂f(x1,x2,x3) =?{(signe(x1),2x2,3x23signe(x3))}six1?= 0 {(t,2x2,3x23signe(x3)) :t?[-1,1]}six1= 0. 2

Exercice 3(4 points).Suggérer et décrire une méthode numérique itérative efficace pour résoudre le

problème de projection min||x-a||:x?E oùa= (a1,a2,...,an)?Rnest fixé etquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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