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Optimisation I
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Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... C'est un probl`eme d'optimisation sous contrainte égalité. On utilise donc la.
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Corrigé optimisation 3M
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Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.
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21 sept 2021 · PDF On Jul 9 2021 Sonia Radjef published Optimisation: Cours et exercices Version 2021 Find read and cite all the research you need
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12 mar 2020 · 1 I Optimisation sans contraintes 5 2 5 Quelques exemples corrigés Chaque chapitre est clôturé par un ensemble d'exercices
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ANALYSE VARIATIONNELLE ET OPTIMISATION Éléments de Cours exercices et problèmes corrigés D AZÉ J -B HIRIART-URRUTY
Université de Batna 23emeannée mathématiques Faculté des Mathématiques et Informatique Année 2020-2021 Département de mathématiques Sidi ali Fatima Zohra 1Corrigé type de la série des exercices 1
Optimisation sans contraintes -LMD- S5Solution de l"exercice 1Soitf:R2!Rla fonction définie
f(x;y) =8 :x 3y2x2+y2si(x;y)6= (0;0);
0si(x;y) = (0;0):
1.Etude de la con tinuitéde fsurR2?
Etude surR2n(0;0): la fonctionfest continue surR2n(0;0), car quotient de fonctions dont le déno- minateur ne s"annule pas. Etude en(0;0): pour que f soit continue en(0;0)il faut quelim(x;y)!(0;0)f(x;y) =f(0;0) = 0. Passons on coordonées polaires :x= 0 +rcos();y= 0 +rsin() lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = lim(x;y)!(0;0)x 3y2x 2+y2 = lim r!0r3cos3()sin2() = lim r!0r3cos3()sin2() = 0 =f(0;0)Par conséquentfest continue surR2.
2.P our(x;y)6= (0;0), on a
rf(x;y) =@xf(x;y) yf(x;y) =0 BB@3x2y2(x2+y2)2x4y2(x2+y2)2
2x3y(x2+y2)2x3y3(x2+y2)21
C CAPour(x;y) = (0;0), on a
rf(0;0) =@xf(0;0) yf(x;y) =0 B @limh!0f(h;0)f(0;0)h lim h!0f(0;h)f(0;0)h 1 C A=0 03.fest de classeC1(R2)?
On a déjà vérifie la continuité et la dérivabilité def, il reste d"étudier la continuité des dérivées partielles,
on a xf(x;y) =8 :x4y2+ 3x2y4(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0);
0si(x;y) = (0;0):
xfest continue surR2n(0;0), pour(x;y) = (0;0), on a lim (x;y)!(0;0)@xf(x;y) = limr!0r6cos2()sin2()(cos2() + 3sin2())r
4= 0 =@xf(0;0)1
f.sidiali@univ-batna2.dzpage 1 Par conséquent@xfest continue surR2. On a aussi, yf(x;y) =8 :2x5y(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0);0si(x;y) = (0;0):
yfest continue surR2n(0;0), pour(x;y) = (0;0), on a lim (x;y)!(0;0)@yf(x;y) = limr!02r6cos5()sin()r4= 0 =@yf(0;0)
donc@yfest continue surR2. Par conséquent la fonctionfest de classeC1(R2). 4. On a la fonction fest de classeC1(R2), alorsfest différentiable surR2. En résumé, soitf:Rp!Retp >1, on a le schéma suivant :f2 C1f différentiable f continuef dérivable+ (==)Solution de l"exercice 2Soitf:R2!Rla fonction définie
f(x;y) =8 :y 4x2+y2si(x;y)6= (0;0);
0si(x;y) = (0;0):
1.La fonction fest continue surR2n(0;0), de plus
lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = lim(x;y)!(0;0)y 4x 2+y2 = lim r!0r2sin4() = 0 =f(0;0)Par conséquentfest continue surR2.
2. Calculer rf(x;y)pour(x;y)6= (0;0); calculer ensuiterf(0;0). 3.P our(x;y)6= (0;0), on a
rf(x;y) =@xf(x;y) yf(x;y) =0 BB@2xy4(x2+y2)2
4y3(x2+y2)2y5(x2+y2)21
C CAPour(x;y) = (0;0), on a
rf(0;0) =@xf(0;0) yf(x;y) =0 B @limh!0f(h;0)f(0;0)h lim h!0f(0;h)f(0;0)h 1 C A=0 01 f.sidiali@univ-batna2.dzpage 24.fest-elle différentiable surR2?
On remarque quefest de classeC1(R2n(0;0)), alors elle est différentiable surR2n(0;0), il reste d"étudier
la différentiabilité au point(0;0).Rappel. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur une partie ouvertDdeR2. Soit(x0;y0)2Dun
point lequelfest dérivable. f estdifféren tiableen (x0;y0)si et seulement si : lim2+k2= 0:
Etude en(0;0):
lim2+k2= lim(h;k)!(0;0)k
4(h2+k2)32
= lim r!0(rsin())4r 3= 0:Par conséquentfest différentiable surR2.
5.La fonction fest-elle de classeC1(R2)?
Il reste d"étudier la continuité des dérivées partielles au point (0,0), on a2xy4(x2+y2)2
=2r5cos()sin4()r 42r!r!00;
et4y3x2+ 2y5(x2+y2)2
=4r5cos2()sin3() + 2r5sin5()r 4 !r!00; alors limquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] cours optimisation sans contrainte
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