Exercices sur le cours “Optimisation et programmation dynamique” 1
Ecrire les conditions nécessaires d'opti- malité et calculer cette solution. 3. (difficile) Montrer que le probl`eme admet bien une solution. Exercice 3. On
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS DOPTIMISATION EXERCICE
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION. EXERCICE I (Calcul différentiel). 1. Montrer que la fonction f : R2 ? R2 définie par f(x y) =.
MS41 Optimisation I
29 juil. 2014 Optimisation I. Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire. Gloria Faccanoni i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html.
Optimisation I
Il est important de ne pas consulter le corrigé qui se trouve à la fin du texte sur des feuilles de couleur avant d'avoir terminé les exercices. 2° Évaluez vos
Devoir Maison dOptimisation Numérique – Corrigé
Devoir Maison d'Optimisation Numérique. –. Corrigé. Exercice 1 (6 points). Soit C ? R2 l'ensemble donné par. C := {(x y) ? R2 : (x2 ? 1)2 + y2 ? 4}.
Table des matières 1 Calcul différentiel
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION. Yannick PRIVAT - yannick.privat@unistra.fr 2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte.
1 Les conditions de Kuhn-Tucker
Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... C'est un probl`eme d'optimisation sous contrainte égalité. On utilise donc la.
MS52 Optimisation
6 oct. 2016 On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. ... et l'omniprésence des fonctions de plusieurs variables et de l'optimisation.
Corrigé optimisation 3M
Exercice 7.5. ? Figure d'étude et définition des inconnues. • x = distance de O à P. • base du rectangle = 2x. • hauteur du rect. = y. ? À optimiser.
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Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.
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Montrer que le point (10) est le minimum du probl`eme Exercice 6 Soit A une matrice symétrique de format n × n 1 Montrer que m = min
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Voici quelques suggestions pour réussir ces exercices 1° Rédigez les solutions en prenant pour modèle les exemples présentés dans le texte Il est important de
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21 sept 2021 · PDF On Jul 9 2021 Sonia Radjef published Optimisation: Cours et exercices Version 2021 Find read and cite all the research you need
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12 mar 2020 · 1 I Optimisation sans contraintes 5 2 5 Quelques exemples corrigés Chaque chapitre est clôturé par un ensemble d'exercices
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Corrigé essayez de le faire en deux heures max Vrai ou faux 1 (4 points) Exercice 2 (5 points) Considérer la fonctionnelle J(f) := ? 1
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Devoir Maison d'Optimisation Numérique – Corrigé Exercice 1 (6 points) Soit C ? R2 l'ensemble donné par C := {(x y) ? R2 : (x2 ? 1)2 + y2 ? 4} 1
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Exercice 1 (Voir la solution 1) Un artisan menuisier fabrique des tables et des chaises à base du bois et d'un métal pour le compte d'un revendeur
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5 2 Exercices sur l'optimisation sans contraintes Cours de G Carlier (optimisation) : https://www ceremade dauphine fr/?carlier/progdyn pdf
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ANALYSE VARIATIONNELLE ET OPTIMISATION Éléments de Cours exercices et problèmes corrigés D AZÉ J -B HIRIART-URRUTY
UNIVERSIT
E PARIS OUEST NANTERRE LA DEFENSE
U.F.R. SEGMI Annee universitaire 2013 { 2014
Master d'economie Cours de M. Desgraupes
Methodes Numeriques
Document 5 : Corriges d'optimisation convexe et quadratique1 Les conditions de Kuhn-Tucker 1 Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Les coniques 14
Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 La methode de Beale 31
Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 La methode de Dantzig 46
Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 La methode de Wolfe 57
Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 Les conditions de Kuhn-Tucker
Rappels de cours
Si on considere un programme d'optimisation convexe note : 8>< :Maxf(x) g(x)b x0 oux= (x1;:::;xn) est un element deRnetgest une fonction deRndansRm: g:x!0 B B@g 1(x) g m(x)1 C CA On suppose que les fonctionsfetgsont contin^ument dierentiables. Le lagrangien associe a ce programme est la fonction :L(x;) =f(x):(g(x)b) =f(x)1:(g1(x)b1)m:(gm(x)bm):
1 Les coecientss'appellent les coecients de Kuhn-Tucker. Il y en a autant que de contraintes. Le coecientjest associe a la contraintegj(x)bj. Les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions necessaires qui sont rea- lisees a l'optimum du probleme. Elles s'ecrivent vectoriellement de la maniere suivante : r xL0x0x:rxL= 0 (1) rL00:rL= 0 (2)
On peut les expliciter, pour chaque variablexi(i= 1;:::;n) et pour chaque coecientj(j= 1;:::;m), de la maniere suivante : x i0@L@x i0xi@L@x i= 0 j0@L@ j0j@L@ j= 0 On peut remarquer, en derivant directementLpar rapport aj, que la condition @L@ j0 est simplement la contraintegj(x)bj. Les conditionsx:rxL= 0 et:rL= 0 sont appeleesrelations d'exclusion. En toute generalite, les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditionsne- cessaires, autrement dit, si on est en un point optimum, elles sont toujours realisees. Mais elles ne sont pas forcementsusantes: autrement dit, ce n'est pas parce qu'elles sont realisees en un point (x;) que ce point est obligatoi- rement un optimum. Neanmoins, il existe des situations ou on peut armer qu'elles sont eectivement susantes : c'est le cas en particulier lorsque la fonc- tionfestconcaveet les fonctionsgjsontconvexes. C'est pourquoi on s'interesse a l'optimisation convexe. En resume, dans le cas oufest concave et lesgsont convexes, les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions necessaires et susantes d'optimalite. Dans cette situation, un point est optimalsi et seulement siles conditions sont toutes realisees. Si jamais une seule des conditions n'etait pas realisee, le point ne pourrait pas ^etre une solution optimale du probleme. Noter que dans le cas d'une minimisation, la condition susante ci-dessus est inversee : la fonctionfestconvexeet les fonctionsgjsontconcaves. Dans le cas de la programmation lineaire, ces conditions sont realisee car une fonction lineaire est a la fois convexe et concave.Ecriture avec des variables d'ecart
Si on introduit des variables d'ecartx0dans les contraintes, l'ecriture des conditions de Kuhn-Tucker est modiee. Les contraintes s'ecrivent : g(x) +x0=b et le lagrangien est deni de la maniere suivante :L(x;x0;) =f(x):g(x) +x0b:
C'est une fonction desx, desx0et des.
2 Dans ce cas, les conditions de Kuhn-Tucker s'ecrivent comme ceci : x0rxL0x:rxL= 0 (3) x00rx0L0x0:rx0L= 0 (4)
0rL= 0 (5)
On peut les expliciter, pour chaque variablexi(i= 1;:::;n), pour chaque variablex0jet pour chaque coecientj(j= 1;:::;m), de la maniere suivante : x i0@L@x i0xi@L@x i= 0 x0j0@L@x
0j0x0j@L@x
0j= 0 j0@L@ j= 0 Exercices corrigesCorrige ex. 1 - Conditions de Kuhn-TuckerProgramme 1
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