[PDF] Intégrales Généralisées - Licence de mathématiques Lyon 1
Allez à : Correction exercice 1 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? Démontrer la convergence de l'intégrale ?
[PDF] INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Corrigé de l'exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e?x La fonction f est continue sur [0 ;+?[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale il suffit de
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dx (1 + x2)(1 + x?) Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x
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dx est une intégrale généralisée convergente Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ? 1
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proposé sans retourner au corrigé 6 5 Intégrale des fonctions de signe quelconque 6 6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre
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Exercice 12 *** 1 Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +? 0 f(x) dx converge en +? Montrer que / +?
[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8 - Walanta
Intégration : intégrale de Riemann primitives intégrales généralisées Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de
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Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres f(t)dt converge (intégrale sur un segment d'une fonction continue) et que
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Si cette limite n'existe pas on dit que l'intégrale de f sur [a b] est divergente De même si f est localement intégrable sur l'intervalle semi-ouvert ]a
[PDF] MAT302 : Séries et intégrales généralisées
niveau requis pour valider l'UE *** correspond aux exercices plus avancés * Définitions à connaître par cœur Définition de la convergence d'une intégrale
Intégrales Généralisées
Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2; ?????2=?ln( ) 2 0
Calcul intégral Exercices corrigés
Feuille de TD no 2 : Primitives et intégrales (CORRIGÉ) Version provisoire à véri?er — Calculs d’intégrales Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes I 1 = ? 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx Primitives : ? 3 x2 + 3 x2 4 dx = ? (x2 +3x?2)dx = x3 3 +3 x?1 ?1 +C = 1 3 x3 ? 3 x +C (C œ R) Intervalles de dé?nition : ]?Œ0
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr
Corrigé de l’exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e x La fonction f est continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver-gence de l’intégrale il su t de se préoccuper du comportement au voisinage de +1 Si A >0 on a Z A 0 e x dx = [e x]A 0 = 1 e A! A!+1 1; donc l’intégrale est convergente et Z +1 0 e x dx = 1 (ii) Posons f(x) = 1 x2
Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr
La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x
Calcul intégral Exercices corrigés - Meabilis
1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff intégrale volume Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28
Intégration - licence-mathuniv-lyon1fr
1 [L’intégrale sur 01] d’une fonction négative ou nulle est négative ou nulle 2 [L’intégrale sur 01] d’une fonction paire est positive ou nulle 3 [L’intégrale sur ?11] d’une fonction impaire est nulle 4 [L’intégrale sur 01]d’une fonction minorée par 1est inférieure ou égale à 1 5
Etudierlaconvergencedesintégralesgénéraliséessuivantes - CNRS
Etudierlaconvergencedesintégralesgénéraliséessuivantes TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrerquelesintégralesgénéralisées R +1 2 dx x+1et R +1 2 dx x 1sontdi- vergentes Quepeut-ondiredel’intégralegénéralisée R +1 2( 1 1+x 1 1 x
TD 9 Intégrales généralisées - Nicolas Besset
TD 9 Intégrales généralisées Exercice 1 Àl’aidedeladé?nitiond’uneintégraleconvergentedéterminersilesintégralessuivantes sontconvergentesetsiouicalculerleurvaleur: a I 1= R +1 0e tdt c I 3= R +1 0 2t 1+t2dt e I 5= R
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 9 Calculer les intégrales suivantes : Zp 2 0 1 1+sinx dx et Zp 2 0 sinx 1+sinx dx: Indication H Correction H Vidéo [002095] Exercice 10 Intégrales de Wallis Soit I n = Zp 2 0 (sinx)ndx pour n2N 1 Montrer que I n+2 = n+1 n+2 I n Expliciter I n En déduire R 1 1 1 x2 n dx 2 Montrer que (I n) n est positive décroissante Montrer
Exercices intégrales généralisées
Exercice 1 : Soient I un intervalle de R f g h trois fonctions réglées de I dans R telle que f ? g ? h Montrer que si f et h sont intégrables il en est de même de g Solution : Nous avons f ? g ? h donc ? h ? ?g ? ? f Par conséquent g = max( g ?g ) ? max( h ?f )
Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees - u-bordeauxfr
Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees 1 Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes : a) Z? 0 dx (1 +ex)(1 +e?x) b) Z? 0 e? ? x ? x dx c) Z1 0 lnxdx
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Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a b[ (resp ]a b]) b pouvant
Quels sont les exercices corrigés de calcul intégral?
- Calcul intégral Exercices corrigés 1. 1. Calcul de primitives 1 1. 2. Basique 1 1 1. 3. Basique 2 2 1. 4. Centre de gravité (d’après bac pro) 2 1. 5. QCM 1 3 1. 6. QCM 2 3 1. 7. QCM 3 4 1. 8. Calcul d’intégrales, fonction rationnelle 5 1.
Comment calculer les intégrales généralisées ?
- 1. Convergence et calcul d’intégrales généralisées. Exercice 1 : Soient I un intervalle de R, f, g, h trois fonctions réglées de I dansRtelle que f £ g £ h. Montrer que si f et h sont intégrables, il en est de même deg. Nous avons f £ g £ h , donc - h £ -g £ - f . Par conséquent, |g| = max(g, -g ) £ max( h, -f ). Or max( h, - f ) = 1
Comment calculer la seconde intégrale ?
- Soit G(a, b) la seconde intégrale. Elle converge ssia< 1 ou a = 1 et b > 1. Le changement de variable u = 1/t donne en effet : ?dt= du. = b = 1 et c > 1, Nous voilà ramenés à des Bertrand classiques. Maison peut aussi rester au V(0+). xadx.(1+xb), et ?.dt. La fonction f(x) = est continue et positive sur [1, +¥[ .
Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?
- Elle converge ssia > 1, ou (a = 1 et b > 1), autrement dit ssi (a, b) > (1, 1) pour l’ordre lexicographique. C’est l’intégrale impropre en ¥+ de la fonction continue et positive x ? 1. Le plus simple est de commencer par le cas a = 1. Le changement de variable u = ln x donne : = du. On sait que cette intégrale converge ssib> 1. (ln x)? +¥ en +¥.
Analyse 2 - Chapitre 2 (1/7)
Florence NICOLAU 2005 - 2006
Chapitre 2 : Intégrales généralisées.
I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie. 11. Intégrale du type
ftdt a z2. Intégrale du type ftdt
a z3. Intégrale du type
ftdt() z . ......................................................................3II. Intégrale sur un intervalle qui contient un point où la fonction n'est pas définie 4 1. Intégrale du type
ftdt ab z2. Intégrale du type
ftdt a z avec f non définie en a...................................5III. Critères de convergence. 5
1. Cas où f est positive........................................................................................5
2. Cas où f est de signe quelconque....................................................................7
La notion d'intégrales généralisées est une extension de la notion d'intégrale simple. I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie.1. Intégrale du type ftdt
a z.Définition
: Soit f : [a ; +[ continue.On dit que ftdt
a z converge si lim ( ) xax ftdt z existe et est finie, et alors f t dt f t dt axax () lim () zzSinon ftdt
a z est dite divergente.On dit aussi que f est intégrable sur [a ; +[ dans le premier cas, et que f n'est pas intégrable
sur [a ; +[ dans le second cas.Exemples : a) Convergence de
0t edt 00 1 xxttx edt e e 0 lim 0 1 1 x t x edtDonc l'intégrale converge et
0t edt = 1.Analyse 2 - Chapitre 2 (2/7)
Florence NICOLAU 2005 - 2006
b) Convergence de 1 1 dtt1° cas
: 1 11 1 1 11 111xx txdtt 1
10 1lim0101
x sixsi Donc 1 1dtt converge si > 1 , et diverge si < 1.2° cas
: = 1 1 11ln( )
x x dt tt = ln(x) or lim ln( ) x x fDonc l'intégrale diverge.
1 1 tdt z converge si et seulement si > 1 Intégrale de référenceInterprétation graphique :
L'aire sous la courbe à droite de 1 est finie pour la courbe y = 1 x² infinie pour la courbe y = 1 x2. Intégrale du type ftdt
a zDéfinition : Soit f : ]- ; a[ continue.
On dit que ftdt
a z converge si lim ( ) xxa ftdt z existe et est finie, et alors () lim () aa x x ftdt ftdtSinon ftdt
a z est dite divergente.On dit aussi que f est intégrable sur ]- ; a[ dans le premier cas, et que f n'est pas intégrable
sur ]- ; a[ dans le second cas.Analyse 2 - Chapitre 2 (3/7)
Florence NICOLAU 2005 - 2006
Exemples : a) Convergence de
0 t edt 00 1 tt x xx edt e e 0 lim t xx edt fDonc l'intégrale diverge.
b) Convergence de sintdt sin cos 1 cos x x tdt t x or cos n'a pas de limite en -Donc l'intégrale diverge.
c) Convergence de 0 t edt 00 1 tt x xx edt e e 0 lim 1 0 1 t xx edtDonc l'intégrale converge et
0 t edt = 1.3. Intégrale du type ftdt()
zDéfinition : Soit f : ]- ; +[ continue.
ftdt() z est dite convergente si c ftdt c z converge et ftdt c z converge.On a alors ftdt ftdt ftdt
c c zzzSinon elle est dite divergente.
On dit aussi que f est intégrable sur ]- ; +[ dans le premier cas, et que f n'est pas intégrable
sur ]- ; +[ dans le second cas.Exemples
: a) Convergence de t edt 0 t edt converge et 0 t edt diverge donc t edt diverge.Analyse 2 - Chapitre 2 (4/7)
Florence NICOLAU 2005 - 2006
b) Convergence de 2 1 dt tSoit c
2 arctan( )1 x x c c dttt = arctan(x) - arctan(c) 2 lim arctan( )12 x x c dtct 2 arctan( )1 cc x x dttt = arctan(c) - arctan(x) 2 lim arctan( )12 c x x dtct 2 1 c dt t et 2 1 c dt t convergent, ceci pour tout réel c. Donc 2 1 dt t converge et 2 arctan( ) arctan( )12 2 dtcct S f f II. Intégrale sur un intervalle qui contient un point où la fonction n'est pas définie On peut supposer que f n'est pas définie en a, quitte à utiliser la relation de Chasles.1. Intégrale du type ftdt
ab z Définition : Soit f : ]a ; b] continue, f non définie en a.On dit que ftdt
ab z converge si lim ( ) xaxb ftdt z existe et est finie, et alors ftdt a b z = lim ( ) xaxb ftdt zExemple
: Convergence de 1 0 dt t1° cas : 1
1111 11
11 (1)
xx dt t tx or 10 1lim x x o = 0 si - 1 < 0 <1 si - 1 > 0 >1.2° cas :
= 1. 11 ln ln x x dttxt or 0 lim ln x x f Donc 1 0 dt t converge si et seulement si < 1. Intégrale de référenceAnalyse 2 - Chapitre 2 (5/7)
Florence NICOLAU 2005 - 2006
2. Intégrale du type ftdt
a z avec f non définie en aDéfinition : Soit f : ]a ; +[ continue.
ftdt a z est dite convergente si c c ftdt converge et () c a ftdt converge.On a alors ftdt ftdt ftdt
aac c zzzSinon elle est dite divergente.
Exemple
0 dt t diverge quel que soit .III. Critères de convergence.
1. Cas où f est positive
Proposition : ftdt
a z converge x () x a ftdt est majorée indépendamment de x.Justification : Cette fonction est croissante, majorée, donc elle tend vers sa borne supérieure.
Théorème de comparaison : Soient f et g positives et continues sur [a ; +[.Si t a 0 f(t) g(t)
Alors ftdt
a z diverge () a gtdt diverge a gtdt converge ftdt a z converge et 0 ftdt a z d() a gtdtSoient f et g positives et continues sur ]a ; b].
Si t]a ; b] 0 f(t) g(t)
Alors ( )
b a ftdt diverge () b a gtdt diverge b a gtdt converge () b a ftdt converge et 0 () b a ftdt b a gtdtAnalyse 2 - Chapitre 2 (6/7)
Florence NICOLAU 2005 - 2006
Règle des équivalents :
Si f et g sont continues, positives et ( ) ( )fxgxquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27[PDF] intégrale méthode des trapèzes
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