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Allez à : Correction exercice 1 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? Démontrer la convergence de l'intégrale ?

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Corrigé de l'exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e?x La fonction f est continue sur [0 ;+?[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale il suffit de

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dx (1 + x2)(1 + x?) Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x

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dx est une intégrale généralisée convergente Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ? 1

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Exercice 12 *** 1 Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +? 0 f(x) dx converge en +? Montrer que / +?

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Si cette limite n'existe pas on dit que l'intégrale de f sur [a b] est divergente De même si f est localement intégrable sur l'intervalle semi-ouvert ]a

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niveau requis pour valider l'UE *** correspond aux exercices plus avancés * Définitions à connaître par cœur Définition de la convergence d'une intégrale

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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

Corrigé de l’exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e x La fonction f est continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver-gence de l’intégrale il su t de se préoccuper du comportement au voisinage de +1 Si A >0 on a Z A 0 e x dx = [e x]A 0 = 1 e A! A!+1 1; donc l’intégrale est convergente et Z +1 0 e x dx = 1 (ii) Posons f(x) = 1 x2

Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x

Calcul intégral Exercices corrigés - Meabilis

1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff intégrale volume Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

Intégration - licence-mathuniv-lyon1fr

1 [L’intégrale sur 01] d’une fonction négative ou nulle est négative ou nulle 2 [L’intégrale sur 01] d’une fonction paire est positive ou nulle 3 [L’intégrale sur ?11] d’une fonction impaire est nulle 4 [L’intégrale sur 01]d’une fonction minorée par 1est inférieure ou égale à 1 5

Etudierlaconvergencedesintégralesgénéraliséessuivantes - CNRS

Etudierlaconvergencedesintégralesgénéraliséessuivantes TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrerquelesintégralesgénéralisées R +1 2 dx x+1et R +1 2 dx x 1sontdi- vergentes Quepeut-ondiredel’intégralegénéralisée R +1 2( 1 1+x 1 1 x

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TD 9 Intégrales généralisées Exercice 1 Àl’aidedeladé?nitiond’uneintégraleconvergentedéterminersilesintégralessuivantes sontconvergentesetsiouicalculerleurvaleur: a I 1= R +1 0e tdt c I 3= R +1 0 2t 1+t2dt e I 5= R

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Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a b[ (resp ]a b]) b pouvant

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Comment calculer les intégrales généralisées ?

1. Convergence et calcul d’intégrales généralisées. Exercice 1 : Soient I un intervalle de R, f, g, h trois fonctions réglées de I dansRtelle que f £ g £ h. Montrer que si f et h sont intégrables, il en est de même deg. Nous avons f £ g £ h , donc - h £ -g £ - f . Par conséquent, |g| = max(g, -g ) £ max( h, -f ). Or max( h, - f ) = 1

Comment calculer la seconde intégrale ?

Soit G(a, b) la seconde intégrale. Elle converge ssia< 1 ou a = 1 et b > 1. Le changement de variable u = 1/t donne en effet : ?dt= du. = b = 1 et c > 1, Nous voilà ramenés à des Bertrand classiques. Maison peut aussi rester au V(0+). xadx.(1+xb), et ?.dt. La fonction f(x) = est continue et positive sur [1, +¥[ .

Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?

Elle converge ssia > 1, ou (a = 1 et b > 1), autrement dit ssi (a, b) > (1, 1) pour l’ordre lexicographique. C’est l’intégrale impropre en ¥+ de la fonction continue et positive x ? 1. Le plus simple est de commencer par le cas a = 1. Le changement de variable u = ln x donne : = du. On sait que cette intégrale converge ssib> 1. (ln x)? +¥ en +¥.

Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf -Oran-

Faculté des Mathématiques et Informatiques

Département des Mathématiques

HAMDAOUI Abdenour

Polycopié

Séries et intégrales généralisées

Cours et exercices d"applications

Algérie 2016

Préface

Ce cours à destination des étudiants de deuxième année licence Mathématique LMD comporte le

module d"analyse 3. Il contient l"essentiel du cours avec des exemples. Des exercices d"applications

sont proposés avec des solutions en ...n de chaque chapitre pour permettre à l"étudiant de tester ses

connaissances et de se préparer aux tests et aux examens ...naux.

D"après mon expérience, lors de l"enseignement de ce module durant quelques années, j"ai décidé

de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales liées à ce module.

Vu le programme proposé par le ministère, j"ai partagé ce modeste travail en deux parties essen-

tielles. La première partie contient les chapitres des séries numériques et la deuxième comporte le

chapitre des intégrales généralisées. J"ai commencé la présentation de cet ouvrage par un rappel sur

les suites numériques (module enseigné en L1).

Ensuite, j"ai présenté tous les autres chapitres qui sont programmés au module d"analyse 3, en

respectant le contenu et l"ordre des chapitres suivant le canevas donné par le ministère.

En...n, vu les erreurs répétées souvent dans les copies des examens de ce module, j"ai constaté que

la majorité des étudiants ne donnent pas l"importance au cours et ils font des exercices en se basant

directement sur les corrigés. Je conseille alors les étudiants de lire d"abord le cours attentivement, de

faire tous les exemples cités après chaque résultat donné et en...n de passer à résoudre les exercices

proposé sans retourner au corrigé. Les solutions des exercices sont utiles uniquement pour tester le

Finalement, j"espère que ce document peut aider les étudiants qui veulent maîtriser bien cette

partie d"analyse mathématique. 2

Table des Matières

1 Rappels sur les suites numériques 6

1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 La monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Limite ...nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Limite in...nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Convergence d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5 Suite arithmétique et suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.7 Suite récurrente dé...nie par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Séries numériques 14

2.1 Dé...nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Critères générals de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Critère d"Abel pour les séries de la formeXu

nvn. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Série absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Produit des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Suites de fonctions 50

3.1 Convergence simple (ponctuelle) d"une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Convergence uniforme d"une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Propriétés des suites de fonctions uniformément convergentes . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Séries de fonctions 67

4.1 Convergence simple ou ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Convergence absolue, normale et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Séries de fonctions : continuité, intégration et dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.2 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Séries entières et séries de Fourier 90

5.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.1 Convergence d"une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.3 Application du Théorème de continuité, Théorème d"intégration et Théorème

de dérivation sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.4 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.1 Dé...nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2 Interprétation géométrique des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Intégrales généralisées 122

6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4 Intégrale des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4.1 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5 Intégrale des fonctions de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.5.1 Critère d"Abel pour les intégrales de la formeZ

fg. . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6 Intégrales généralisées dépendant d"un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.6.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Chapitre 1

Rappels sur les suites numériques

Dé...nition 1.1On appellesuite numérique(ou suite de nombres réels) toute application dé...nie

deNà valeurs dansR;qui associe à tout entier naturelnle nombre réelu(n) =un; ( i.e.u:N!R= n7!u(n) =un). On note par(un)n2Nla suite numérique de terme généralun: Exemple 1.21.(n)n2Nest la suite de termes :0;1;2;3;4;:::

2.((1)n)n2Nest la suite qui alterne :1;1;1;1;:::

3.La suite(un)n2Ndé...nie paru0= 1; u1= 1et la relationun+2=un+1+unpourn2(suite

de Fibonacci). Les premiers termes sont1;1;2;3;5;8;13;:::chaque terme est la somme des deux précédents.

1.1 Propriétés

1.1.1 La monotonie

Dé...nition 1.3Soit(un)nune suite numérique. i) La suite(un)nest ditecroissante(resp.strictement croissante) si pour toutn:un+1un (resp.un+1> un). ii) La suite(un)nest ditedécroissante(resp.strictement décroissante) si pour toutn: u n+1un(resp.un+1< un). ii) La suite(un)nest ditemonotone(resp.strictement monotone) si elle véri...e i) ou ii). Exemple 1.4La suite(un)ntelle queun= 2n+ 3est strictement croissante, la suite(vn)ntel que v n=en2est strictement décroissante et la suite(wn)ntelle quewn=nenn"est ni croissante, ni décroissante. 6

Remarque 1.5Si(un)n2Nest une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seule-

ment un+1u n1;pour toutn2N:

1.1.2 Suite majorée, minorée, bornée

Dé...nition 1.6Soit(un)nune suite réelle.

i) On dit que(un)nestmajorées"il existe un nombre réelMtel que pour toutn:unM: ii) On dit que(un)nestminorées"il existe un nombre réelmtel que pour toutn:unm: iii) On dit que(un)nestbornéesi elle est minorée et majorée. Proposition 1.7La suite(un)nest bornée si et seulement s"il existe un nombre réelM(>0);tel que pour toutn:junj M: Exemple 1.81.La suite(en)n2Nest une suite strictement décroissante. Elle est majorée par1 (borne atteinte pourn= 0);elle est minorée par0mais cette valeur n"est jamais atteinte.

2.La suite(un)n2Ndé...nie parun=(1)nn

n"est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 12 (borne atteinte pourn= 2) et minorée par1;borne atteinte enn= 1. Dé...nition 1.9(Suite Stationnaire). La suite(un)n2Nest ditestationnaires"il existe un rang n

0(2N)tel que pour toutnn0:un=(2R):

Remarque 1.10i) Un cas particulier des suites stationnaires est les suitesconstantes(un= (2R)pour toutn2N). ii) Toute suite stationnaire est bornée.

1.2 Limite d"une suite

1.2.1 Limite ...nie

Dé...nition 1.11On dit qu"une suite numérique(un)ntend versl(l2R)quandntend vers l"in...ni et on notelimn!+1un=lsi :

8" >0;9N"2N=8n2N: (nN") junlj< "):

Autrement dit :unest proche d"aussi près que l"on veut del;à partir d"un certain rang. 7

1.2.2 Limite in...nie

Dé...nition 1.12i) On dit qu"une suite numérique(un)ntend vers+1quandntend vers l"in...ni et on notelimn!+1un= +1si :

8A >0;9n0(A)2N=8n2N: (nn0(A))un> A):

ii) On dit qu"une suite numérique(un)ntend vers1quandntend vers l"in...ni et on note lim n!+1un=1si :

8A >0;9n0(A)2N=8n2N: (nn0(A))un
1.2.3 Propriétés
Proposition 1.13Soit la suite numérique(un)n2N, alors on a i)limn!+1un=1 )limn!+11u n= 0: ii)limn!+1un= 0)limn!+11junj= +1: iii)limn!+1un= +1etlimn!+1vn= +1 )limn!+1(un+vn) = +1: iv)limn!+1un=1etlimn!+1vn=1 )limn!+1(un+vn) =1: v)limn!+1un= +1etlimn!+1vn=1 )limn!+1(un+vn) = +1 1(est une forme indéterminée): Proposition 1.14Soient(un)net(vn)ndeux suites tel quelimn!+1vn= +1: i) Si(un)nest minorée, alorslimn!+1(un+vn) = +1: ii) Si(un)nest minorée par un nombre >0;alorslimn!+1(unvn) = +1: iii) Silimn!+1un= 0etun>0pournassez grand, alorslimn!+11u n= +1:
1.2.4 Convergence d"une suite
Dé...nition 1.15Silimn!+1un=l(6=1)alors la suite(un)nest diteconvergenteversl:C"est-
à-dire, la suite de terme généralunconverge si et seulement siuntend vers une limite ...niellorsque
l"entierntend vers+1: Une suite qui ne converge pas, est ditedivergente. Autrement dit : une suite(un)nestconvergentesi elle admet une limite ...nie. Elle estdivergente sinon (c"est-à-dire soit la suite tend vers1, soit elle n"admet pas de limite). Exemple 1.161.La suite de terme généralun=nsinn ;converge vers;car pournassez grand on a :nsinn +1nn 8
2.Étudier la nature de la suite de terme généralun=qn:
lim n!+1qn=8 >>>>>:+1siq >1
1siq= 1

0si1< q <1
@siq 1; ainsi la suite de terme généralun=qnest convergente si et seulement siq2]1;1]: Proposition 1.17Toute suite convergente admet une limite ...nie et unique. Proposition 1.18Toute suite convergente est bornée. Théorème 1.19i) Toute suite croissante et majorée est convergente. ii) Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Exemple 1.20La suite de terme général
u n= 1 +12 2+13 2+14
2+:::+1n
2; est convergente. b) Montrons par récurrence que pour tout entier natureln1 :un21n
Pourn= 1;on aun= 1211
= 1:Fixonsnpour lequel on supposeun21n ;alors u n+1=un+1(n+ 1)2; et comme
1(n+ 1)21n(n+ 1)=1n

1n+ 1:Donc
u n+1=un+1(n+ 1)221n +1n 1n+ 1 = 21n+ 1; ce qui montre que la propriétéun21n est vraie pourn+ 1:Ainsi la proposition "pour tout entier natureln1 :un21n " est vraie. D"où la suite(un)nest majorée par 2.
D"après a) et b) la suite(un)nest convergente.
Remarque 1.21i) Une suite croissante et qui n"est pas majorée tend vers+1: ii) Une suite décroissante et qui n"est pas minorée tend vers1: 9 Proposition 1.22Soit(un)nune suite qui converge versl1et(vn)nune suite convergeant versl2; alors i) la suite(junj)nconverge versjl1j; ii) la suite(un+vn)nconverge versl1+l2; iii) la suite(unvn)nconverge versl1l2; iv) pour toutk2R;la suite(kun)nconverge verskl1; v) sil16= 0;alors la suite1u n n converge vers1l 1: Exemple 1.23Si la suite(un)nconverge verslalors la suite de terme généralj5un1ju
2n+ 3converge
vers j5l1jl 2+ 3: Proposition 1.24Si la suite(un)nest bornée etlimn!+1vn= 0;alorslimn!+1unvn= 0: Exemple 1.25Si(un)nest la suite donnée par :un= cos(n)et(vn)nest celle donnée parvn= 1n
22;alorslimn!+1unvn= 0:
Proposition 1.26i) Soient(un)net(vn)ndeux suitesconvergentestelles que :
9N2N;8n2N: (nN)unvn);alors
lim n!1unlimn!1vn: ii) Soient(un)net(vn)ndeux suites telles que :limn!+1un= +1et9N2N;8n2N: (nN)unvn); alors limquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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