[PDF] Exercices intégrales généralisées

View - Download Exercices intégrales généralisées

Previous PDF

Next PDF

Exercices sur les intégrales généralisées

1. Convergence et calcul d"intégrales généralisées.

2. Intégrales généralisées et séries.

3. Intégrales généralisées et sommes de Riemann.

4. Intégration des relations de comparaison.

5. Intégrales semi-convergentes.

6. Espaces fonctionnels.

7. Convergence monotone, convergence dominée

8. Intégration terme à terme des séries.

9. Intégrales dépendant d"un paramètre.

10. Intégrales eulériennes.

11. Transformation de Laplace.

Pierre-Jean Hormière

____________ " Je mets beaucoup d"ordre dans mes idées. Ça ne va pas tout seul. Il y a des idées qui ne supportent pas l"ordre et qui préfèrent crever. À la fin, j"ai beaucoup d"ordre et presque plus d"idées. » Norge Cher Norge, ce n"est pas bien du tout de vous moquer de ceux qui mettent de l"ordre dans leurs

idées ! Ne seriez-vous pas un peu... belge sur les bords ? Pour ceux qui l"ignorent, la Belgique est

cet improbable petit pays qui est resté plus d"un an sans gouvernement tout en réalisant 2,7 % de

croissance, ceci expliquant peut-être cela... Et de surcroît, en sus d"être belge, ne seriez-vous pas

un peu poète ? Poète belge ! Ah ! vous ne tiendriez pas de tels discours si Napoléon avait gagné la

bataille de Waterloo : la Belgique serait un département français, et vous auriez fait de solides

études mathématiques dans nos glorieuses classes préparatoires. On y apprend à classer ses idées,

afin de diriger le monde, et non à finir antiquaire à Saint-Paul de Vence !

1. Convergence et calcul d"intégrales généralisées.

Exercice 1 : Soient I un intervalle de R, f, g, h trois fonctions réglées de I dans R telle que f £ g £ h.

Montrer que si f et h sont intégrables, il en est de même de g.

Solution :

Nous avons f £ g £ h , donc - h £ -g £ - f . Par conséquent, | g | = max(g, -g ) £ max( h, -f ).

Or max( h, - f ) =

21[ h - f + | h + f | ] est intégrable.

Exercice 2

: Convergence et calcul de I(a, b) = ∫ ++0))((bxaxdx ( a et b > 0 ). Continuité de I ?

Solution :

2

La fonction f(x) = ))((1bxax++ est continue positive sur R+, et O(²1x) au V(+¥), ou £ ²1x, donc

intégrable. Pour calculer I(a, b), décomposons la fraction en éléments simples.

On obtient, si a ¹ b :

))((1bxax++ = ab-1(ax+1 - bx+1) (*).

Attention ! Ne pas écrire I(a, b) =

ab-1(∫ +0axdx - ∫ +0bxdx), mais

I(a, b) = lim

A®+¥ ab-1(∫+

A axdx0 - ∫+ A bxdx0) = limA®+¥ ab-1(ln(A + a) - ln a - ln(A + b) + ln b ) = lim

A®+¥ ab-1( lnbAaA++ - lnba ) = abab--lnln.

Pour calculer la limite, il y a intérêt à solidifier les logarithmes en un seul bloc. Comme la somme

des résidus est nulle, la limite en l"infini est nulle. Si a = b, on trouve, I(a, a) = a1.

Conclusion

: Pour a et b > 0, I(a, b) = abab--lnln si a ¹ b , I(a, a) = a1. Montrons que la fonction (a, b) ® I(a, b) est continue sur R*+´R*+.

Cela vient de ce que les hypothèses (H1), (H2) et (H3) du théorème de continuité des intégrales à

paramètres s"appliquent. En particulier (H3) :

Pour a ³ a > 0 et b ³ b > 0, 0 £

))((1bxax++ £ ))((1ba++xx, majorante intégrable...

Exercice 3

: Convergence et calcul de I = ∫ +++0)3)(2)(1(xxxdx et J = ∫ +++0)²3)²(2)²(1(xxxdx.

Solution :

Chacune des fonctions intégrées f et g est continue > 0 et O(1/x

2) au V(+¥), donc intégrable.

Pour calculer I et J, décomposons f et g en éléments simples.

Décomposons

)3)(2)(1(1+++xxx en éléments simples.

On obtient :

)3)(2)(1(1+++xxx = 2111+x - 21+x + 2131+x (*).

Attention ! Ne pas écrire I =

21∫

+01xdx - ∫ +02xdx + 21∫ +03xdx, mais

I = lim

A®+¥ 21∫+

A xdx01 - ∫+ A xdx02 + 21∫+ A xdx03 = lim A®+¥ 21ln(A + 1) - ln(A + 2) + 21ln(A + 3) + ln 2 - 21ln 3 = lim

A®+¥ ln2

)3)(1( A

AA + ln 2 - 21ln 3 = ln 2 - 21ln 3

Pour calculer la limite, il y a intérêt à solidifier les logarithmes en un seul bloc. Comme la somme

des résidus est nulle, la limite en l"infini est nulle. Pour calculer J, élévons (*) au carré. Il vient : )²3)²(2)²(1(1+++xxx

41)²1(1+x + )²2(1+x + 41)²3(1+x - )2)(1(1++xx - )3)(2(1++xx + 21)3)(1(1++xx .

Il reste à intégrer chaque terme...

La situation est analogue au calcul de

+++1)3)(2)(1(1nnnn et ∑ +++1)²3)²(2)²(1(1nnnn. > f:=1/((x+1)*(x+2)*(x+3));convert(f,parfrac,x); 3 int(f,x);int(f,x=0..infinity);

Exercice 4

: Nature, calcul des intégrales ∫ +++0))...(2).(1(nxxxdx et ∫ +++0)²)²...(2)².(1(nxxxdx. Solution : Notons In et Jn ces intégrales respectives, Fn et Gn les fonctions intégrées.

Il est clair que I

n existe pour n ³ 2, Jn pour n ³ 1. F n(x) = ∑ n k k kxA1 , où Ak = !)1( 1 n k--kknC ; on a ∑ =n k kA

1 = 0 ( car x.Fn(x) ® 0 quand x ® +¥ ).

En solifidifiant les logarithmes comme ci-dessus, il vient : I n = !1n∑ n k k nkkkC

1ln..)1(.

Gn(x) = ∑

n k k kxB1( + )²(kXC k+) , il vient aussitôt Jn = ∑ n k k kC1( - Bk ln k ) Or C k = )²!(²nk(knC)2 par les techniques habituelles, mais il n"est pas facile d"obtenir Bk .

Mieux vaut noter que G

n(x) = Fn(x)2 = ∑ n kk kxA1)²()²( + 2∑ <++qpqpqXpXAA

Remarque

: On peut obtenir des équivalents des suites (In) et (Jn) à l"aide de la méthode de Laplace.

Exercice 5

: Convergence et calcul de I = ∫ +14xdx et J = ∫ +dxxx.1²4.

Solution : L"intégrabilité des fonctions continues positives f(x) = 114+x et g(x) = 1²4+xx ne pose

aucun problème : elles sont toutes deux O(1/x²) au V(±¥). 1 ère méthode : on peut les calculer séparément par calcul des primitives. > f:=1/(x^4+1);g:=x^2/(x^4+1); > Int(1/(x^4+1),x)=int(1/(x^4+1),x);Int(x^2/(x^4+1),x)=int(x^2/(x^4+1),x); - + 1 4 - + 2x2 - + x 2x2 1 1

4( ) + 2x2

+ + x

2x2 1 := f1

+ x41 := gx2 + x41 - 1 4 x2 - + x 2x2 1 1 4 x2 + + x 2x2 1 := f1 ( ) + x1 ( ) + x2 ( ) + x3 - + 1 2 1 + x11 + x2 1 2 + x3 - + 1

2( )ln + x1 ( )ln + x2

1

2( )ln + x3- +

1

2( )ln 3 ( )ln 2

:= g1 ( ) + x12( ) + x22( ) + x32 - + + + 1 4 1 ( ) + x1 2 3 4 1 + x11 ( ) + x2 2 1 4 ( ) + x3 2 3 4 + x3 - - - - + 1 4 1 + x1 3

4( )ln + x1

1 + x2 1 4 1 + x3 3

4( )ln + x3- +

3

4( )ln 3

5 6 4 = d⌠ 1 + x

41x + +

1

82

ln + + x2x2 1 - + x 2x2 1 1

42 ( )arctan + x2 11

42 ( )arctan - x2 1

= d⌠ x2 + x41x + + 1

82

ln - + x2x2 1 + + x 2x2 1 1

42 ( )arctan + x2 11

42 ( )arctan - x2 1

=int(x^2/(x^4+1),x=-infinity..infinity); = d⌠ 1 + x 41x
1 2p2

2ème méthode : on peut les calculer simultanément.

Tout d"abord, elles sont égales, car le changement de variable y = 1/x donne : I = +14xdx = 2∫ +041xdx = 2∫
+041².
ydyy = ∫ +1².4ydxy = J. Calculons I + J au moyen du changement de variable u = x - 1/x :

I + J =

dxxx.11²4∫ ++ = 2dxxx.11²04∫ ++ = 2dx xxx.²1²1102∫ ++ = 2∫ +022udu = 2Arctan2u
+¥0 = p2.

Par conséquent I = J =

22p.

Remarque

: Arnaudiès suggère le changement de variable x = et dans I et J. 3 ème méthode : intégration complexe. (hors programme) Soit g le lacet obtenu en parcourant le segment [- R, R] et le demi-cercle de centre O et de rayon R situé dans le demi-plan Re z > 0, parcouru dans le sens trigonométrique (R > 1).

Calculons de deux façons A(R) =

∫+g14zdz.

D"une part, A(R) =

R R xdx14 + ∫+ p qqq

0441ReiieRdi ® ∫

+14xdx quand R ® +¥ car p qqq

0441ReiieRdi| £ ∫-

pq

041RRd = 14-RRp® 0 quand R ® +¥.

D"autre part, si a = exp(ip/4),

114+z = 41-(aa-z + aaizi- + aa+-z + aaizi+-) .

donc : A(R) =

41-2ip ( a.I(g, a) + ia.I(g, ia) - a.I(g, -a) - ia.I(g, -i.a) ) .

Ces indices valant respectivement 1, 1, 0 et 0, A(R) =

41-2ip a ( 1 + i ) = 22p.

Exercice 6 : Montrer que ∫

+0.²1lndxxx converge et vaut 0.

Solution : 1) Convergence.

La fonction f(x) = ²1lnxx+ est continue sur ]0, +¥[, négative sur ]0, 1], positive sur [1, +¥[.

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] intégrale méthode des rectangles

[PDF] intégrale méthode des trapèzes

[PDF] integrale python

[PDF] intégrale sinus cardinal

[PDF] intégrale stochastique mouvement brownien

[PDF] integrale stochastique pdf

[PDF] integrate python

[PDF] integrated agriculture

[PDF] intégrateur big data

[PDF] intégrateur sap france

[PDF] integrateur sap lyon

[PDF] intégration africaine définition

[PDF] intégration conglomérale

[PDF] integration de runge kutta

[PDF] intégration des élèves en difficulté dans les classes régulières