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Feuille de TD no 2 : Primitives et intégrales (CORRIGÉ) Version provisoire à véri?er — Calculs d’intégrales Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes I 1 = ? 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx Primitives : ? 3 x2 + 3 x2 4 dx = ? (x2 +3x?2)dx = x3 3 +3 x?1 ?1 +C = 1 3 x3 ? 3 x +C (C œ R) Intervalles de dé?nition : ]?Œ0

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Corrigé de l’exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e x La fonction f est continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver-gence de l’intégrale il su t de se préoccuper du comportement au voisinage de +1 Si A >0 on a Z A 0 e x dx = [e x]A 0 = 1 e A! A!+1 1; donc l’intégrale est convergente et Z +1 0 e x dx = 1 (ii) Posons f(x) = 1 x2

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La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x

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1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff intégrale volume Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

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1 [L’intégrale sur 01] d’une fonction négative ou nulle est négative ou nulle 2 [L’intégrale sur 01] d’une fonction paire est positive ou nulle 3 [L’intégrale sur ?11] d’une fonction impaire est nulle 4 [L’intégrale sur 01]d’une fonction minorée par 1est inférieure ou égale à 1 5

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Exercice 1 : Soient I un intervalle de R f g h trois fonctions réglées de I dans R telle que f ? g ? h Montrer que si f et h sont intégrables il en est de même de g Solution : Nous avons f ? g ? h donc ? h ? ?g ? ? f Par conséquent g = max( g ?g ) ? max( h ?f )

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Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a b[ (resp ]a b]) b pouvant

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1. Convergence et calcul d’intégrales généralisées. Exercice 1 : Soient I un intervalle de R, f, g, h trois fonctions réglées de I dansRtelle que f £ g £ h. Montrer que si f et h sont intégrables, il en est de même deg. Nous avons f £ g £ h , donc - h £ -g £ - f . Par conséquent, |g| = max(g, -g ) £ max( h, -f ). Or max( h, - f ) = 1

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Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?

Elle converge ssia > 1, ou (a = 1 et b > 1), autrement dit ssi (a, b) > (1, 1) pour l’ordre lexicographique. C’est l’intégrale impropre en ¥+ de la fonction continue et positive x ? 1. Le plus simple est de commencer par le cas a = 1. Le changement de variable u = ln x donne : = du. On sait que cette intégrale converge ssib> 1. (ln x)? +¥ en +¥.

Mathématiques 3 (L2) - Quelques exercices supplémentaires

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

§ 1. - Calcul d"intégrales généralisées par primitivation . . . . . . . 1 § 2. - Nature d"intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 3. - Exercices complémentaires (plus diciles) . . . . . . . . . . .6

§ 1. -

Calcul d"intégrales généralisées par primiti vationExercice 1.1.Convergence et calcul des intégrales suivantes.(i)Z

+1 0 exdx. (ii)Z +1 1dxx 2. (iii)Z 1 0dxpx .(iv)Z +1

1dx1+x2.

(v)Z +1 0 xex2dx. (vi)Z +1 0 xex.(vii)Z +1 0e arctanx1+x2dx. (viii)Z +1 2dxx 21.
(ix)Z 4

0cosxpsinx.On rappelle quearctanA!A!+12

etarctanA!A!12 .Corrigé de l"exercice 1.1. (i)Posonsf(x)=ex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Si

A>0, on aZA

0 exdx=[ex]A

0=1eA!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 exdx=1. (ii)Posonsf(x)=1x de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. SiA>1, on aZA 1dxx 2=" 1x A 1 =11A !A!+11; 1 donc l"intégrale est convergente et Z +1 1dxx 2=1. (iii)Posonsf(x)=1px . La fonctionfest continue sur ]0;1] donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Si 0< " <1, on aZ 1 "dxpx =h2px i 1 "=22p"!"!02; donc l"intégrale est convergente et Z 1 0dxpx =2. (iv)Posonsf(x)=11+x2. La fonctionfest continue sur ]1;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1et de

1. SiA>0>B, on a

Z A

Bdx1+x2=[arctanx]AB=arctanAarctanB!A!+12

arctanB B!+12 2 donc l"intégrale est convergente et Z +1

1dx1+x2=.

(v)Posonsf(x)=xex2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; puisquef(x)=xex2est de la forme12

u0eu, elle se primitive en12 euet donc : Z A 0 xex2=" 12 ex2#A 0 =12 12 eA2!A!+112 donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex2dx=12 (vi)Posonsf(x)=xex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; pour calculerRA

0xex, on fait une intégration par parties en dérivantxet en inté-

grantex: Z A 0 xex=[xex]A 0+Z A 0 exdx=AeA+[ex]A

0=AeAeA+1!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex=1. (vii)Posonsf(x)=earctanx1+x2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit A>0. Puisquef(x) est de la formeu0euelle se primitive eneu: Z A 0e arctanx1+x2dx=hearctanxiA

0=earctanA1!A!+1e=21;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0e arctanx1+x2dx=e=21. 2 (viii)Posonsf(x)=1x

21. La fonctionfest continue sur [2;+1[ donc pour étudier la conver-

gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0. Décomposonsf(x) sous la formex+1+x1:

21=x+1+x1()1x

21=(x1)+(x+1)x

21
1x

21=(+)+()x

21
()(+=0 =1()(= 2=1 ()=12 et=12 et donc 1x 21=12
1x112

1x+1; par suite :

Z A 2dxx 21=12
Z A

2dxx112

Z A

2dxx+1=12

[lnjx1j]A 212
[lnjx+1j]A 2 12 (ln(A1)ln1)12 (ln(A+1)ln3)=12 lnA1A+1+12 ln3

A!+112

ln3; car

A1A+1=11A

1+1A !A!+11 donc lnA1A+1!A!+1ln1=0. Par suite, l"intégrale converge etZ+1 2dxx 21=12
ln3. (ix)Posonsf(x)=cosxpsinx. La fonctionfest continue sur ]0;4 ] (car sinx>0 sur ]0;2 [) donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Soit 0< " <4 . La fonctionfest de la formeu0pu avecu(x)=sinxdonc se primitive en 2pu: Z =4 "cosxpsinxdx=h2psinxi =4 "=2qsin 4

2psin"=2qp2

2psin"

=221=42

1=22psin"=23=42psin"!"!023=4;

donc l"intégrale est convergente et Z 4

0cosxpsinxdx=23=4.

§ 2. -

Natur ed"intégrales généralisées Exercice 2.1.Déterminer la nature des intégrales suivantes.On pourra primitiver les fonctions.(i)Z

+1 0dxx

2dx.(ii)Z

+1 0dxpx dx.(iii)Z +1 0 exdx.(iv)Z 0

1dxx(x+2)dx.3

Corrigé de l"exercice 2.1.

(i)Posonsf(x)=1x de l"intégrale, il faut s"intéresser au comportement au voisinage de 0 et de+1. Si 0< " <

A, on a

Z A "dxx 2=" 1x A =1" 1A !"!0+1; donc l"intégrale est divergente. Autre m´ethode. - C"est une intégrale de RiemannRdxx avecqui n"est pas<1, donc il y a divergence de l"intégrale au voisinage de 0. L"intégraleR+1 0dxx

2dxn"est donc pas

convergente. (ii)Posonsf(x)=1px . La fonctionfest continue sur ]0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il faut s"intéresser au comportement au voisinage de 0 et de+1. Si

0< " Z A "dxpx =h2px i A "=2pA2p"!A!+1+1 donc l"intégrale est divergente. Autre m´ethode. - C"est une intégrale de RiemannRdxx avecqui n"est pas>1, donc il y a divergence de l"intégrale au voisinage de+1. L"intégraleR+1 0dxpx dxn"est donc pas convergente. (iii)Posonsf(x)=ex. La fonctionfest continue surRdonc sur [0;+1[. Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc de regarder le comportement au voisinage de l"infini. SiA>0, Z A 0 exdx=[ex]A
0=eA1!A!+1+1;
donc l"intégrale Z +1 0 exdxdiverge. (iv)Posonsf(x)=1x(x+2). La fonctionfest continue surRn f2;0gdonc sur [1;0[. Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc de regarder ce qui se passe au voisinage de 0. Si1< " <0, on doit étudier Z
1dxx(x+2):

Cherchonsettels que1x(x+2)=x
+x+2:
1x(x+2)=x
+x+2()1x(x+2)=(x+2)+xx(x+2)=(+)x+2x(x+2) ()(+=0
2=1()=12
et=12 4
Ainsi,

1x(x+2)=x
+x+2et donc : Z
1dxx(x+2)=12
Z 1dxx 12 Z
1dxx+2=12
[lnjxj]" 112
[lnjx+2j]" 1 12 (lnj"jln1)12 (lnj"+2jln1)=12 lnj"j12 lnj"+2j!"!01; donc l"intégrale Z 0
1dxx(x+2)dxdiverge.

Autre m´ethode. - Si1x0, on a 1x+22 d"où12

1x+21 et donc

1x(x+2)
12 1j xj
Puisque l"intégrale
R0 1dxj xjest divergente (c"est une intégrale de Riemann), on en déduit queR0
1dxx(x+2)diverge par comparaisonExercice 2.2.Déterminer la nature des intégrales suivantes.On pourra comparer à des inté-grales de références.
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