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Allez à : Correction exercice 1 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? Démontrer la convergence de l'intégrale ?

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Corrigé de l'exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e?x La fonction f est continue sur [0 ;+?[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale il suffit de

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dx (1 + x2)(1 + x?) Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x

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dx est une intégrale généralisée convergente Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ? 1

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Exercice 12 *** 1 Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +? 0 f(x) dx converge en +? Montrer que / +?

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Si cette limite n'existe pas on dit que l'intégrale de f sur [a b] est divergente De même si f est localement intégrable sur l'intervalle semi-ouvert ]a

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niveau requis pour valider l'UE *** correspond aux exercices plus avancés * Définitions à connaître par cœur Définition de la convergence d'une intégrale

Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2; ?????2=?ln( ) 2 0

Calcul intégral Exercices corrigés

Feuille de TD no 2 : Primitives et intégrales (CORRIGÉ) Version provisoire à véri?er — Calculs d’intégrales Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes I 1 = ? 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx Primitives : ? 3 x2 + 3 x2 4 dx = ? (x2 +3x?2)dx = x3 3 +3 x?1 ?1 +C = 1 3 x3 ? 3 x +C (C œ R) Intervalles de dé?nition : ]?Œ0

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

Corrigé de l’exercice 1 1 (i) Posons f(x) = e x La fonction f est continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver-gence de l’intégrale il su t de se préoccuper du comportement au voisinage de +1 Si A >0 on a Z A 0 e x dx = [e x]A 0 = 1 e A! A!+1 1; donc l’intégrale est convergente et Z +1 0 e x dx = 1 (ii) Posons f(x) = 1 x2

Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x

Calcul intégral Exercices corrigés - Meabilis

1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff intégrale volume Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

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1 [L’intégrale sur 01] d’une fonction négative ou nulle est négative ou nulle 2 [L’intégrale sur 01] d’une fonction paire est positive ou nulle 3 [L’intégrale sur ?11] d’une fonction impaire est nulle 4 [L’intégrale sur 01]d’une fonction minorée par 1est inférieure ou égale à 1 5

Etudierlaconvergencedesintégralesgénéraliséessuivantes - CNRS

Etudierlaconvergencedesintégralesgénéraliséessuivantes TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrerquelesintégralesgénéralisées R +1 2 dx x+1et R +1 2 dx x 1sontdi- vergentes Quepeut-ondiredel’intégralegénéralisée R +1 2( 1 1+x 1 1 x

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TD 9 Intégrales généralisées Exercice 1 Àl’aidedeladé?nitiond’uneintégraleconvergentedéterminersilesintégralessuivantes sontconvergentesetsiouicalculerleurvaleur: a I 1= R +1 0e tdt c I 3= R +1 0 2t 1+t2dt e I 5= R

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 9 Calculer les intégrales suivantes : Zp 2 0 1 1+sinx dx et Zp 2 0 sinx 1+sinx dx: Indication H Correction H Vidéo [002095] Exercice 10 Intégrales de Wallis Soit I n = Zp 2 0 (sinx)ndx pour n2N 1 Montrer que I n+2 = n+1 n+2 I n Expliciter I n En déduire R 1 1 1 x2 n dx 2 Montrer que (I n) n est positive décroissante Montrer

Exercices intégrales généralisées

Exercice 1 : Soient I un intervalle de R f g h trois fonctions réglées de I dans R telle que f ? g ? h Montrer que si f et h sont intégrables il en est de même de g Solution : Nous avons f ? g ? h donc ? h ? ?g ? ? f Par conséquent g = max( g ?g ) ? max( h ?f )

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Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees 1 Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes : a) Z? 0 dx (1 +ex)(1 +e?x) b) Z? 0 e? ? x ? x dx c) Z1 0 lnxdx

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Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a b[ (resp ]a b]) b pouvant

Quels sont les exercices corrigés de calcul intégral?

Calcul intégral Exercices corrigés 1. 1. Calcul de primitives 1 1. 2. Basique 1 1 1. 3. Basique 2 2 1. 4. Centre de gravité (d’après bac pro) 2 1. 5. QCM 1 3 1. 6. QCM 2 3 1. 7. QCM 3 4 1. 8. Calcul d’intégrales, fonction rationnelle 5 1.

Comment calculer les intégrales généralisées ?

1. Convergence et calcul d’intégrales généralisées. Exercice 1 : Soient I un intervalle de R, f, g, h trois fonctions réglées de I dansRtelle que f £ g £ h. Montrer que si f et h sont intégrables, il en est de même deg. Nous avons f £ g £ h , donc - h £ -g £ - f . Par conséquent, |g| = max(g, -g ) £ max( h, -f ). Or max( h, - f ) = 1

Comment calculer la seconde intégrale ?

Soit G(a, b) la seconde intégrale. Elle converge ssia< 1 ou a = 1 et b > 1. Le changement de variable u = 1/t donne en effet : ?dt= du. = b = 1 et c > 1, Nous voilà ramenés à des Bertrand classiques. Maison peut aussi rester au V(0+). xadx.(1+xb), et ?.dt. La fonction f(x) = est continue et positive sur [1, +¥[ .

Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?

Elle converge ssia > 1, ou (a = 1 et b > 1), autrement dit ssi (a, b) > (1, 1) pour l’ordre lexicographique. C’est l’intégrale impropre en ¥+ de la fonction continue et positive x ? 1. Le plus simple est de commencer par le cas a = 1. Le changement de variable u = ln x donne : = du. On sait que cette intégrale converge ssib> 1. (ln x)? +¥ en +¥.

Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees

1.Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes :

a)∞ 0dx (1 +ex)(1 +e-x)b)∞ 0e x ⎷xdx c)1 0 lnxdx d)∞ 1lnx x2dx e)1

0lnx(1 +x)2dx f)∞

0 x ne-xdx(n?N) g)∞

0arctanx

1 +x2dx h)∞

adxx(x+r)(a >0, r >0)i)π/2?

0cos2xdx⎷sin2x

2.Montrer que les int´egrales suivantes convergent :

a)∞ 01 ⎷xe-⎷ x2+x+1dx b)π/2? -π/2ln(1 + sinx)dx c)∞ 0 e -t2dt d)∞

01 + sint

1 +⎷t3dt .

3.D´eterminer pour quelles valeurs du couple (α,β)?R2les int´egrales suivantes sont conver-

gentes. (On dessinera dans le plan l"ensemble des couples (α,β) pour lesquels il y a convergence).

a)∞ 0dx xα(1 +xβ)b)∞

0ln(1 +xα)xβdx c)∞

0(1 +t)α-tαtβdt .

4.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleI(n) =∞

1lnx xndxconverge et calculerI(n) dans ce cas.

5.SoitI(λ) =∞

0dx (1 +x2)(1 +xλ). Montrer queI(λ) converge pour tout r´eelλet calculer cette int´egrale en utilisant le changement de variablet= 1/x.

6.SoitI=∞

0e -t-e-2t tdt. a) Montrer queIest convergente. b) Pourε >0, ´etablir, en posantx= 2t, la relation∞ εe -t-e-2t tdt=2ε? εe -ttdt . c) En d´eduire la valeur deI.

7.SoitJ=π/2?

0 lnsinxdx. 1 a) Montrer queJest convergente et que l"on aJ=π/2? 0 lncosxdx. b) Montrer que 2J=π/2? 0 lnsin2x

2dx, et en d´eduire la valeur deJ.

8.Montrer que les int´egrales suivantes sont semi-convergentes :

a)∞

πcosx

⎷xdx b)∞ -1cos(x2)dx(poseru=x2)c)∞ x

2sin(x4)dx .

9.Soitfune fonction deRdansRcontinue et p´eriodique dont l"int´egrale∞

0 f(x)dxest conver- gente. Montrer quefest la fonction nulle. (Raisonner par l"absurde : supposer quef(c)?= 0 pour un certain r´eelc, et montrer que le crit`ere de Cauchy est alors contredit).

10.Soitfune fonction uniform´ement continue de [a,∞[ dansR, telle que l"int´egrale

a f(x)dxconverge. Montrer que limx→∞f(x) = 0 (montrer que sinon le crit`ere de Cauchy se- rait contredit).

11.Soitfune fonction de classe C1deRdansRtelle que, quandxtend vers±∞, on ait

f ?(x) =O?1 x2? a) D´emontrer que les limitesLet?defen +∞et-∞respectivement existent.

12.Soitfune fonction d´ecroissante de [a,∞[ dansR+.

a) Montrer que si l"int´egrale a f(t)dtconverge, alors limx→∞xf(x) = 0. x f(t)dt). b) Montrer par un contre-exemple que la r´eciproque est fausse.

13.D´eterminer la limite des suites (an) d´efinies ci-dessous :

a)an=∞

0arctan(nx)

n(1 +x2)dx , b)an=1

0dx1 +xn, c)an=+∞?

1dx1 +xn, d)an=+∞?

0arctan

?n+1 nx?

1 +x2dx .

14.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleJn=∞

0dx (x3+ 1)nconverge. CalculerJ1, puis montrer que sin≥2, on aJn+1=3n-1

3nJn. En d´eduireJnsin≥1.

Corrig´e1.a) On a

1 (1 +ex)(1 +e-x)=ex(1 +ex)2. Cette expression est de la formeu?/(1 +u)2et admet comme primitive-1/(1 +u). Donc 0dx (1 +ex)(1 +e-x)=? -11 +ex?

0=12-limx→∞11 +ex=12.

b) Une primitive dee-⎷ x/⎷xest-2e-⎷x, donc 0e x ⎷xdx=? -2e-⎷ x?∞0= 2(limx→0e-⎷x-limx→∞e-⎷x) = 2. c) Une primitive de lnxestxlnx-x. Donc 1 0 lnxdx=? xlnx-x? 1

0=-1-limx→0(xlnx-x) =-1,

car la limite dexlnxest nulle en 0. d) En int´egrant par parties ?lnx x2dx=-lnxx+?dxx2=-lnxx-1x, donc 1lnx x2dx=? -lnxx-1x?

1= limx→∞?

-lnxx-1x? + 1 = 1. e) En int´egrant par parties ?lnx (1 +x)2dx=-lnx1 +x+?dxx(1 +x).

Mais en d´ecomposant la fraction rationnelle

1 x(1 +x)=1x-11 +x, on obtient ?lnx (1 +x)2dx=-lnx1 +x+ lnx-ln(1 +x) =xlnx1 +x-ln(1 +x). Alors 1 0lnx (1 +x)2dx=?xlnx1 +x-ln(1 +x)? 1

0=-ln2-limx→0?

xlnx1 +x-ln(1 +x)? =-ln2. 3 f) PosonsIn=∞ 0 x ne-xdx. Puisque les fonctions int´egr´ees sont positives, la fonctionFnd´efinie par F n(α) =α 0 x ne-xdx , est croissante et poss`ede une limite finie ou non `a +∞.

En int´egrant par parties, sin≥1.

x ne-xdx=-xne-x+? nx n-1e-xdx . Mais limx→∞xe-x= 0.

Il en r´esulte que

lim 0 x ne-xdx=nlimα→∞α 0 x n-1e-xdx , et donc I n=nIn-1.

Mais, d"apr`es b),

0=∞

0 e -xdx= 1, donc l"int´egraleInconverge et I n=n(n-1)···1·I0=n!. g) Comme arctanxa pour d´eriv´ee 1/(1 +x2), on a ?arctanx

1 +x2dx=12(arctanx)2,

0arctanx

1 +x2dx=?12(arctanx)2?

0= limx→∞12(arctanx)2=π28.

h) La fraction rationnelle se d´ecompose facilement, puisque 1 x(x+r)=1r?

1x-1x+r?

et admet sur [a,∞[ la primitive1 rlnxx+r. Donc adr x(x+r)=?1rlnxx+r? a=1r? lna+ra+ limx→∞lnxx+r? =1rlna+ra. i) Une primitive de cos2x/⎷ sin2xest⎷sin2x, donc

π/2?

0cos2xdx

⎷sin2x=?⎷sin2x?

π/2

0= limx→π/2⎷sin2x-limx→0⎷sin2x= 0.

2.a) Au voisinage de 0 on a

1 ⎷xe-⎷ x2+x+1≂e-1⎷x, donc l"int´egrale 1 01 ⎷xe-⎷ x2-x+1dxconverge par comparaison `a1 0dx x1/2.

Lorsquex >1,1

⎷xe-⎷

Et l"int´egrale

11 ⎷xe-⎷ x2+x+1dxconverge par comparaison `a∞ 1 e -xdx. b) Cherchons un ´equivalent de ln(1+sinx)dxau voisinage de-π/2. Posonsu=x+π/2. Alors ln(1 + sinx) = ln(1-cosu) = ln?u2

2+◦(u2)?

= 2lnu?

1 +ln(1/2 +◦(1))2lnu?

≂2lnu .

Mais l"int´egrale

1 0 lnuduconverge (Voir ex 1c) et lnuest n´egative. Donc l"int´egraleπ/2? -π/2ln(1 + sinx)dx converge. c) On peut donner deux arguments montrant la convergence de l"int´egrale.

1) Lorsquet >1, on at2> t, donce-t2< e-t, et l"int´egrale∞

e -t2dtconverge par comparaison `a l"int´egrale e -tdt.

2) Lorsquettend vers l"infinit2e-t2admet 0 comme limite, donc est major´e par 1 sur un intervalle

e -t2dtconverge par comparaison `a l"int´egrale∞ ?dt t2. d) On a, sit >0, et l"int´egrale ?1 + sint

1 +⎷t3dtconverge par comparaison `a l"int´egrale∞

?dtt3/2.

3.a) Cherchons un ´equivalent simple en 0 et en +∞de la fonctionfd´efinie sur ]0,∞[ par

f(x) =1 xα(1 +xβ).

Le r´esultat d´epend du signe deβ. On peut r´esumer ce que l"on obtient dans le tableau suivant:

5 condition decondition de ≂f(x) en 0≂f(x) en +∞convergence deconvergence de 1?

0f(x)dx∞?

1f(x)dx

β >01

xα 1 xα+βα <1α+β >1

β= 01

2xα

2xαα <1α >1

β <01

xα+β 1 xαα+β <1α >1 L"ensemble des couples (α,β) pour lesquels l"int´egrale∞ 0 f(x)dxest le domaine du plan limit´e par les droites d"´equationα+β= 1 etα= 1 (exclues). On ne peut jamais avoirβ= 0.

α+β= 1

α1β

b) Mˆeme m´ethode. Les ´equivalents d´ependent du signe deαcette fois. Remarquons que siα >0,xαtend vers 0 en 0 donc ln(1 +xα)≂xα, et siα <0, on peut ´ecrire ln(1 +xα) = ln(xα) + ln(1 +x-α) =αlnx?

1 +ln(1 +x-α)

αlnx?

6 et donc ln(1 +xα)≂αlnx .

On a des r´esultats invers´es en +∞. On peut r´esumer ce que l"on obtient dans le tableau suivant:

condition decondition de ≂f(x) en 0≂f(x) en +∞convergence deconvergence de 1?

0f(x)dx∞?

1f(x)dx

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Quels sont les exercices corrigés de calcul intégral?

Comment calculer les intégrales généralisées ?

Comment calculer la seconde intégrale ?

Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?

1.Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes :

0lnx(1 +x)2dx f)∞

0arctanx

1 +x2dx h)∞

0cos2xdx⎷sin2x

2.Montrer que les int´egrales suivantes convergent :

01 + sint

1 +⎷t3dt .

3.D´eterminer pour quelles valeurs du couple (α,β)?R2les int´egrales suivantes sont conver-

0ln(1 +xα)xβdx c)∞

0(1 +t)α-tαtβdt .

4.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleI(n) =∞

5.SoitI(λ) =∞

6.SoitI=∞

7.SoitJ=π/2?

2dx, et en d´eduire la valeur deJ.

8.Montrer que les int´egrales suivantes sont semi-convergentes :

πcosx

2sin(x4)dx .

9.Soitfune fonction deRdansRcontinue et p´eriodique dont l"int´egrale∞

10.Soitfune fonction uniform´ement continue de [a,∞[ dansR, telle que l"int´egrale

11.Soitfune fonction de classe C1deRdansRtelle que, quandxtend vers±∞, on ait

12.Soitfune fonction d´ecroissante de [a,∞[ dansR+.

13.D´eterminer la limite des suites (an) d´efinies ci-dessous :

0arctan(nx)

0dx1 +xn, c)an=+∞?

1dx1 +xn, d)an=+∞?

0arctan

1 +x2dx .

14.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleJn=∞

3nJn. En d´eduireJnsin≥1.

Corrig´e1.a) On a

0=12-limx→∞11 +ex=12.

0=-1-limx→0(xlnx-x) =-1,

1= limx→∞?

Mais en d´ecomposant la fraction rationnelle

0=-ln2-limx→0?

En int´egrant par parties, sin≥1.

Il en r´esulte que

Mais, d"apr`es b),

0=∞

1 +x2dx=12(arctanx)2,

0arctanx

1 +x2dx=?12(arctanx)2?

0= limx→∞12(arctanx)2=π28.

1x-1x+r?

π/2?

0cos2xdx

π/2

0= limx→π/2⎷sin2x-limx→0⎷sin2x= 0.

2.a) Au voisinage de 0 on a

Lorsquex >1,1

Et l"int´egrale

2+◦(u2)?

1 +ln(1/2 +◦(1))2lnu?

Mais l"int´egrale

1) Lorsquet >1, on at2> t, donce-t2< e-t, et l"int´egrale∞

2) Lorsquettend vers l"infinit2e-t2admet 0 comme limite, donc est major´e par 1 sur un intervalle

1 +⎷t3dtconverge par comparaison `a l"int´egrale∞

3.a) Cherchons un ´equivalent simple en 0 et en +∞de la fonctionfd´efinie sur ]0,∞[ par

0f(x)dx∞?

1f(x)dx

β >01

β= 01

2xα

2xαα <1α >1

β <01

α+β= 1

α1β

1 +ln(1 +x-α)

αlnx?

0f(x)dx∞?

1f(x)dx