Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
ª Le syst`eme est bien d'ordre 1 mais il est non linéaire. Calcul numérique d'une solution approchée. Pas d'expression explicite de la solution. ?. Calcul ...
Chapitre Résolution numérique des équations différentielles Master
II ´Equations différentielles d'ordre n La résolution numérique consiste `a ... Soit l'équation différentielle du seconde ordre suivante :.
Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires
Le théorème de la “Seconde barrière de Dahlquist” est-t-il respecté? ?. Exercice 6.4 Calculer l'intervalle de stabilité absolue pour la méthode d'Euler
Résolution numérique des équations différentielles ordinaires (EDO
Ordre n de la méthode = plus grande puissance de h prise en compte dans l'approximation. — Somme des termes négligés = erreur de troncature locale ? hn+1.
Résolution numérique des équations différentielles
Lorsque f est de classe C 1 la méthode d'Euler est une méthode consistante d'ordre 1. JP Becirspahic — Résolution numérique des équations différentielles
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
De nos jours la. 9. Page 10. Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies
Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles
Chapitre 6. Résolution numérique des équations différentielles. Exemple du pendule : Équation différentielle non linéaire du second ordre.
Résolution numérique des équations différentielles
Une solution de cette équation différentielle est une fonction x de classe C 1 du second ordre vérifiée par la fonction s mais la démarche numérique ...
11. Introduction à la programmation de la résolution numérique d
19-Oct-2021 Évidemment le calcul approché par une méthode numérique de la solution ... On intègre un système d'équations différentielles du second ordre ...
Méthodes numériques pour les équations différentielles
On appelle EDO d'ordre n de fonction second membre f l'équation résoudre de manière approchée et itérative l'équation différentielle (x) = ? x +(x) ...
Résolution numérique des équations différentielles 1 Les équations
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1 Les équations différentielles ordinaires: une seule variable 2 Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables (équation de la chaleur des ondes ) Ordre d’une équation différentielle : dérivée la plus élevée
Chapitre 5 : Équations différentielles
On dit qu’une équation différentielle de la forme y?(t) ?ay(t) = g(t) est homogène lorsque l’on considère comme second membre une fonction gidentiquement nulle ce que l’on note g?0 Dé?nition Soient Iun intervalle de R et a?I?R une fonction continue
Méthodes numériques de résolution d’équations di?érentielles
Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies deuxième année Année 2006-2007 Une équation di?érentielle est une équation qui dépend d’une variable t et d’une fonction x(t) et qui contient des dérivées de x(t) Elle s’écrit : F tx(t)x(1) (t) x(m) (t) = 0 où x(m) (t) ? dmx dtm (1)
Chapitre 7 : Résolution numérique des équations
résolution numériques complètement différentes Pour les problèmes aux conditions initiales d’ordre 2 il existe des méthodes numé-riques spéci?ques Cependant il est toujours possible de les ramener à un système de deux équations différentielles d’ordre 1 couplées et avec conditions initiales En effet
Quelle est la résolution numérique des équations différentielles ?
Les équations différentielles ordinaires (O.D.E) 1 Résolution numérique des équations différentielles 1. Les équations différentielles ordinaires (O.D.E) Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay 2 Les systèmes dynamiques L’évolution des systèmes dynamiques sont régis par des équations différentielles
Quels sont les différents types d'équations différentielles?
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1. Les équations différentielles ordinaires: une seule variable. 2. Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...)
Comment résoudre une équation différentielle?
Une solution particulière de l’équation est une fonction gqui vérifie l’équation. Résoudre l’équation différentielle c’est trouver la solution générale de (E) qui est formée par l’ensemble de toutes les fonctions solutions de (E). 2.
Comment calculer l’équation différentielle d’ordre 2?
Équation différentielle d’ordre 2 y??(t) = f (t,y(t),y?(t)) Avec les 2 conditions limites : y(t0 )= y0 et y(t1 )= y1 Type différent de celles données avec des conditions initiales. Les méthodes vues précédemment ne s’appliquent pas car nous ne connaissons pas y?(t0 )
Chapitre
2R´esolution num´eriquedes´equations diff´erentiellesMaster Physique
SAMIRKENOUCHE- D´EPARTEMENT DESSCIENCES DE LAMATI`ERE- UMKB M ´ETHODESMATH´EMATIQUES ETALGORITHMES POUR LAPHYSIQUE R´esum´e
Dans ce chapitre, il sera question de la r
´esolution num´erique des´equations diff´erentielles. Les m´ethodes num´eriques abord´ees sont dites`a un pas, car le calcul dey(xn+1)ne r´eclame que la valeur dey(xn)`a l"instant
pr´ec´edent. Une m´ethode`a deux pasutilisera`a la foisy(xn)ety(xn1). Nous nous bornerons aux m´ethodes
num´eriques d"Euler, de Heun, de Crank-Nicolson et de Runge-Kutta classique d"ordre 4. Dans la derni`ere section,
on abordera la r´esolution d"une´equation aux d´eriv´ees partielles par la m´ethode des diff´erences finies en deux
dimensions. Par ailleurs, la programmation de ces algorithmes sera conduite par le biais de scripts Matlab
r.Mots cl
´es
M´ethode d"Euler, de Heun, Runge Kutta,´equation aux d´eriv´ees partielles, script Matlabr.
Galil ´ee disait " ... Le livre de la nature est´ecrit en langage math´ematique "Table des mati
`eresI Introduction1
I-A Probl
`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I-B M´ethodes d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I-C Erreur th
´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I-D Stabilit
´e des sch´emas num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I-E M´ethode de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I-F M´ethode de Crank - Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I-G M´ethode de Runge-Kutta, d"ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II´Equations diff´erentielles d"ordren12
III Diff
´erences finies15
III-A En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III-A1 Probl
`eme non-lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III-B En dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.INTRODUCTIONU
Ne´equation diff´erentielle est une´equation dont l"inconnue est une fonctiony(x). La forme g´en´erale d"une
telle´equation s"´ecrit :
f(y(n);y(n1);y(n2);:::;y(1);y;x) ='(x)(1)Avec,y(n)est la ni`eme d´eriv´ee de la fonctionyet'(x)d´esigne le second membre de l"´equation diff´erentielle.
Dans le cas o
`u'(x) = 0, on dira que l"´equation diff´erentielle est homog`ene. L"existence d"une solution unique de
l"´equation diff´erentielle est tributaire de l"imposition de certaines conditions initiales sury(x)et ses d´eriv´ees. Dans
l"´equation (1), les conditions initiales sont les valeurs dey(a);y(1)(a);y(2)(a);:::;y(n)(a). Cependant, il faut noter
S. Kenouche est docteur en Physique de l"Universit ´e de Montpellier et docteur en Chimie de l"Universit´e de B´ejaia.Site web : voir
http://www .sites.univ-biskra.dz/kenoucheVersion am
´elior´ee et actualis´ee le 09.11.2018.
1Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/@ SAMIR KENOUCHE2
que tr`es souvent la solution analytique n"existe pas, et on doit par cons´equent approcher la solution exactey(x)
par des m´ethodes num´eriques.
A. Probl
`eme de CauchyLe probl
`eme de Cauchy consiste`a trouver une fonction continˆument d´erivableu:t2R+!u(t)2Rv´erifiant :
y0(t) =f(t;y(t)); t >0 y(0) =y0(2)La premi
`ere´equation est une´equation diff´erentielle et la deuxi`eme relation exprime une condition de Cauchy
ou condition initiale. D ´efinition: soitf:IR7!Rune fonction donn´ee, s"il existe une constanteL >0telle que : jf(t;u)f(t;v)j Ljuvj(3)8u;v2Ret8t2Ialorsfest dite lipschitzienne de rapport L surIRou simplement L-lipschitzienne.
Th´eor`eme: sifest continue surIRet L-lipschitzienne par rapport`a sa deuxi`eme variabley(t)alors le
probl `eme de Cauchy admet une solution unique surI,8u(0)2R.Remarque: Dans ce qui suit, la variabletsera syst´ematiquement remplac´ee par la variablex. Le formalisme
math´ematique demeure inchang´e.
B. M´ethodes d"Euler
Afin d"atteindre la solutiony(x), sur l"intervallex2[a;b], on choisitn+1points dissemblablesx0;x1;x2;:::;xn,
avecx0=aetxn=bet le pas de discr´etisation est d´efini parh= (ba)=n. La r´esolution num´erique consiste`a
discr ´etiser l"axe des abscisses suivantxn=x0+hn(n2N). Ensuite on chercherauncomme approximation deyau pointxn, soity(xn). Ainsi l"ensemble des approximations successivesfu0;u1;u2;:::;ung, o`u tout simplement
fungn2N, constitue la solution num´erique. Ces m´ethodes sont it´eratives donc la suitefungn2Ndoitˆetre initialis´ee
afin de calculer ses successeurs. Soit l"´equation diff´erentielle :
y0=f(x;y(x))(4)
Trouver la solution de cette
´equation revient`a calculer l"int´egrale def(x;y(x))entre les bornesxnetxn+1, soit : Z xn+1 x nf(x;y(x)) =y(xn+1)y(xn)(5)Cette int
´egrale s"´ecrit en fonction des approximationsun+1etun: Z xn+1 x nf(x;y(x)) =un+1un(6)Par cons
´equent, en fonction de la m´ethode d"int´egration utilis´ee afin de r´esoudre l"int´egrale (terme de gauche),
on obtient un sch´ema num´erique donn´e. En utilisant par exemple la m´ethode des rectangles`a gauche, on obtient
le sch´ema num´eriqued"Euler progressif:
u0=y(x0) =y0 u n+1un=hf(xn;un)avecn2N(7)En utilisant la m
´ethode des rectangles`a droite, on obtient le sch´ema num´eriqued"Euler r´etrograde: u0=y(x0) =y0 u n+1un=hf(xn+1;un+1)avecn2N(8)Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/@ SAMIR KENOUCHE3
Avec la m
´ethode du point milieu, on aura le sch´ema num´eriqued"Euler modifi´e: 8< :u0=y(x0) =y0
u n+1=2'un+h2 f(xn;un) u n+1un=hf(xn+h2 ;un+12 )avecn2N(9)Exemple num
´erique
Soit`a r´esoudre num´eriquement l"´equation diff´erentielle :2y0=xyavecy(0) = 1. On utilisera`a cet effet le
sch´ema num´erique d"Euler r´etrograde :
u n+1=un+hxn+1un+122un+1=2un+hxn+1hun+1
u n+1=2un+hxn+12 +h (10)Avecxn=x0+nhetxn+1=x0+(n+1)h. On discr´etise l"axe des abscisses suivant 10 noeuds sur un intervalle
[0 1]. Le pas de discr´etisation esth= (10)=10)h= 0:1et la condition initiale esty(x0= 0) = 1 =u0.
Nous avons appliqu
´e le sch´ema num´erique ci-dessus pour dix approximations : u1=2u0+hx12 +h
;avech= 0:1 u2=2u1+hx22 +h
;avech= 0:1 u3=2u2+hx32 +h
;avech= 0:1 u4=2u3+hx42 +h
;avech= 0:1 u10=2u9+hx102 +h
;avech= 0:1TABLEI: M´ethode d"Eulernx
nu n0.00000.00001.00001.00000.10000.9524
2.00000.20000.9118
3.00000.30000.8779
4.00000.40000.8504
5.00000.50000.8289
6.00000.60000.8133
7.00000.70000.8031
8.00000.80000.7982
9.00000.90000.7983
10.00001.00000.8031
Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/@ SAMIR KENOUCHE4
Ci-dessous le script Matlab
r:clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %EULERIMPLICITE:y"=(x-y)/2 %SCHEMANUMERIQUE:Un+1=Un+F(Xn+1,Un+1) a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; forit=1:n-1 un(it+1)=(1/(2+h)) *(2*un(it)+h *xn(it)); end sol_exacte=3. *exp(-xn/2)+xn-2;figure("color",[111]); plot (xn(1: end -1),un, o b );holdon;plot(xn,sol_exacte,"-ro"); xlabel x );ylabel("y"); Tr`es souvent pour des´equations diff´erentielles ayant des formules math´ematiques compliqu´ees, il sera difficile de
retrouver analytiquement le sch ´ema num´erique. Dans ce cas il serait judicieux d"appliquer explicitement la formule d"Euler. Ci-dessous, le script Matlab rcorrespondant.clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %FORMULED"EULER-Eq:y"=(x-y)/2 %SCHEMANUMERIQUE:Un+1=Un+F(Xn,Un) a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; forit=1:n-1 un(it+1)=un(it)+h *dy(xn(it),un(it)); end sol_exacte=3. *exp(-xn/2)+xn-2;figure("color",[111]); plot (xn(1: end -1),un, o b );holdon;plot(xn,sol_exacte,"-ro"); xlabel x );ylabel("y");C. Erreur th
´eorique
La convergence des deux sch
´emas d"Euler est d"ordre un par rapport`ah:
e n=ju(xn)unj=O(h)Cela signifie que si je divise par deux le pash, l"erreur sera divis´ee par deux´egalement. Dans cette configuration
le temps de calcul est multipli´e par deux.
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Th´eor`eme: sifest continue surIR, L-lipschitzienne par rapport`a sa deuxi`eme variable ety(x)2 C2surI
alors l"erreuren=u(xn)uncommise au point(xn;un)est major´ee par : jenj (eL(ba)1)h2Lmaxx2Ijy(x)(2)j(11)Avecaetbsont respectivement les bornes inf´erieure et sup´erieure d"int´egration. Afin de calculer cette erreur,
soit le probl `eme de Cauchy suivant : y0(x) =y(x) + 1x2R y(0) = 1(12) 1)Montrer que fest L-lipschitzienne.
2)Calculer l"erreur th
´eorique de la m´ethode d"Euler pour un pash= 0:1.Tenant compte de (3), il vient :
jf(x;u)f(x;v)j=jx+uxvj =juvj )L= 1Evaluons l"erreur th´eorique donn´ee par (11), nous avonsy00(x) = 2ex. Cette seconde d´eriv´ee est maximale pour
x= 1)y00(1) = 2e1= 5:4366: jenj (e1(10)1)h215:4366210:10:4665
D. Stabilit
´e des sch´emas num´eriques
Avant d"entamer la discussion sur la notion de stabilit ´e, il a´et´e jug´e judicieux d"introduire un bref rappel sur les suites. Soitunune suite g´eom´etrique de termeu0et de raisonr. Nous avons8n2N:un=u0r:Sir >0)limn!+1un= +1siu0> r
lim n!+1un=1siu0< rSijrj<1)limn!+1un= 0
Sir= 1)limn!+1un=u0
Sir 1)limn!+1un@
Dans ce qui suit on se propose d"
´etudier la stabilit´e des sch´emas d"Euler, progressif et r´etrograde sur l"´equation
diff´erentielle :
y0(x) =y(x) >0 y(0) =y0(13)La solution de ce probl
`eme de Cauchy est triviale, soit :y(x) =y0e xainsi : lim x!+1y(x) = 0 (P1)Les sch
´emas num´eriques d"Euler permettent de calculer les approximationsfung2N. Nous souhaitons v´erifier la
propri ´et´eP1pour les approximationsfu1;u2;u3;:::;ung. Autrement dit on cherche : lim n!+1un= 0Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/@ SAMIR KENOUCHE6
Commenc¸ons par le sch
´ema d"Euler progressifun+1=un+hf(xn;un), ce qui donne : u n+1= (1 h)un u1= (1 h)u0
u2= (1 h)u1= (1 h)2u0
En g´en´eralisant on obtient la suite g´eom´etrique :un+1= (1 h)nu0de raison(1 h)et de premier terme
u0. Cherchons la propri´et´eP1:
lim n!+1un= 0, j1 hj<1, h <2,h <2 Ainsi, la convergence de cette suite est conditionn´ee parh <2
. Si nous prenons par exempleh >2 la suitedivergera, ce qui contredit la solution exactey(x). Examinons d´esormais le sch´ema d"Euler r´etrograde. De fac¸on
analogue que pr´ec´edemment on aura :
u n+1=un11 + h =u011 + h n+1Cherchons la propri
´et´eP1:
lim n!+1un+1= 0,11 + h<1Ce qui est toujours v
´erifi´e8h. Par cons´equent il n"existe aucune condition sur la pas de discr´etisation, contrai-
rement au sch ´ema progressif. Ainsi, le sch´ema r´etrograde est inconditionnellement stable. E. M´ethode de Heun
La M´ethode de Heun est une version am´elior´ee de celle d"Euler. L"erreur sur le r´esultat g´en´er´e par cette m´ethode
est proportionnelle`ah3, meilleur que celle de la m´ethode d"Euler. N´eanmoins, cette m´ethode r´eclame une double
evaluation de la fonctionf. (u0=y(x0) =y0 u n+1=un+h2 ff(xn;un) +f(xn;un+hf(xn;un))gavecn2N(14)Le sch
´ema num´erique de cette m´ethode r´esulte de l"application de la formule de quadrature du trap`eze. Notons
egalement que la m´ethode de Heun fait partie des m´ethodes de Runge-Kutta explicites d"ordre deux. Afin d"illus-
trer le fonctionnement de cette m´ethode, reprenant l"´equation diff´erentielle de l"exemple num´erique pr´ec´edent et
cherchons la formule analytique correspondante : u n+1=un+h2 xnun2 +h2 0 B B@x n u n+hxnun2 2 1 C CA u n+1=un+h2 xnun2 +h2 0 B B@x n2un+hxnhun2 2 1 C CA u n+1=un+h2 xnun2 +h22xn2unhxn+hun4
Finalement :
u n+1=4hh28 x n+84h+h28 u n(15)Cours complet est disponible sur mon site web : http://sites.univ-biskra.dz/kenouche/@ SAMIR KENOUCHE7
Ci-dessous le script Matlab
r:clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %Heun-Eq:y"=(x-y)/2 a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; forit=1:n-1 un(it+1)=((4 *h-h.ˆ2)/8)quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] test de psychologie pdf
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