Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
ª Le syst`eme est bien d'ordre 1 mais il est non linéaire. Calcul numérique d'une solution approchée. Pas d'expression explicite de la solution. ?. Calcul ...
Chapitre Résolution numérique des équations différentielles Master
II ´Equations différentielles d'ordre n La résolution numérique consiste `a ... Soit l'équation différentielle du seconde ordre suivante :.
Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires
Le théorème de la “Seconde barrière de Dahlquist” est-t-il respecté? ?. Exercice 6.4 Calculer l'intervalle de stabilité absolue pour la méthode d'Euler
Résolution numérique des équations différentielles ordinaires (EDO
Ordre n de la méthode = plus grande puissance de h prise en compte dans l'approximation. — Somme des termes négligés = erreur de troncature locale ? hn+1.
Résolution numérique des équations différentielles
Lorsque f est de classe C 1 la méthode d'Euler est une méthode consistante d'ordre 1. JP Becirspahic — Résolution numérique des équations différentielles
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
De nos jours la. 9. Page 10. Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies
Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles
Chapitre 6. Résolution numérique des équations différentielles. Exemple du pendule : Équation différentielle non linéaire du second ordre.
Résolution numérique des équations différentielles
Une solution de cette équation différentielle est une fonction x de classe C 1 du second ordre vérifiée par la fonction s mais la démarche numérique ...
11. Introduction à la programmation de la résolution numérique d
19-Oct-2021 Évidemment le calcul approché par une méthode numérique de la solution ... On intègre un système d'équations différentielles du second ordre ...
Méthodes numériques pour les équations différentielles
On appelle EDO d'ordre n de fonction second membre f l'équation résoudre de manière approchée et itérative l'équation différentielle (x) = ? x +(x) ...
Résolution numérique des équations différentielles 1 Les équations
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1 Les équations différentielles ordinaires: une seule variable 2 Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables (équation de la chaleur des ondes ) Ordre d’une équation différentielle : dérivée la plus élevée
Chapitre 5 : Équations différentielles
On dit qu’une équation différentielle de la forme y?(t) ?ay(t) = g(t) est homogène lorsque l’on considère comme second membre une fonction gidentiquement nulle ce que l’on note g?0 Dé?nition Soient Iun intervalle de R et a?I?R une fonction continue
Méthodes numériques de résolution d’équations di?érentielles
Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies deuxième année Année 2006-2007 Une équation di?érentielle est une équation qui dépend d’une variable t et d’une fonction x(t) et qui contient des dérivées de x(t) Elle s’écrit : F tx(t)x(1) (t) x(m) (t) = 0 où x(m) (t) ? dmx dtm (1)
Chapitre 7 : Résolution numérique des équations
résolution numériques complètement différentes Pour les problèmes aux conditions initiales d’ordre 2 il existe des méthodes numé-riques spéci?ques Cependant il est toujours possible de les ramener à un système de deux équations différentielles d’ordre 1 couplées et avec conditions initiales En effet
Quelle est la résolution numérique des équations différentielles ?
Les équations différentielles ordinaires (O.D.E) 1 Résolution numérique des équations différentielles 1. Les équations différentielles ordinaires (O.D.E) Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay 2 Les systèmes dynamiques L’évolution des systèmes dynamiques sont régis par des équations différentielles
Quels sont les différents types d'équations différentielles?
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1. Les équations différentielles ordinaires: une seule variable. 2. Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...)
Comment résoudre une équation différentielle?
Une solution particulière de l’équation est une fonction gqui vérifie l’équation. Résoudre l’équation différentielle c’est trouver la solution générale de (E) qui est formée par l’ensemble de toutes les fonctions solutions de (E). 2.
Comment calculer l’équation différentielle d’ordre 2?
Équation différentielle d’ordre 2 y??(t) = f (t,y(t),y?(t)) Avec les 2 conditions limites : y(t0 )= y0 et y(t1 )= y1 Type différent de celles données avec des conditions initiales. Les méthodes vues précédemment ne s’appliquent pas car nous ne connaissons pas y?(t0 )
UPMC Master P&A/SDUEE
UE MU4PY209
Méthodes Numériques et Calcul Scientifique
Résolution numérique des
équations différentielles ordinaires (EDO)2019-2020Jacques.Lefrere@upmc.frEDO TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Introduction 6
1.1 Problème différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2 Deux types de problèmes différentiels à résoudre . . . . . . . . . . .
71.3 Équations différentielles scalaires du 1
erordre . . . . . . . . . . . .81.4 Unicité et problème bien posé : conditions suffisantes . . . . . . . . .
91.5 Méthodes de résolution numérique et notations . . . . . . . . . . . .
102 Méthodes à un pas 12
2.1 Méthodes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.1.1 Méthode d"Euler progressive (explicite) . . . . . . . . . . . .
132.1.2 Méthode d"Euler rétrograde (implicite) . . . . . . . . . . . . .
15 MNCS 1 2019-2020EDO TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES2.2 Méthodes du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.2.1 Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.2.2 Méthode d"Euler modifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202.2.3 Méthode de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232.3 Méthodes de Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.3.1 Méthode de Runge Kutta d"ordre 3 . . . . . . . . . . . . . .
242.3.2 Méthode de Runge Kutta d"ordre 4 . . . . . . . . . . . . . .
262.4 Erreur absolue en fonction du pas et de l"ordre . . . . . . . . . . . .
272.5 Exemple de l"équation logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282.5.1 Exemple d"erreur totale maximale en simple précision . . . . .
312.5.2 Exemple d"erreur totale maximale en double précision . . . . .
322.5.3 Comparaison des erreurs maximales simple/double précision .
33MNCS 2 2019-2020EDO TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
3 Méthodes à plusieurs pas 34
3.1 Méthodes d"Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343.1.1 Adams Bashforth : explicite, pas de terme enf(ti+1,ui+1).35
3.1.2 Adams Moulton : implicite, terme enf(ti+1,ui+1). . . . . .36
3.1.3 Comparaison méthodes à un pas et Adams explicite . . . . . .
383.1.4 Méthodes de prédicteur correcteur . . . . . . . . . . . . . .
393.2 Méthodes adaptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403.2.1 Exemple : méthode de Runge Kutta Fehlberg . . . . . . . . .
413.3 Méthodes d"extrapolation de Gragg . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423.3.1 Principe de l"extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423.3.2 Comparaison méthodes à un pas et extrapolation de Gragg . .
454 Les EDO du premier ordre en pratique 46
MNCS 3 2019-2020
EDO TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
4.1 Échelles de temps et problèmes raides . . . . . . . . . . . . . . . .
464.2 Validation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
474.3 Structure des programmes de résolution d"EDO du 1
erordre . . . . .485 Systèmes d"EDO du 1
erordre 495.1 Méthodes scalaires explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495.2 Équations de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526 Équations différentielles d"ordre supérieur 58
6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
596.2 Exemple d"EDO d"ordre 2 : le pendule . . . . . . . . . . . . . . . .
607 Implémentation vectorielle 69
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69MNCS 4 2019-2020EDO TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
7.2 En fortran (norme 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
707.3 En C89 avec des tableaux dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . .
737.4 En C99 avec des tableaux automatiques . . . . . . . . . . . . . . .
76Bibliographie 79
MNCS 5 2019-2020EDO 1 Introduction
1 Introduction
1.1 Problème différentiel
équation différentielle scalaire d"ordre n
d nydtn=f t, y,dydt, ...,dn-1ydtn-1oùfest la fonction second membre donnée ?famillede solutionsy(t)ànparamètres ensemb lede nconditions imposées ?choix d"unesolution dans la famille MNCS 6 2019-2020EDO 1 Introduction 1.2 Deux types de problèmes différentiels à résoudre1.2 Deux types de problèmes différentiels à résoudre
Conditions initiales données pour une seule v aleurt0det, par exemple y(t0) =y0, y?(t0) =y?0, ... , y(n-1)(t0) =y(n-1)0Problème deconditions initialesou deCauchy
Conditions données pour des v aleursdistinctes de la v ariableindépendante t, par exemple :y(t0) =y0, y(t1) =y1, ... , y(tn-1) =yn-1Problème deconditions aux limites(non traité, sauf problème de tir).
MNCS 7 2019-2020
EDO 1 Introduction 1.3 Équations différentielles scalaires du 1 erordre1.3 Équations différentielles scalaires du 1
erordre Étudier d"abord les équations différentielles scalairesdu premier ordre. ?famille de solutionsy(t)àunparamètre (y0)dydt=f(t, y(t))avecy(t0) =y0condition initiale Les EDO d"ordre supérieur se ramènent à des systèmes différentiels couplés du premier ordre (EDO vectorielles du premier ordre).MNCS 8 2019-2020EDO 1 Introduction 1.4 Unicité et problème bien posé : conditions suffisantes
1.4 Unicité et problème bien posé : conditions suffisantes
Lacondition de Lipschitz
|f(t,y2)-f(t,y1)|?K|y2-y1| assure l"unicitéde la solution.∂f∂y (t,y)?Kdans un domaine convexe?condition de Lipschitz vérifiée. Les erreurs d"arrondi amènent àtoujours résoudre un problème perturbé. Problème bien posési : le problème faiblement perturbé (second membre ou condition initiale) possède une solution proche de celle du problème original. La condition de Lipschitz assure que le problème est bien posé. MNCS 9 2019-2020EDO 1 Introduction 1.5 Méthodes de résolution numérique et notations1.5 Méthodes de résolution numérique et notations
Résolution numériqueapprochée sur l"intervalle[t0,t0+L]de longueurLDiscrétisationpar découpage de l"intervalle de longueurLselon un pas constanthÉchantillonnagede la solution aux instants t
i=t0+ihpour1?i?n.Solution numérique :ui=approximation dey(ti)
À partir de lacondition initialeu0=y(t0)imposée, faire unebouclesur les abscissestipour calculer l"approximationui+1àti+1 →approximer ainside proche en prochela solution sur l"inter valleL. ?accumulation des erreurs dans la boucle À chaque pas de la boucle, pour calculerui+1, on peut s"appuyer : sur la dernière valeurcalculéeui:méthodes à un pas sur plusieurs valeursui-k(k?0)antérieurement calculées : méthodes à plusieurs pas(initialisation nécessaire par méthode à un pas) MNCS 10 2019-2020EDO 1 Introduction 1.5 Méthodes de résolution numérique et notations famille de solutions exactes dépendant dey0 passant par(ti,ui)la solution t i+1ttit0exacte approx. erreur cumuléey y 0u iu i+1y i+1 h erreur localeMéthode à pas
constantDécoupage de
l"intervalle de longueurLselon un pas fixe h=L/n. u i=approximat. dey(ti)Un pas :
t i→ti+1 u i→ui+1MNCS 11 2019-2020
EDO 2 Méthodes à un pas
2 Méthodes à un pas
Constituent l"algorithme de base qui permet d"estimer la valeur de la solution à l"instantti+1=ti+h, connaissant seulementui, celle àti. La valeur à estimer peut être approchée par un développement limité de Taylor : y(ti+h) =y(ti) +hdydt(ti) +h22 d2ydt2(ti) +···(1)
Ordrende la méthode=plus grande puissance dehprise en compte dans l"approximation. Somme des termes négligés=erreur de troncature locale?hn+1 déterministe, augmente si le pashaugmente et si l"ordre de la méthode diminue -Précision finie des opérationssur les réels ?erreur d"arrondialéatoire augmente lorsque les calculs se compliquent, en particulier si le pashdiminue. Indépendamment du coût (en temps de calcul) des opérations, et des cas où la fonction est tabulée,ne pas croire que diminuer le pas améliore toujoursla qualité du résultat : uncompromisdoit être trouvé entre ces deux types d"erreurs. MNCS 12 2019-2020EDO 2 Méthodes à un pas 2.1 Méthodes du premier ordre2.1 Méthodes du premier ordre
2.1.1 Méthode d"Euler progressive (explicite)
Méthode du premier ordre d"intérêt pédagogique, à éviter en pratique u i+1=ui+hf(ti,ui)(2)Exemple : stabilité
dydt=-yτ ?solution analytiquey=y0e-t/τ?yn=y0(e-h/τ)n u i+1=ui-hτ ui?solution numériqueun=y0(1-h/τ)n Siτ >0, la solution exacte vérifiey(∞) = 0, Mais pour l"approximation,un→0?? |1-h/τ|<1??0< h <2τ.Condition destabilité:h <2τ(pashpetit)
Mais, sih > τ, alors(1-h/τ)<0: alternance de signe de la solutionun.MNCS 13 2019-2020EDO 2 Méthodes à un pas 2.1 Méthodes du premier ordre
t iti+1u iu i+1y t k 1k 1h hMéthode d"Eulerquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] test de psychologie pdf
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