Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
ª Le syst`eme est bien d'ordre 1 mais il est non linéaire. Calcul numérique d'une solution approchée. Pas d'expression explicite de la solution. ?. Calcul ...
Chapitre Résolution numérique des équations différentielles Master
II ´Equations différentielles d'ordre n La résolution numérique consiste `a ... Soit l'équation différentielle du seconde ordre suivante :.
Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires
Le théorème de la “Seconde barrière de Dahlquist” est-t-il respecté? ?. Exercice 6.4 Calculer l'intervalle de stabilité absolue pour la méthode d'Euler
Résolution numérique des équations différentielles ordinaires (EDO
Ordre n de la méthode = plus grande puissance de h prise en compte dans l'approximation. — Somme des termes négligés = erreur de troncature locale ? hn+1.
Résolution numérique des équations différentielles
Lorsque f est de classe C 1 la méthode d'Euler est une méthode consistante d'ordre 1. JP Becirspahic — Résolution numérique des équations différentielles
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
De nos jours la. 9. Page 10. Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies
Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles
Chapitre 6. Résolution numérique des équations différentielles. Exemple du pendule : Équation différentielle non linéaire du second ordre.
Résolution numérique des équations différentielles
Une solution de cette équation différentielle est une fonction x de classe C 1 du second ordre vérifiée par la fonction s mais la démarche numérique ...
11. Introduction à la programmation de la résolution numérique d
19-Oct-2021 Évidemment le calcul approché par une méthode numérique de la solution ... On intègre un système d'équations différentielles du second ordre ...
Méthodes numériques pour les équations différentielles
On appelle EDO d'ordre n de fonction second membre f l'équation résoudre de manière approchée et itérative l'équation différentielle (x) = ? x +(x) ...
Résolution numérique des équations différentielles 1 Les équations
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1 Les équations différentielles ordinaires: une seule variable 2 Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables (équation de la chaleur des ondes ) Ordre d’une équation différentielle : dérivée la plus élevée
Chapitre 5 : Équations différentielles
On dit qu’une équation différentielle de la forme y?(t) ?ay(t) = g(t) est homogène lorsque l’on considère comme second membre une fonction gidentiquement nulle ce que l’on note g?0 Dé?nition Soient Iun intervalle de R et a?I?R une fonction continue
Méthodes numériques de résolution d’équations di?érentielles
Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies deuxième année Année 2006-2007 Une équation di?érentielle est une équation qui dépend d’une variable t et d’une fonction x(t) et qui contient des dérivées de x(t) Elle s’écrit : F tx(t)x(1) (t) x(m) (t) = 0 où x(m) (t) ? dmx dtm (1)
Chapitre 7 : Résolution numérique des équations
résolution numériques complètement différentes Pour les problèmes aux conditions initiales d’ordre 2 il existe des méthodes numé-riques spéci?ques Cependant il est toujours possible de les ramener à un système de deux équations différentielles d’ordre 1 couplées et avec conditions initiales En effet
Quelle est la résolution numérique des équations différentielles ?
Les équations différentielles ordinaires (O.D.E) 1 Résolution numérique des équations différentielles 1. Les équations différentielles ordinaires (O.D.E) Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay 2 Les systèmes dynamiques L’évolution des systèmes dynamiques sont régis par des équations différentielles
Quels sont les différents types d'équations différentielles?
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1. Les équations différentielles ordinaires: une seule variable. 2. Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...)
Comment résoudre une équation différentielle?
Une solution particulière de l’équation est une fonction gqui vérifie l’équation. Résoudre l’équation différentielle c’est trouver la solution générale de (E) qui est formée par l’ensemble de toutes les fonctions solutions de (E). 2.
Comment calculer l’équation différentielle d’ordre 2?
Équation différentielle d’ordre 2 y??(t) = f (t,y(t),y?(t)) Avec les 2 conditions limites : y(t0 )= y0 et y(t1 )= y1 Type différent de celles données avec des conditions initiales. Les méthodes vues précédemment ne s’appliquent pas car nous ne connaissons pas y?(t0 )
Ift24211 Chapitre 6Ift 2421
Chapitre 6
Résolution
des équations différentielles:Conditions initiales
Ift24212 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentiellesRappels:
2 grandes classes:
1. Les équations différentielles ordinaires:
une seule variable.2. Les équations aux dérivées partielles:
plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...) Ordre d'une équation différentielle : dérivée la plus élevée. Équation différentielle linéaire :émission radioactive : dRtdtRt()()=-l Équation différentielle non linéaire :Variation de population : dNtdtaNtbNt()()().=-17Convection : dutdtkutT()(())=--5
4 nécessite des conditions initiales. Ift24213 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentiellesExemple du pendule :
Équation différentielle non linéaire
du second ordre.Impossible de trouver une solution analytique.
Pour de petit mouvements :
Sin()qq»
Équation du pendule:
t: temps q: Position angulaired dtg LSin 2 20qq+=()
Conditions initiales usuelles:qq
qq() ()t t00 00= =¢qqL Ift24214 Chapitre 6Méthode des séries de TaylorOrdre 1:¢=ytftyt()(,())
yty()00=Développement de Taylor au voisinage de
ttjhj=+0426()()()()
426(,)(,)(,)()
Remarques:1. L'ordre local est en h
4.2. Pas d'estimée de l'erreur.
3. Les dérivées de la fonction f(t,y(t)) se font:df
dtftyf tf yyf tf4. Si l'ordre local est en hn , l'ordre global sera en hn-1.
Ift24215 Chapitre 6Exemple:
Appliquer la méthode de Taylor avec un pas h = 0.1 et un ordre local en h3 pour:¢==-ytftyttyt()(,())()2
yty()001==Solution analytique: ytt()=+222
Le pas est h = 0.1, nous allons calculer les valeurs de y(t)pour t = 0, t = 0.1, t = 0.2, ..., etc.Si nous utilisons un ordre local en h
3, nous avons:yyhythytOhjjjj+=+¢+¢¢+12
32()()()
Exprimons ¢¢yt()
or¢==-ytftyttyt()(,())()2
donc¢¢=-+--ytyttyttyt()()()()(())222
¢¢=-+ytyttyt()()()2232
Ift24216 Chapitre 6La formule de Taylor d'ordre local h3 devient alors:yyhtythyttytOhjjjjjjj+=+-+-++122
223322(())(()())()
pour tth10=+ yyhtytyttyto1002 02 2 02300122=-+-+().(()())
y1100050995=-=..
Valeur exacte: y(.)......012
20122010995024872=+=»
pour tth202=+ yyhtythyttyt2112 12 2 1123122=-+-+()(()())y
222y
209802486=....
Valeur exacte: y(.)......0222022
20409803921562=+=»
pour tth303=+ Etc.Ordre global h2.
Ift24217 Chapitre 6Méthode d'Euler (ordinaire)
Ordre 1:¢=ytftyt()(,())
yty()00=Méthode d'Euler = Méthode de Taylor
d'ordre local en h2.Ordre global en h.
yyhytOhjjj+=+¢+12()() yyhftytOhjjjj+=++12(,())()Interprétation géométrique:x
0x 0+hxySolution
analytiquey 0y 1 Ift24218 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale Y n = Valeur calculée en xn. y n = Valeur exacte en xn. eyYnnn=- = erreur en Yn; Yyennn=+Avec la méthode d'Euler, nous avons:
YYhftYnnnn+=+1
En utilisant les séries de Taylor:yyhftyhynnnnn+=++¢¢122(,)()x avec xxhnnn££+x[]eyYyYhfxyfxYhynnnnnnnnnn+++=-=-+-+¢¢11122(,)(,)()xeehfxyfxY
yYyYhynnnnnn nnnnn+=+-ûú-+¢¢12
2(,)(,)
()()()xeehfxehynnynnnn+=++¢¢122(,)()hx avec hnnnentreyetYehKehynnn+£++¢¢1212()()x
Ift24219 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale (suite) e 00= ehKehyhy102 0 2 012102 1 2 0111
221
21£+¢¢é
[]ehhKyhKyy322 []ehhKyhKyynnn n£+¢¢++¢¢++¢¢-- -1211121 0211()()()()()xxxK
[]ehMhKhKnnn£+++++--12111212()()KSachant que :1
1121++++=-
sssssn n KNous obtenons :ehMhK
hKnn +-1 211112
() Û e hMKhK hMKn
10+<>hKeKhK()
()()e hMKe hMKhM Ke hMKeOhnhKnnhKxxKn£-=-=-=-2221210()()()
Ift242110 Chapitre 6Méthode d'Euler modifiéeTaylor d'ordre local en h
3 :yyhftyhftyOhjjjjjj+=++¢+12
32(,)(,)()
Différence avant pour évaluer f' :¢
ftyftyftyhOhjjjjjj (,)(,)(,)()11 Formule d'Euler modifiée :[]yyhftyftyOhjjjjjj+++=+++11132(,)(,)() []yyhyyOhjjjj++=+¢+¢+1132()x 0x 0+hxySolution
analytiquey 0y 1Ift242111 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire
Algorithme
y0 donné
yyhftytjjjj+=+1Une seule étape de calcul
Ordre global en h.Méthode d'Euler modifiée
Algorithme
y0 donné~(,())yyhftytjjjj+=+1[]yyhftyftyjjjjjj+++=++1112(,)(,~)
Deux étapes de calcul:
1. la prédiction.
2. La correction.
Ordre global en h
2.Méthode d'Euler ordinairePour résoudre:
=-yttyt()()2y()01= t jyjerreur0.11.0000-5.0 10-30.20.9900-9.6 10-30.30.9704-1.3 10-2
0.40.94215-1.6 10-2Méthode d'Euler modifié
Pour résoudre:
=-yttyt()()2y()01= t jyj prédityj corrigéerreur0.11.0000000.9950002.5 10-50.20.9851000.9803464.6 10-50.30.9611240.9568786.0 10-5
0.40.9294100.9258686.0 10-5
0.50.8915790.8888513.8 10-5
0.60.8474580.8474585.2 10-8Note: L'étape de correction peut être répétée 2 à 3 fois, au delà,
il est préférable de réduite h. Ift242112 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire¢ =-yttyt()()2y()01= h =0.5 t jyj010.511.0.75
1.50.46875
2.0.303955
2.50.211566
3.0.155616
3.50.119291
Méthode d'Euler Modifié
h =0.5 t jyj010.50.8751.0.662472
1.50.479149
2.0.345942
2.50.254107
3.0.191201
3.50.147512
4.0.1164970.511.522.533.5400.20.40.60.81
Ift242113 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta
Développement à l'ordre 2
y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21=++(,)ab
yyakbknn+=++112Trouver les valeurs de : a, b, a et b.Développement de Taylor :yyhfxyhfxyOhnnnnnn+=++¢+12
32(,)(,)()
or¢=+¢ =+fxyffy fffnnxyn xyn(,)() ()yyhfxyhfffOhnnnnxyn+=++++1232(,)()()(1)
Algorithme de Runge Kutta d22ordre 2 :
yyahfxybhfxhyhfxynnnnnnnn+=++++1 (,)(,(,))abDéveloppons au premier ordre :
Ift242114 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta : développement à l'ordre 2 y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21=++(,)ab
yyakbknn+=++112Trouver les valeurs de : a, b, a et b.yyhfxyhfffOhnnnnxyn+=++++12En forçant (1) = (2), nous avons :ab
b b+= =1 1 2 12a bOrdre local en h 3Ordre global en h
2.Choix Courants :abet=®===121
21ab ® Type I : Euler modifiéabet=®===0112ab ® Type IIabet=®===231
332ab ® Type III
Ift242115 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta d'ordre global 2Le plus courant :
y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21323
2=++(,)yykkOhnn+=+++1123231
3()Méthode de Runge Kutta d'ordre global 4
Le plus courant :
y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21121
2=++(,)khfxhyknn32121
3131
6() Ift242116 Chapitre 6Les méthodes de Runge Kutta sont très efficaces car :
1. Elles suivent de près la
solution analytique.2. Avec une valeur du pas
relativement élevé.3. Moins coûteux que les
autres méthodes pour unO(hn) donné.Pas encore d'approximation
de l'erreur commise.Nécessité de choisir le pas en
fonction de l'erreur maximale recherchée.Solution : calculer avec un
pas égal à h, h/2, ...Jusqu'à la stabilité de la
solution.Coût élevé !
Les méthodes qui ajustent le
pas sont dites méthodes à pas adaptatif.Méthode de RungeKutta d'ordre global h
4 : =-yttyt()()2y()01= h =0.1 t jyjyj Réel0110.10.99502490.99502490.20.98039220.9803922
0.30.95693770.9569378
0.40.92592580.92592590.511.5h=1.0
2.533.5400.20.40.60.81
20.511.522.533.5400.20.40.60.81h=0.5
Ift242117 Chapitre 6Algorithme de Runge Kutta Merson d'ordre global 4 avec estimé de l'erreur. y0 donné khfxynn1=(,)khfxhyknn21131
3=++(,) khfxhykknn312131
616=+++(,)khfxhykknn413121
838=+++(,) khfxhykkknn5134123
22=++-+(,)yykkkOhnn+=++++11455162
316()Ekkkk»-+-é
ûú1
153104
151
301345Algorithme de Runge Kutta Fehlberg
d'ordre global 5 avec estimé de l'erreur. y0 donné khfxynn1=(,)khfxhyknn211
414=++(,) khfxhykknn3123
83329
32=+++(,)khfxhykkknn412312
131932
21977200
21977296
2197=++++(,)khfxhykkkknn51234439
21683680
513845
4104=++-+-(,)khfxhykkkkknn6123451
282723544
25651859
410411
40=+-+-+-(,)yykkkkOhnn+=+++++11345625
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] test de psychologie pdf
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