LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe
La résolution par l'algorithme du simplex se déroule selon 8 étapes avant un nouveau passage. 1ère étape : Écrire le système sous forme standard. Il s'agit
1 Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
3-Le tableau suivant est–il le dernier et pourquoi ? Si oui donner la solution optimale de (P) et son coût. Question 1. On met le programme linéaire (P)
Chapitre 3 Méthode du simplexe
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Méthode du simplexe
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174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II
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Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe Soit le programme linéaire : max????=2????1+????2 Sous les contraintes x 1 0 x 2 0 et {????1?????2?3 ????1+22?6 ?????1+2????2?2 1-Rajouter les variables d’écart (positives ou nulles)
Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?
L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.
Qui a inventé le simplexe ?
Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.
Qu'est-ce que la méthode du simplexe?
1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.
Quels sont les sommets de la programmation linéaire ?
On a le graphique de trois régions colorées correspondant aux contraintes. La région de chevauchement est le quadrilatère marron avec un sommet à l’origine. Il s’agit de l’ensemble réalisable pour ce problème de programmation linéaire. D’après le graphique donné, on peut dire que les sommets sont ( 0, 0), ( 0, 4), ( 2, 3), ( 3, 0).
Programmation linéaire
Algorithme du simplexe
Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexeSoit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
1-Rajouter les ǀariables d'Ġcart (positives ou nulles). Puis rĠsoudre le problğme par l'algorithme du
simplexe et la méthode des tableaux.2-Pour vérifier le résultat de la question précédente, résoudre le problème (à 2 variables x1, x2)
graphiquement.Soit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
1-Rajouter les ǀariables d'Ġcart (positiǀes ou nulles). Puis rĠsoudre le problğme par l'algorithme du
simplexe et la méthode des tableaux.2-Pour vérifier le résultat de la question précédente, résoudre le problème (à 2 variables x1, x2)
graphiquement.Algorithme du simplexe.
Soit le problème (P):
tt d d d 0,0 12 624 s.c.2max 21
21
21
21
21
xx xx xx xx xxz
On note e1, e2 et e3 les variables d'Ġcarts (ш0) respectiǀement de la premiğre, deudžiğme et troisiğme
contrainte. 21-Ecrire (P) sous forme standard (ajout des ǀariables d'Ġcart et transformation des contraintes en
contraintes d'ĠgalitĠs)2-RĠsoudre (P) par l'algorithme du simpledže (indication : 2 itérations) et donner la solution optimale.
RĠsolution d'un programme linéaire : algorithme du simplexe. On considère le programme linéaire (P) suivant :Sous les contraintes ൞
1-On rajoute les ǀariables d'Ġcart dž30, x40, x50 au programme (P) afin de le mettre sous forme
standard (contraintes d'ĠgalitĠs). Faut-il les faire précéder du signe + ou du signe - ?2-On a fait tourner l'algorithme du simpledže sur ce programme (P) aprğs aǀoir rajoutĠ les ǀariables
d'Ġcart dž30, x40, x50 . On est arrivé au tableau suivant : base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 2 0 0 -1 = 3 x3 0 7 1 0 -4 = 7 x4 0 4 0 1 -3 = 30 -1 0 0 2 = -6 + z
a-Retrouver ce tableau à partir des données initiales et sachant qu'on est sur la base x1, x3, x4.
b-Est-on arrivé à la solution optimale et pourquoi ? c-Sinon, - déterminer la variable entrant en base - déterminer la variable sortant de base - Faire le " pivotage » pour passer au tableau suivant.3-Le tableau suivant est-il le dernier et pourquoi ? Si oui, donner la solution optimale de (P) et son
coût. 3Corrigé
Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexeSoit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
Le tableau associé à la solution de base x3=3, x4=6, x5=2, x1=x2=0 est donné ci-dessous : base X1 X2 X3 X4 X5X3 1 -1 1 = 3
X4 1 2 1 = 6
X5 -1 2 1 = 2
2 1 = 0 + z
Il suffit de recopier les coefficients car la matrice de base B=Identité Var. entrante : x1 de cout rĠduit madž c'est-à-dire 2 . Var. sortante : min{3/1,6/1}=3 qui correspond à la variable x3.Le pivot est 1 entouré. On pivote.
Le tableau associé à la solution de base x1=3, x4=3, x5=5, x3=x2=0 est donné ci-dessous : base X1 X2 X3 X4 X5X1 1 -1 1 = 3
X4 0 3 -1 1 = 3
X5 0 1 1 1 = 5
0 3 -2 = - 6 + z
Var. entrante ͗ dž2 de cout rĠduit madž c'est-à-dire 3 . Var. sortante : min{3/3,5/1}=1 qui correspond à la variable x4.Le pivot est 3 entouré. On pivote.
Le tableau associé à la solution de base x1=4, x2=1, x5=4, x3=x4=0 est donné ci-dessous : base X1 X2 X3 X4 X5X1 1 0 2/3 1/3 = 4
X2 0 1 -1/3 1/3 = 1
4X5 0 0 1+1/3 -1/3 1 = 4
0 0 -1 -1 = - 9 + z
Pas de coût réduit>0. Donc le problème est résolu. La solution est x1=4, x2=1, x3=0, x4=0, x5=4 . Et z = 9 .Soit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
On rajoute ǀar. d'Ġcart x3 et x4 positives ou nulles.X1 X2 X3 X4
Contr1 1 1 1 = 2
Contr2 1 1 = 1
Max -1 3 = 0 + z
Itération 0
base X1 X2 X3 X4X3 1 1 1 = 2
X4 1 0 1 = 1
-1 3 = 0 + z X2 entre en base. Qui sort ? Min{2/1}=2 qui correspond à x3Itération 1
base X1 X2 X3 X4X2 1 1 1 = 2
X4 1 0 1 = 1
-4 0 -3 = -6 + z Les coûts réduits sont 0. Donc on a fini. La solution est x1=0, x2=2, x3=0, x4=1 5 RĠsolution d'un programme linéaire : algorithme du simplexe. On considère le programme linéaire (P) suivant :Sous les contraintes ൞
1-On rajoute les ǀariables d'Ġcart dž30, x40, x50 au programme (P) afin de le mettre sous forme
standard (contraintes d'ĠgalitĠs). Faut-il les faire précéder du signe + ou du signe - ?2-On a fait tourner l'algorithme du simpledže sur ce programme (P) aprğs aǀoir rajoutĠ les ǀariables
d'Ġcart dž30, x40, x50 . On est arrivé au tableau suivant : base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 2 0 0 -1 = 3 x3 0 7 1 0 -4 = 7 x4 0 4 0 1 -3 = 30 -1 0 0 2 = -6 + z
a-Retrouver ce tableau à partir des données initiales et sachant qu'on est sur la base x1, x3, x4.
b-Est-on arrivé à la solution optimale et pourquoi ? c-Sinon, - déterminer la variable entrant en base - déterminer la variable sortant de base - Faire le " pivotage » pour passer au tableau suivant.3-Le tableau suivant est-il le dernier et pourquoi ? Si oui, donner la solution optimale de (P) et son
coût.Question 1
On met le programme linéaire (P) sous forme standard : 6Sous les contraintes ൞
Question 2-a
Comment retrouver ce tableau. Les variables de base sont x1, x3, x4. On en déduit la matrice de base :Et son inverse est :
On peut la retrouver dans le tableau, au signe près, sous les variables x3, x4, x5 puisque dans les
contraintes initiales sous les variables x3, x4, dž5 on a l'opposé de la matrice identité : -I. Donc puisque
les contraintes initiales sont pré-multipliées par B-1 on retrouve sous ces colonnes -B-1.On en déduit ensuite :
Pour la ligne des coûts réduits, on utilise la formule matricielle cN-cBB-1N : 7Questions 2-b, 2-c et 3
base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 2 0 0 -1 = 3 x3 0 7 1 0 -4 = 7 x4 0 4 0 1 -3 = 30 -1 0 0 2 = -6 + z
ସ donc x4 sort base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 0 0 -1/2 1/2 = 3/2 Lx1-2L'x2 x3 0 0 1 -7/4 5/4 = 7/4 Lx3-7L'x2 x2 0 1 0 1/4 -3/4 = 3/40 0 0 1/4 5/4 = -21/4 + z
LzнL'x2
Pas de coût réduit <0 donc stop.
La solution optimale est x1=3/2, x2=3/4, x3=7/4 , x4=x5=0Z= 21/4=23/2+33/4
8Algorithme du simplexe.
Soit le problème (P):
tt d d d 0,0 12 624 s.c.2max 21
21
21
21
21
xx xx xx xx xxz
On note e1, e2 et e3 les ǀariables d'Ġcarts (ш0) respectiǀement de la premiğre, deudžiğme et troisiğme
contrainte.1-Ecrire (P) sous forme standard (ajout des ǀariables d'Ġcart et transformation des contraintes en
contraintes d'ĠgalitĠs)2-RĠsoudre (P) par l'algorithme du simpledže (indication : 2 itérations) et donner la solution optimale.
base X1 X2 E1 E2 E3E1 1 1 1 = 4
E2 2 1 1 = 6
E3 -2 1 1 = 1
1 2 = 0 +z
X2 rentre, min{4/1, 6/1, 1/1}=1 e3 sort
base X1 X2 E1 E2 E3E1 3 0 1 -1 = 3
E2 4 0 1 -1 = 5
X2 -2 1 1 = 1
5 0 -2 = -2 +z
L'e1=Le1-Lx2
L'e2=Le2-Lx2
L'z=Lz-2Lx2
base X1 X2 E1 E2 E3E1 3 0 1 -1 = 3
E2 4 0 1 -1 = 5
X2 -2 1 1 = 1
5 0 -2 = -2 +z
X1 rentre, min{3/3 , 5/4}=1 donc e1 sort
9 base X1 X2 E1 E2 E3 x1 1 0 1/3 -1/3 = 1E2 0 0 -4/3 1 1/3 = 1
X2 0 1 2/3 1/3 = 3
0 0 -5/3 -1/3 = -7 +z
L'e2=Le2-4Lx1
L'x2=Lx2+2Lx1
L'z=Lz-5Lx1
Pas de coût réduit >0 STOP
Solution optimale : x1=1 , e2=1, x2=3, e1=e3=0
L'objectif z vaut 7
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