LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe
La résolution par l'algorithme du simplex se déroule selon 8 étapes avant un nouveau passage. 1ère étape : Écrire le système sous forme standard. Il s'agit
1 Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
3-Le tableau suivant est–il le dernier et pourquoi ? Si oui donner la solution optimale de (P) et son coût. Question 1. On met le programme linéaire (P)
Chapitre 3 Méthode du simplexe
nous savons que la solution optimale du problème d'optimisation linéaire ... Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les.
Programmation linéaire. Méthode du simplexe.
Oct 25 2010 Un programme linéaire est la maximisation ou la minimisation d'une fonction linéaire sous des contraintes linéaires. 2.1 Exemple. Voici un petit ...
Algorithme du simplexe - Une solution à la programmation linéaire
Mar 18 2008 Alg `ebre lin éaire. Algorithme du simplexe. R ésum é. Algorithme du simplexe. Une solution `a la programmation linéaire. Hugues Talbot.
Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual du
Ecrire le dual de ce problème. A-t-il une solution réalisable ? Confirmer votre réponse en résolvant (P) par l'algorithme du simplexe. Que se
Méthode du simplexe
Si un problème de programmation linéaire admet au moins une solution réalisable optimale finie il existe au moins une solution réalisable optimale de base.
LA PROGRAMMATION LINEAIRE : RESOLUTION ANALYTIQUE
Dans cette leçon nous abordons un algorithme de résolution d'un problème de programmation linéaire : l'algorithme du simplexe.
Programmation linéaire -- suite - Cas limites du simplexe
Apr 6 2007 Cas limites de la programmation linéaire. Limites de l'algorithme du simplexe. Solution unique. Solution multiple. Solutions non bornées.
L'algorithme du simplexe - HEC Montréal
Avant que l’algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives a Contraintes de type
Programmation linéaire - Méthodes et applications
A une certaine itération du simplexe nous disposons d’une solution de base x B lié à un choixB devariablesdebase Ensuiteils’agitdepivoterversunesolutiondebaseadjacente quidoitêtreadmissible Lecritèreduquotientassurequelanouvellesolutiondebasesera admissible Ene?etnotonsparj lacolonnedepivotdel’étape1etpari
1 INTRODUCTION 2 AJOUT DES VARIABLES ARTIFICIELLES 3 L
simplexe en deux étapes La première étape dite Phase 1 consiste à éliminer les variables artificielles de la base (ou au moins à les rendre nulles) Si tel est le cas la phase II débute avec le dernier tableau de la phase I L’algorithme se poursuit en examinant des solutions réalisables de base au problème original selon les
174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II
sation sous contraintes linéaires s’appuie sur l’algèbre linéaire et l’analyse convexe L’èremoderned’optimisationmathématiqueoriginedestravauxdeGeorgeBernardDant-zig sur la programmation linéaire à la ?n des années 1940 Le chapitre 4 en présente les résultats principaux
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Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe Soit le programme linéaire : max????=2????1+????2 Sous les contraintes x 1 0 x 2 0 et {????1?????2?3 ????1+22?6 ?????1+2????2?2 1-Rajouter les variables d’écart (positives ou nulles)
Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?
L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.
Qui a inventé le simplexe ?
Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.
Qu'est-ce que la méthode du simplexe?
1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.
Quels sont les sommets de la programmation linéaire ?
On a le graphique de trois régions colorées correspondant aux contraintes. La région de chevauchement est le quadrilatère marron avec un sommet à l’origine. Il s’agit de l’ensemble réalisable pour ce problème de programmation linéaire. D’après le graphique donné, on peut dire que les sommets sont ( 0, 0), ( 0, 4), ( 2, 3), ( 3, 0).
Méthode du simplexe
Introduction, définitions et notations préliminaires, théorèmesfondamentaux, algorithme (primal) du simplexe, déterminationde toutes les solutions optimales et des solutions réalisables"proches" de l'optimum, interpréta
tion géométrique de la méthode du simplexe, solution de base réa lisable initiale, convergence etimplantation de l'algorithme du simplexe, méthode révisée dusimplexe (relation entre deux bases successives, forme réviséede l'algorithme du simplexe), propriétés des multiplicateurs dusimplexe, variante du simplexe
pour problème avec variables bornées.Introduction
Si un problème de programmation linéaire admet au moins unesolution réalisable optimale finie, il existe au moins une solutionréalisable optimale de base.Puisque le nombre de solutions réal
isables de base est fini, comme le nombre de bases elles-mêmes, et que l'on sait calculer ces solutions, le problème est entièrement réso lu du point de vue théorique.En pratique, la méthode qui consisterait à
résoudre tous les systèm
es donnant une solution de base est e xclure car elle conduit à u n volume considérable de calculs.Le nombre total de bases pour un système à méquations et n
inconnues croît rapidement. Si toutes les sous-matrices d'ordre métaient régulières, ce nombre
serait égal à n mExemple :
Un problème comportant 10 équations et 20 inconnues, le calcul detoutes les solutions de base pourra
it ainsi exiger la résolution d'env.250,000 systèmes de dix équations à
d ix inconnues.Plusieurs de ces calculs seraient ef
fectués inutilement car, certains systèmes d'ordre m n'ont aucune solution , et les solutions comportant des valeurs négatives des variables sont à r ejeter.La considération des seules solution
s de base ne permet pas de mettre en évidence l'existence d'une solution optimale infinie.Introduction à
l a méthode du simplexeLa méthode du simplexe est un
e procédure itérative permettantd'effectuer une exploration dirigée de l'ensemble des solutionsréalisables de base.L'application de la méthode nécessi
te la connaissance d'une solution réalisable de base, au départ.La méthode consiste à calcule r à c haque itération un programme (une solution réalisable) "voisin» de celui qui vient d'être calculé e t "au moins aussi bon» que celui-ci.On peut aussi s'assurer, moyennant certaines précautions, que lamême base ne puisse jamais apparaît
re dans deux itérations distinctes, ce qui suffit à a ssurer la convergence du procédé.Intérêt de la méthode du simplexe
Converger vers une solution
de base réalisable optimale si elle existe, vérifier la compatibilité des équations ou la redondance du système savoir si le problème est possible ou non et, dans l'affirmative, trouver une solution réalisable de base initiale mettre en évidence l'absence de so lution réalisable optimale finie.Définitions et notations préliminaires
Considérons un problème de programmation linéaire sous sa forme standard: Min z = c t x sujet à A x b x 0 où x, c n , b m , A est une matrice de dimension m x n (m n) de rang m.Lorsque nous considérerons une base
B de ce système, les m vecteurs
colonnes de A constituant une telle base conserveront l'indice decolonne qu'ils avaient originellement dans A, quel que soit l'ordredans lequel ils sont placés pour constituer B.L'ensemble de ces indices rangés dans l'ordre des colonnes de B seradésigné
p ar I = {j 1 , j 2 , ..., j mL'indice courant de I sera désigné
par s, d'où B = a j 1 , a j 2 , ..., a j m ) = (a s ), s I, IN, N = {1, 2, ..., n}.
Les (n -
m ) autres colonnes de A seront désignées par : a j , jJ = N \
I Les m variables de base, associées aux colonnes "de base» a s constituent un vecteur colonne à m composantes x B = (x s ), s I.Les "coûts»
associés constituent un vecteur colonne à m composant e s c B = (c s ), s I.Les variables restantes, ou variable
s hors base, constituent un vecteur colonne à n - m ) composantes, x R = (x j ), jJ; les coûts associés
constituent le vecteur colonne c R = (c j ), j J.Le système peut alors s'écrire,
après réarrangement des colonnes deA et des lignes de x :
Min z = c t B x B + c t R x RSujet à
B x B + Rx R = b x B 0 x R 0.Étant donné
que B -1 existe, on peut exprimer x B en fonction de x R et substituer dans la fonction objective pour obtenir la forme canoniqueassociée à l a base B équivalente au problème initial : Min z c t B (B -1 b - B -1 R x R ) + c t R x R = c t B B -1 b + [c R B -1 R) t c B t x RSujet à
B -1 Ax = A x= x B + B -1 R x R B -1 b = b x B 0, x R 0.La solution de base associée à
B , obtenue en posant x R = 0 peut êtreécrite sous la forme
x B =B -1 b = bLa valeur de la forme linéaire z,
pour la solution de base considérée, est: z = c t B B -1 b. L'ensemble des indices de lignes du système est l'ensemble I desindices de lignes de B -1 (ou des indices de colonne de B), et non plus l'ensemble M = {1, 2, ..., m}. Le vecteur [c R B -1 R) t c B ] est le vecteur des coûts relatifs desvariables hors base lorsque B est la base. Nous pouvons décrire le système de manière explicite :
B -1 R= Y y j j J= y sj ), s I, j J B -1 b= b b s s I.On obtient ainsi:
a j =B y j y sj a s ,j J s ILes composantes de y
j sont les coefficients exprimant linéairement a j , jJ en fonction des vecteurs de la base.
Le système s'écrit alors:
Min z c t B b (c j -c t B y j ) x j j J sujet à x B x j y j = b ou x s y sj x j = b s , s I. j Jj J x s 0, s I x j 0, j J.Théorèmes fondamentaux
Étant donné
une solution de base ré alisable associée à u ne base B, si, pour un kJ, on a c
k -c t B y k < 0 et y k0, il est possible de
constituer une classe de solutions réalisables dans lesquelles (m + 1) variables peuvent être strictem ent positives, la variable x k peut prendre n'importe quelle valeur non négative , et, par suite, z peut être aussi petit que l'on veut en valeur algébrique.Il n'y a donc pas de solution optimale finie.Preuve :
Puisque y
k0, et partant de la solution réalisable de base x
B = B -1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] exercices recherche operationnelle
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