Exercices de mathématiques - Exo7
1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ∀ε > 0 ∃
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
— Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –. Soit f une fonction
CC2 – Corrigé
Cette fonction est donc uniformément continue mais pas lipschitzienne. Exercice 1. 1.a. Pour tout (x y) ∈ U = R2 {(0
Feuille de TD 4
Solution de l'exercice 1. a) L'application (t x) → tx est globalement Lipschitzienne en x avec une constante de Lipschitz uniforme pour t ∈
PCSI1 TD 15 - Dérivabilité CORRIGÉ PARTIEL 2019-2020 1
Montrer que la somme de deux fonctions lipschitziennes est encore une fonction lipschitzienne. On reprend l'idée de l'exercice précédent : si f s'annule n + ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc On a xn ∈ Q et xn →n+∞ x. Exercice 3 Soit α > 0
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 Exercice 1. 1. Soient (Ed) et (F
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Corrigés des exercices. Soit j : (S(2){p}d3) → (S(2)
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Analyse – Math31
17 déc. 2014 Exercice 1. Soit f une fonction de variable ... Corrigé 1. ... d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ? > 0.
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Corrigé de devoir non surveillé
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4 nov. 2013 L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme ... Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
Limites et continuité des fonctions
Exercice 13 : [corrigé]. Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Une fonction est k-lipschitzienne si elle vérifie :.
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Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient fg: Rx R? R deux fonctions telles que.
Exercices de mathématiques - Exo7
Applications uniformément continues. Exercice 6. 1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens :.
TD5 – EDO - existence unicité et variables séparables
Si y = 0 la fonction f est de classe C1 et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existe d'une unique solution locale. Exercice 3. Résoudre le problème de
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
MPSI 1
Exercice 4 Soient I un intervalle borné et f une fonction uniformément continue Exercice 10 f et g sont lipschitziennes bornées démontrer que f g est ...
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(d) Montrer qu'un fonction de Lipschitz sur I est uniformément continue sur I (e) Soit f(x)=1/(1 + x) Montrer que f est 1-lipschitzienne sur J puis sur R
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Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ?? > 0 ?C? ; ?xy ? [01] f(x)? f(y) ? C?x?y+? 2
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La fonction est donc non seulement ?-continue en (A B) mais aussi lipschitzienne sur P(X) Exercice 8 10 Soit (X d) un espace métrique compact et C0(X; Rk)
Fonctions lipschitziennes - LesMath
8 déc 2021 · Exercice: Soient a?R a ? R avec 0
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(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc uniformément continue sur [a b]) 3 L`a le probl`eme se pose `a l'infini On va
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Exercice 1 Soient a réel b dans R et f une fonction réelle définie et Exercice 13 Retrouver l'énoncé1(mais voir l'indication) dont le corrigé suit
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Puis des exercices d'analyse de fonctions — Enfin des sujets de topologie 1 3 1 Autour des normes Lipschitzienne et sa dérivée – Soit f une fonction
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.C'est quoi une fonction lipschitzienne ?
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Re : Confirmation démonstration continuité d'une fonction lipschitzienne. il existe k tel que pour tous (x,y) dans I on a lf(y)-f(x)l klx-yl. donc comme cette inégalité est vraie pour tous (x,y), elle est vraie lorsque y tend vers x. f est donc continue en x.
Analyse - Math31
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Exercice 1.Soitfune fonction de variable réelle, continue sur un intervalleIdeR. (a) Donner la définition defuniformément continue surI. (b) Donner la définition de recouvrement deIpar intervalles ouverts, puis énoncer le théo- rème de Borel-Lebesgue lorsqueIest compact. (c) Montrer quefest uniformément continue surIsiIest compact. Soitgune fonction réelle, définie sur un intervalleIdeR. On dit quegest unefonction de LipschitzsurIs"il existe une constantektelle que, pour toutx;y2I, on ait : jg(x)g(y)j kjxyj: On dit aussi quegestk-lipschitzienne. On note dans la suiteJ= [0;+1[. (d) Montrer qu"un fonction de Lipschitz surIest uniformément continue surI. (e) Soitf(x) = 1=(1 +jxj). Montrer quefest1-lipschitzienne surJpuis surR. (f) Soitf(x) =x2définie surJ. Montrer quefn"est pas uniformément continue. (g) Montrer quef(x) =pxest uniformément continue mais pas de Lipschitz surJ. Corrigé 1.Les trois premières questions sont relatives au cours. a) La fonctionfest uniformément continue si, pour tout" >0, il existe >0tel que, si x;y2Ietjxyj< , alorsjf(x)f(y)j< ". b) Un recouvrement par intervalles ouverts(Aiji2I)indexé par un ensembleIest caractérisé par : - toutAiest l"intersection deIavec un intervalle ouvert deR; - la réunion desAiestI. Le théorème de Borel-Lebesgue a?rme que, siIest compact, alors de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous recouvrement fini. c) Soitfcontinue sur un intervalle compactI, et fixons" >0. Pour toutx2Iil existex tel que, sijxyj< xalorsjf(x)f(y)j< "=2. Soit alors : x=I\]xx=2;x+x=2[: Bien sûr(Axjx2I)est un recouvrement ouvert deI. Donc d"après Borel-Lebesgue on peut en extraire un recouvrement fini(Ax1;:::;Axn). Notonsi=xiet posons : = mini=1;:::;n Soit alorsx;y2Itels quejxyj . Comme lesAxicouvrentI, on ax2Axipour un certaini, doncjxxij< i=2. Ainsijyxij jyxj+jxxij< +i=2i.On en déduit :
jf(x)f(y)j jf(x)f(xi)j+jf(xi)f(y)j< "=2 +"=2 =": d) Soitgune fonctionk-lipschitzienne sur l"intervalleIet fixons" >0. Posons="=k. Alorspourtoutx;y2I,l"inégalitéjxyj< impliquejf(x)f(y)j kjxyj< k=". e) Soitx;y2J. Calculons la valeur absolue def(x)f(y): jf(x)f(y)j=jxyj(1 +x)(1 +y) jxyj: Ainsifest1-lipschitzienne surJ. Pour voir qu"elle l"est surR, on peut remarquer que f(x) =f(jxj). Donc pour toutx;y2Ron écrit : jf(x)f(y)j=jf(jxj)f(jyj)j jjxj jyjj jxyj; ce qui prouve quefest1-lipschitzienne surR. f) Pour contredire quefest uniformément continue, il faut montrer qu"il existe un" >0 tel que, quelque soit >0, on peut trouverx;y2Jtels que, malgréjxyj< , on ait jf(x)f(y)j> ". Fixons"= 1et fixons un réel quelconque >0. Pour n"importe quel y2J, nous prenonsx=y+=2, de sorte quejxyj=xy==2< . On a alors : jf(x)f(y)j=x2y2= (xy)(x+y) =2 (2y+=2) =y+24De cette façon, siy >1
, on trouvejf(x)f(y)j>1 =". g) Supposons quefsoitk-lipschitzienne et soitx > ydansJ. Alors : jf(x)f(y)j=jpxpyj=xypx+py k(xy) =kjxyj:Donc on trouve une contradiction si
1px+py
> k, ce qui arrive lorsquexetysont su?- samment proches de0. Ainsipxn"est pas lipschitzienne. Montrons quepxest bien uniformément continue surJ. Bien sûrfest uniformément continue surJ0= [0;2]en tant que fonction continue sur un compact. De plus, l"argument utilisé pour montrer quefn"est pas lipschitzienne surJpermet de voir quefest(1=2)-lipschitzienne (donc uniformément continue) surJ00= [1;+1[.En e?et, pourxydansJ, on a :
jf(x)f(y)j=jpxpyj=xypx+py (xy) =12 jxyj; puisquex1ety1. Bien sûr siyxon a la même inégalité. Pour montrer quefest uniformément continue surJ, une fois fixé" >0, on pourra prendre commele minimum entre1=2et les0et00donnés pas l"uniforme continuité defsurJ0etJ00. Ce faisant, sijxyj< , on aurax;y2J0(et dans ce casjxyj< 0) oux;y2J00(et dans ce casjxyj< 00). Dans les deux cas, on ajf(x)f(y)j< ". Exercice 2.Calculer le rayon de convergence des séries entières suivantes : n1n!(2n)!zn;X n1ln(n)zn; n1ln1 + sin1n
n;X n0tann7 zn:Corrigé 2.Pour la première :
lim n!1(n+ 1)!(2(n+ 1))!(2n)!n!= limn!1(n+ 1)(2n)!(2n+ 2)(2n+ 1)(2n)!= 0; doncR= +1.Pour la deuxième :
lim n!1ln(n+ 1)ln(n)= 1; ainsiR= 1. Pour la troisième, lorsquentend vers+1, on a l"équivalence : sin donc :1 + sin1n
1 +1nAinsi,R= 1.
quelque soitk2Z, ce qui fait que le général de notre série est toujours bien défini. Au fait :
tan 2V=0;tan7
;:::;tan137 Soitvle maximum des valeurs absolues des éléments deV. Par ailleurs on peut voir que v= tan(10=7). On a :tann7 znvjzjn; doncR1. De plus, sijzj>1:tan7n+ 177n+1= tan7
jzj7n+1; qui ne tend pas vers0lorsquentend vers1. AinsiR= 1. Exercice 3.Développer en série les fonctions suivantes autour de l"origine, en spécifiant l"ensemble de convergence du développement. Icizdésigne une variable complexe etxune variable réelle. On rappelle aussicos(z) = 1=2(eiz+eiz)etcosh(z) = 1=2(ez+ez).12z23z+ 1; ln(x25x+ 6); cos(z)cosh(z):
Corrigé 3.Pour12z23z+1. On écrit :
12z23z+ 1=212z11z:
On obtient :
12z23z+ 1= 21X
n=02 nzn1X n=0z n=1X n=0(2 n+11)zn: Le rayon de convergence de ce développement est1=2.Pourln(x25x+ 6). On écrit :
ln(x25x+ 6) = ln(x3) + ln(x2) = ln6 + lnx3 + lnx2En utilisantln(y1) =P1
n=1yn=nsurD(0;1), on arrive au développement : ln(x25x+ 6) = ln61X n=11n n+x2Finalement on peut écrire :
n=0a nxn; a0= ln6; an=2n+ 3nn6n;pourn1:Le rayon de convergence est2.
Pourcos(z)cosh(z). D"abord on sait quecoszetcoshzont des développement cos(z)cosh(z) =P1 n=0anznen série entière défini partout, donc cette fois on aura rayon de convergence infini. On écrit : cos(z)cosh(z) =14 eiz+eizez+ez=14 e(i+1)z+e(i1)z+e(i+1)z+e(i1)zBien sûr, on aew=P1
n=0wn=n!donc : n=14n!((1 +i)n+ (1i)n+ (1 +i)n+ (1i)n) =14n!(1 +i)n(1 + (i)n+in+ (1)n) =14n!(1 +i)n(1 + (1)n)(1 +in):
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] localement lipschitzienne par rapport ? la deuxième variable
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