[PDF] TD5 – EDO - existence unicité et variables séparables

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Polytech" Paris - UPMC Agral 3, 2016 - 2017

TD5 - EDO - existence, unicité et variables séparables Exercice 1.Pour chacun des problèmes de Cauchy suivants, justifier l"existence d"une unique solution locale et calculer la solution : a)y?(t) = 4 +y(t), y(0) = 1; b)y?(t) =y(t)83 , y(0) = 1;

Solution.

a) Il suffit de vérifier les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. La fonctiony?→

f(y) = 4 +yest de classeC1pour touty?Ret ainsi elle est localement lipschitzienne. Calculons l"unique solution du problème de Cauchy. Car4 +y(t)?= 0au voisinage de

0= 1, par séparation des variables l"on trouve :

?(t)4 +y(t)dt=Z 0dt, ln|4 +y(t)|=t+k, ouk?Rest une constante à determiner à l"aide de la condition initiale : ln|4 +y0|=t0+k?k= ln5 |4 +y(t)|= 5et Ce égalité donne deux solutions possibles pour le problème. Car la solutiony(t) =-5et-4

ne vérifie pas la condition initiale, la seule solution du problème de Cauchy est la fonction :

y(t) = 5et-4, définie pour toutt?R.

b) Il suffit de vérifier les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. La fonctiony?→

f(y) =y83 est de classeC1pour touty?= 0et ainsi elle est localement lipschitzienne au voisinage dey0= 1. Calculons l"unique solution du problème de Cauchy. Cary?= 0au voisinage dey0= 1, par séparation des variables l"on trouve : ?(t)y(t)83 dt=Z 0dt, y(t)-53 =t+k, ouk?Rest une constante à determiner à l"aide de la condition initiale : k=-35

On a :

y(t)-53 =-t+35 [y(t)-53 ]-35 = [-53 t+ 1]-35 Finalement la seule solution du problème de Cauchy est la fonction : y(t) = [-53 t+ 1]-35 =15

È(-53

t+ 1)3, avect >35 . Observer que la fonction elle même existe pour toutt?=35 mais elle est solution du problème uniquement dans l"intervalle{t?Rt.q.t >35 }(intervalle contenant la condition initialet0).

Exercice 2.Montrer que le problème de Cauchy :

?(t) = 3y(t)23 , y(0) = 0

admet une infinité de solutions. Pourquoi il n"y a pas unicité de la solution? Et si l"on choisit

une condition initialey0?= 0? Solution. Une solution triviale est la fonctiony(t) = 0. En supposanty(t)?= 0, on intègre l"EDO :13

0y?(t)y(t)-23

dt=Z 0dt, y(t) =t3 Cette fonction est aussi solution du problème de Cauchy. A partir dey(t) =t3on peut construire une infinité de solutions du problème de Cauchy. Pour touta,b?Rtels quea <0< bla fonction : y(t) =8 :(t-a)3t < a (t-b)3t > b est solution du problème de Cauchy. Pourquoi il n"y a pas unicité de la solution? Parce que la fonctiony?→f(y) =y-23 n"est pas lipschitzienne au voisinage dey= 0. Sa dérivéey?→f?(y) = ⎷y

tend vers∞lorsquey→0. Ainsi on ne peut pas évoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Siy?= 0la fonctionfest de classeC1et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existe d"une unique solution locale.

Exercice 3.Résoudre le problème de Cauchy :

?(t) = 3y(t), y(t0) =y0 avect0,y0?R. Solution. Clairement la fonctiony→f(y) = 3yest de classeC1dansR. Ceci implique que elle

est localement lipschitzienne et à l"aide du théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une unique

solution locale du problème de Cauchy pour toute condition initiale. Siy0= 0la solution triviale est la fonctiony(t) = 0. Siy0?= 0, on intégre par séparation des variables et on trouve : ?(t)y(t)dt=Z 0dt, ln|y(t)|= ln|y0|+t-t0.

L"unique solution définie pour toutt?Rest :

y(t) =y0et-t0

Exercice 4.Résoudre le problème de Cauchy :

?(t) =e-y(t)cost avec condition initiale : a)y(0) = 0 b)y(2π) = 0 c)y(0) = 2π Solution. La fonction(t,y)→f(t,y) =e-ycostest continue et de classeC1par rapport à ypour toutyparce que composition de fonctionsC1. Ceci implique que elle est localement

lipschitzienne et à l"aide du théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une unique solution locale

du problème de Cauchy pour toute condition initiale. On intégre par séparation des variables et on trouve :

0y?(t)ey(t)dt=Z

0dt, y(t)= sint+k. Les solutions de l"EDO ( il y en a une infinité) sont de la forme : y(t) = ln(sint+k), avec la condition de compatibilitésint+k >0. a) Si l"on imposey(0) = 0alors : y(t) = ln(sint+ 1), avect?=-π2 ett?=3π2 b) Si l"on imposey(2π) = 0alors : y(t) = ln(sint+ 1), avect?=3π2 ett?=7π2 c) Si l"on imposey(2π) = 0alors : y(t) = ln(sint+e2π), avect?R.

Exercice 5.Résoudre le problème de Cauchy :

?(t) =È|y(t)|, y(t0) =y0 avect0,y0?R. Solution. Siy0?= 0la fonctionf=È|y(t)|est de classeC1au voisinage dey0et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existe d"une unique solution locale. Cette solution se calcule par séparation des variables. On intègre l"équation différentielle : ?(t)È|y(t)|dt=Z 0dt . Siy0>0on trouve :

2Èy(t)-2⎷y

0=t-t0.

Donc l"unique solution du problème de Cauchy est donnée par : y(t) =14 (t-t0+ 2⎷y 0)2.

Noter quey(t)est définie pourt > t0-2⎷y

0. Siy0<0on trouve :

-2È-y(t)-2⎷-y0=t-t0. Donc l"unique solution du problème de Cauchy est donnée par : y(t) =-14 (t-t0-2⎷-y0)2. Noter quey(t)est définie pourt < t0+ 2⎷-y0.

La fonctiony?→f(y) =È|y(t)|n"est pas lipschitzienne au voisinage dey= 0. Sa dérivée tend

vers∞lorsquey→0. Ainsi on ne peut pas évoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz. En fait

siy= 0il y a une infinité de solutions. Par exemple la fonction constantey(t) = 0est solution du problème de Cauchy. Pour touta,b?R,a <0< bla fonction : y(t) =8 (t+a)2t < a (t-b)2t > b est solution du problème de Cauchy.

Exercice 6.Résoudre le problème de Cauchy :

?(t) =54 y(t)15 , y(0) = 0

Solution. La fonctiony?→f(y) =54

y(t)15 n"est pas lipschitzienne au voisinage dey= 0. Saquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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