Analyse – Math31
d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ε > 0. Exercice 5. Soit a b ∈ R et f intégrable au sens de Riemann sur [a
Exercices de mathématiques - Exo7
1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ∀ε > 0 ∃
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
— Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –. Soit f une fonction
CC2 – Corrigé
Cette fonction est donc uniformément continue mais pas lipschitzienne. Exercice 1. 1.a. Pour tout (x y) ∈ U = R2 {(0
Feuille de TD 4
Solution de l'exercice 1. a) L'application (t x) → tx est globalement Lipschitzienne en x avec une constante de Lipschitz uniforme pour t ∈
PCSI1 TD 15 - Dérivabilité CORRIGÉ PARTIEL 2019-2020 1
Montrer que la somme de deux fonctions lipschitziennes est encore une fonction lipschitzienne. On reprend l'idée de l'exercice précédent : si f s'annule n + ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc On a xn ∈ Q et xn →n+∞ x. Exercice 3 Soit α > 0
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 Exercice 1. 1. Soient (Ed) et (F
5 Exercices du Chapitre 5
Corrigés des exercices. Soit j : (S(2){p}d3) → (S(2)
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient f g: Rx R→ R deux fonctions telles que.
Analyse – Math31
17 déc. 2014 Exercice 1. Soit f une fonction de variable ... Corrigé 1. ... d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ? > 0.
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –.
Corrigé de devoir non surveillé
Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A.1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide.
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme ... Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
Limites et continuité des fonctions
Exercice 13 : [corrigé]. Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Une fonction est k-lipschitzienne si elle vérifie :.
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient fg: Rx R? R deux fonctions telles que.
Exercices de mathématiques - Exo7
Applications uniformément continues. Exercice 6. 1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens :.
TD5 – EDO - existence unicité et variables séparables
Si y = 0 la fonction f est de classe C1 et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existe d'une unique solution locale. Exercice 3. Résoudre le problème de
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
MPSI 1
Exercice 4 Soient I un intervalle borné et f une fonction uniformément continue Exercice 10 f et g sont lipschitziennes bornées démontrer que f g est ...
[PDF] Analyse – Math31
(d) Montrer qu'un fonction de Lipschitz sur I est uniformément continue sur I (e) Soit f(x)=1/(1 + x) Montrer que f est 1-lipschitzienne sur J puis sur R
[PDF] Continuité - Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ?? > 0 ?C? ; ?xy ? [01] f(x)? f(y) ? C?x?y+? 2
[PDF] 5 Exercices du Chapitre 5
La fonction est donc non seulement ?-continue en (A B) mais aussi lipschitzienne sur P(X) Exercice 8 10 Soit (X d) un espace métrique compact et C0(X; Rk)
Fonctions lipschitziennes - LesMath
8 déc 2021 · Exercice: Soient a?R a ? R avec 0
[PDF] Corrigé de devoir non surveillé - Booleanopera
Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A 1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide
[PDF] Partiel (2h) - énoncé + corrigé - Université Lyon 1
4 nov 2013 · L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
[PDF] Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc uniformément continue sur [a b]) 3 L`a le probl`eme se pose `a l'infini On va
[PDF] [PDF] MPSI 1 - Tourbillon
Exercice 1 Soient a réel b dans R et f une fonction réelle définie et Exercice 13 Retrouver l'énoncé1(mais voir l'indication) dont le corrigé suit
[PDF] khollespdf - Tyrex
Puis des exercices d'analyse de fonctions — Enfin des sujets de topologie 1 3 1 Autour des normes Lipschitzienne et sa dérivée – Soit f une fonction
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.C'est quoi une fonction lipschitzienne ?
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Re : Confirmation démonstration continuité d'une fonction lipschitzienne. il existe k tel que pour tous (x,y) dans I on a lf(y)-f(x)l klx-yl. donc comme cette inégalité est vraie pour tous (x,y), elle est vraie lorsque y tend vers x. f est donc continue en x.
MPSI 1
Mathématiques
Colle no12
Semaine no14
Succès! Révision des limites de fonctions et prolongation de la colle 11. -Fonctions continues : définitions équivalentes : séquentielles ou pas. -Opérations sur les fonctions continues. Preuves. -Prolongement par continuité. decon a encore :f(x)Çg(x) (théorèmes d""inertie» et de "préservation des inégalités»). -Théorème des valeurs intermédiaires (Bolzano). -Image d"un intervalle par une application continue (Bolzano). Et : trass et Bolzano). -Théorème de bijection bicontinue. Soitfcontinue et strictement monotone sur I. Alors l"application réciproquef¡1, définie sur l"intervallef(I) est conti- nue (et strictement monotone). -Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue (Heine). Exemple des fonctions lipschitziennes. Enfin, en quelle couleur écrire cela?Si les démonstrationscomplètesdes théo- rèmes ne sont pas exigibles, il est fortement recommandé de connaître les étapes de ces démonstrations.Exemples de sujets
Énoncés.(Indications,Solutions)
Exercice 1Soientaréel,bdansRetfune fonction réelle définie et continue sur [a,b[ dont la limite enbest finie. Démontrer quefest bornée. Exercice 2Soientfetgcontinues sur [a,b], telles que :8x2[a,b]:f(x)Èg(x)È0. Montrer qu"il existekÈ1 tel que :8x2[a,b]:fÈkg. Exercice 3Soitfcontinue sur [a,b], montrer que : sup]a,b[fAEsup[a,b]f. Exercice 4Soient I un intervalle borné etfune fonction uniformément continue sur I. Montrer quef(I) est borné. Exercice 5t7!sin(t2) n"est pas uniformément continue surR. Exercice 6Soitf:R!Runiformément continue. Montrer qu"il existe des réelsaet btels que :jf(x)j·ajxjÅb. Exercice 7Lafonctionfestcontinuesurlesegmentréel[a,b],quediredef([a,b])? Exercice 8fest continue et périodique surR, montrer quefest bornée. Exercice 9Soientaréeletfunefonctionréelledéfinieetcontinuesur[a,Å1[dont la limite enÅ1est finie. Démontrer quefest bornée. Exercice 10fetgsont lipschitziennes bornées, démontrer quef gest lipschit- zienne. Exercice 11Démontrer quex7!pxest uniformément continue mais pas lipschit- zienne surRÅ.Exercice 12
est bornée sur cet intervalle et qu"elle admet une limite finie en 1. Exercice 13Retrouver l"énoncé1(mais voir l"indication) dont le corrigé suit. Exercice 14Démontrerquef:x7!3pxestuniformémentcontinuesurR(maisnon lipschitzienne). Exercice 15Sifetgsontcomposablesetuniformémentcontinuesalorsg±faussi. Exercice 16x7!ln(x) etx7!sin(x) sont-elles uniformément continues sur leur en- semble de définition?Indications.(Énoncés,Solutions)
Exercice 1Généraliser un théorème de Weierstrass : en un certain sens la fonction fse prolonge par continuité sur l"intervalle [a,b] deR. Exercice 2Un théorème de Weierstrass, par exemple. Exercice 3Il y a du travail si et seulement si la borne est atteinte en une extrémité.C"est encore un théorème de Weierstrass.
Exercice 4Utiliser une subdivision (régulière) de [a,b],aetbétant les extrémités de I.Exercice 5Démontrer la contraposée.
Exercice 6Utiliser une subdivision régulière infinie deRen intervalles sur lesquels l"oscillation defest inférieure à 1.1. perdu!
Exercice 7Cours.
Exercice 8Se ramener à une fonction définie sur un segment. Exercice 9Généralisation du théorème sur un segment. Exercice 10f(x)g(x)¡f(x0)g(x0)AEf(x)g(x)¡f(x0)g(x)Åf(x0)g(x)¡f(x0)g(x0) Exercice 11Découper [0,Å1[ en deux. Les taux d"accroissement ne sont pas bor- nés. Exercice 12Prendre une subdivision régulière de [0,1[ sur laquelle l"oscillation de fest inférieure à 1. Ensuite, puisquefest bornée, F est bien définie sur [0,1[ parF(x)AEsup[x,1[et F est décroissante.
Exercice 13Une idée d"Alain :x7!xb1
xc.Exercice 14Utiliser le théorème de Heine.
Exercice 15
Exercice 16
Solutions.(Énoncés,Indications)
Exercice 1SupposonsbAEÅ1,lesautrescassontsemblables(prendreunvoisinage deb). Par hypothèse, il existe`réel tel que, pour"AE1, il existe un réel A (A¸a) pour lequel :8x¸A,)jf(x)¡`j·1
Sur l"intervalle fermé et borné [a,A], la fonction continuefadmet un maximum M.Donc :
8x¸a,jf(x)j·max(M,j`jÅ1)
Exercice 2La fonctionf
gest continue sur l"intervalle fermé et borné [a,b], elle a donc un minimumk, qui est nécessairement supérieur ou égal à 1.Autre :f
g¡1 est définie, continue et strictement positive sur [a,b]. Elle admet un minimummÈ0 :f g¡1·mÈ0. DonckAEmÅ1. Exercice 3Il est clair que sup]a,b[f·sup[a,b]f.fa un maximumf(c) sur [a,b]. Si c2]a,b[ alorsf(c)AEsup]a,b[f. SicAEa, par continuité def, pour tout"È0 il existe´È0 tel que siaÅ´¸xalorsf(c)¡"·f(x)·f(c). C"est-à-dire quef(c) est la borne
supérieure defsur ]a,aÅ´], donc sur ]a,b[. Autre :f(®)AEsup]a,b[fetf(¯)AEsup[a,b]f. Il est clair quef(¯)¸f(®). Soituune suite de ]a,b[ qui tend vers¯alors,pour toutn:f(un)·f(®). Enpassantà la limite : f(¯)·f(®). Exercice 4Ilexisteunréeldtelquesijx¡x0j·dalorsjf(x)¡f(x0)j·1.Soit(xk)une subdivision régulière de I en N¡1 intervalles de longueurd(au plus) de sorte que x0etxNsoient les extrémités de I. Alors toutxde I est dans un intervalle [xj,xjÅ1] : jx¡xjj·d)jf(x)j·jf(xj)jÅ1 d"autre part, pour toutj:jf(xjÅ1)j·jf(xj)jÅ1, donc pour toutj jf(xj)j·jf(x0)jÅj Par suite, pour toutxde I :jf(x)j·jf(x0)jÅN. aetbles extrémités de I. On suppose que :a·b. Soitnun entier tel que : 0·b¡a n· ´. Soitcdans I, alors pour toutxdans I :xAEcÅnx¡c noùjx¡cj n·´. alors f(x)AEf(c)ÅX0·k·n¡1
cÅ(kÅ1)x¡c ¡f cÅkx¡cD"après l"inégalité triangulaire :
jf(x)j·jf(c)jÅn Exercice 5Négation de la continuité uniforme surR: il existe"È0, pour tout´, il existexetttels quejx¡tj·´etjsin(x2)¡sin(t2)j¸".Nous avons
sin(x2)¡sin(t2)AE2sinµx2¡t2
cosµx2Åt2
Posons
x2Åt2AE2k¼ x2¡t2AE2h¼Å1 x¡tAE´ aveckethentiers (2¼(k¡h)¸1), alorsxÅtAE2h¼Å1´, d"où des valeurs pourxett. La
négation est vérifiée avec"AE1.Variante : choisissonsn,xn¡tnAE´,xnAE
6Å2n¼ettnAE
q¼6Å2n¼avecn
assez grand : sinx2nAE¡12, sint2nAE1
donc : sint2n¡sinx2nAE1 tn¡xnAE3q¼
6Å2n¼Å
6Å2n¼
¡!n!Å10
Il suffit de prendrenassez grand pour que 0·tn¡xn·´. Exercice 6Choisissons"AE1, il correspont un´È0. Soit :nAE jjxj . SixÈ0 alors jx¡nj·´et : f(x)AEf(x)¡f(n)Åf(0)ÅX0·k·n¡1
f((kÅ1)´)¡f(k´) d"où : jf(x)j·jf(x)¡f(n)jÅjf(0)jÅnFinalement :
jf(x)j·1Åjf(0)jÅjxjSixÇ0, le calcul est le même avec¡nAE
ljxj Exercice 7C"est un intervalle fermé et borné, donc de la forme [f(®),f(¯)]. Exercice 8Soit T la période defet MAEmaxx2[0,T]jf(x)j. Pour toutxdansRil existe un (unique) réeltdans [0,T] tel quef(x)AEf(t), donc pour toutxréel :jf(x)j·M. Exercice 9Pardéfinition,avec"AE1,ilexiste`etbtelsquex¸bimpliquejf(x)¡`j·1. Doncfest bornée parj`jÅ1 sur [b,Å1[. De plus,fest continue sur l"intervalle
fermé et borné [a,b], elle est bornée sur cet intervalle. Finalementfest bornée. Exercice 10Soientkle plus grand coefficient de Lipschitz et M un majorant com- mun defetg: Exercice 11SoitaÈ0, la fonction est continue donc uniformément continue sur l"intervalle fermé et borné [0,a]. Sur [a¡´,Å1[ : jpx0¡pxjAE x0¡xpx0Åpx2pa¡´
Il suffit que´
2pa¡´AE", pour montrer l"uniforme continuité.
Si 0·x·x0, alors 0·px0¡px·px0¡x. Nous prendrons´AE"2. Si la fonction étaitk-lipschitzienne, nous aurions pour tousxetx0réels positifs : d"où une contradiction. Exercice 12Soit¾AE(xk)0·k·ntelle que pour toutxdans [0,1[, il existektel que jf(x)¡f(xk)j·1. L"existence de¾est assurée par l"uniforme continuité. AinsiDoncfest bornée.
F est décroissante car [x,1[ décroît lorsquexcroît,fétant bornée, F(x) est réel doncfest bien définie, et F est minorée par inf[0,1[f. D"après le théorème de limite monotone, lim1F existe et est un réel`. D"après l"uniforme continuité, pour tout"È0, il existe´1È0 tel quejx¡yj·´1 impliquejf(x)¡f(y)j·". Par définition de la limite de la fonction décroissante F en1, il existe´2È0 tel quejx¡1j·´2implique
`·F(x)·`Å" Par définition de F, il existezdans [x,1[ tel que Soit´AEmin(´1,´2), pour toutytel que 1¡y·´, nous avonsDonc lim1fAE`.
Exercice 131.SixÈ0, par exemple,f(x)AE0. De même, sixÇ ¡1,¡1Ç1 xÇ0 nÅ1,1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] localement lipschitzienne par rapport ? la deuxième variable
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