Analyse – Math31
d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ε > 0. Exercice 5. Soit a b ∈ R et f intégrable au sens de Riemann sur [a
Exercices de mathématiques - Exo7
1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ∀ε > 0 ∃
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
— Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –. Soit f une fonction
CC2 – Corrigé
Cette fonction est donc uniformément continue mais pas lipschitzienne. Exercice 1. 1.a. Pour tout (x y) ∈ U = R2 {(0
Feuille de TD 4
Solution de l'exercice 1. a) L'application (t x) → tx est globalement Lipschitzienne en x avec une constante de Lipschitz uniforme pour t ∈
PCSI1 TD 15 - Dérivabilité CORRIGÉ PARTIEL 2019-2020 1
Montrer que la somme de deux fonctions lipschitziennes est encore une fonction lipschitzienne. On reprend l'idée de l'exercice précédent : si f s'annule n + ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc On a xn ∈ Q et xn →n+∞ x. Exercice 3 Soit α > 0
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 Exercice 1. 1. Soient (Ed) et (F
5 Exercices du Chapitre 5
Corrigés des exercices. Soit j : (S(2){p}d3) → (S(2)
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient f g: Rx R→ R deux fonctions telles que.
Analyse – Math31
17 déc. 2014 Exercice 1. Soit f une fonction de variable ... Corrigé 1. ... d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ? > 0.
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –.
Corrigé de devoir non surveillé
Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A.1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide.
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme ... Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
Limites et continuité des fonctions
Exercice 13 : [corrigé]. Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Une fonction est k-lipschitzienne si elle vérifie :.
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient fg: Rx R? R deux fonctions telles que.
Exercices de mathématiques - Exo7
Applications uniformément continues. Exercice 6. 1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens :.
TD5 – EDO - existence unicité et variables séparables
Si y = 0 la fonction f est de classe C1 et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existe d'une unique solution locale. Exercice 3. Résoudre le problème de
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
MPSI 1
Exercice 4 Soient I un intervalle borné et f une fonction uniformément continue Exercice 10 f et g sont lipschitziennes bornées démontrer que f g est ...
[PDF] Analyse – Math31
(d) Montrer qu'un fonction de Lipschitz sur I est uniformément continue sur I (e) Soit f(x)=1/(1 + x) Montrer que f est 1-lipschitzienne sur J puis sur R
[PDF] Continuité - Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ?? > 0 ?C? ; ?xy ? [01] f(x)? f(y) ? C?x?y+? 2
[PDF] 5 Exercices du Chapitre 5
La fonction est donc non seulement ?-continue en (A B) mais aussi lipschitzienne sur P(X) Exercice 8 10 Soit (X d) un espace métrique compact et C0(X; Rk)
Fonctions lipschitziennes - LesMath
8 déc 2021 · Exercice: Soient a?R a ? R avec 0
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Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A 1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide
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4 nov 2013 · L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
[PDF] Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc uniformément continue sur [a b]) 3 L`a le probl`eme se pose `a l'infini On va
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Exercice 1 Soient a réel b dans R et f une fonction réelle définie et Exercice 13 Retrouver l'énoncé1(mais voir l'indication) dont le corrigé suit
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Puis des exercices d'analyse de fonctions — Enfin des sujets de topologie 1 3 1 Autour des normes Lipschitzienne et sa dérivée – Soit f une fonction
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.C'est quoi une fonction lipschitzienne ?
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Re : Confirmation démonstration continuité d'une fonction lipschitzienne. il existe k tel que pour tous (x,y) dans I on a lf(y)-f(x)l klx-yl. donc comme cette inégalité est vraie pour tous (x,y), elle est vraie lorsque y tend vers x. f est donc continue en x.
CPP - 2013/2014 Fonctions réelles
J. Gillibert
Corrigé du TD n
o11Exercice 1 Soientfetgdeux fonctions continuesR→R. On suppose que : ?x?Q, f(x) =g(x)Montrer quef=g.
Réponse :Rappelons d"abord le résultat suivant :tout nombre réel est limite d"une suite de nombres rationnels, autrement dit l"adhérence deQest égale àR(on dit queQest dense dansR).Pour justifier rigoureusement ce résultat, soitαun nombre réel, alors la suite(un)définie par
n=?10nα?10est une suite de nombres rationnels (et même décimaux) qui converge versα. En effet, par définition de
la partie entière nous avons : d"où :ce qui n"est pas très étonnant :unest la valeur approchée par défaut à10-nprès deα. Le théorème des
gendarmes montre que(un)converge versα.Passons à la résolution de l"exercice proprement dit. Soitαun réel, et soit(un)une suite de nombres
rationnels qui converge versα. Alors, par continuité def, la suitef(un)converge versf(α). De même, par
continuité deg, la suiteg(un)converge versg(α). Maisunest un nombre rationnel, doncf(un) =g(un)
pour toutn. Par unicité de la limite d"une suite, on en déduit quef(α) =g(α).Exercice 2
1. Montrer que, pour tout couple(a,b)?R2,
max(a,b) =12 (a+b+|a-b|).Réponse :On distingue deux cas :
- ou biena≥b, dans ce casa-best positif ou nul, donc|a-b|=a-b. Par conséquent : (a+b+|a-b|) =12 (a+b+a-b) =a= max(a,b) - ou biena < b, dans ce casa-best strictement négatif, donc|a-b|=-a+b. Il en résulte que : (a+b+|a-b|) =12 (a+b-a+b) =b= max(a,b) Dans tous les cas la formule est bien vérifiée.2. Soientfetgdeux fonctions continuesD→R. Soitmax(f,g)la fonction définie par
max(f,g) :D-→R x?-→max(f(x),g(x))Montrer que cette fonction est continue surD.
Réponse :D"après la question précédente, nous avons : max(f,g) =12 (f+g+|f-g|). Or la fonctionf-gest continue (comme différence de deux fonctions continues) et la fonction valeur absolue est continue, donc la fonction|f-g|est continue (comme composée de fonctions continues). Finalement,f+g+|f-g|est la somme de trois fonctions continues, donc est continue, ce qui montre quemax(f,g)est continue.Exercice 3
1. Montrer que l"équationx5=x2+ 2a au moins une solution sur]0,2[.
Réponse :Soitf(x) =x5-x2-2, alors notre équation se réécritf(x) = 0. La fonctionfest continue surRetf(0) =-2,f(2) = 26. D"après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), comme0est compris entref(0)etf(2), il existe un réelαcompris entre0et2tel quef(α) = 0. Commef(0)etf(2)sont tous les deux non nuls, ce réelαappartient à l"intervalle ouvert]0,2[.2. Montrer que le polynômex3+ 2x-1a une unique racine qui appartient à l"intervalle]0,1[.
Réponse :Soitf(x) =x3+ 2x-1. La fonctionfest continue dérivable surR, et sa dérivée ?(x) = 3x2+ 2est strictement positive surR. Par conséquent,fest strictement croissante surR,donc d"après le théorème de la bijection elle réalise une bijection entre l"intervalle]0,1[et l"intervalle
]f(0),f(1)[=]-1,2[. Ainsi, pour toutr?]-1,2[, il existe un uniquec?]0,1[tel quef(c) =r, d"où le résultat en prenantr= 0.3. Montrer que l"équationx2(cosx)5+xsinx+ 1 = 0admet au moins une solution réelle.
Réponse :La fonctionf:x?→x2(cosx)5+xsinx+ 1est continue surR. De plus, on calcule quef(0) = 1et quef(π) = 1-π2. Comme1-π2est négatif, on en déduit d"après le TVI qu"il existe
un réelβcompris entre0etπtel quef(β) = 0.Exercice 4
Soientn?N?etα?]0,+∞[. Démontrer, en utilisant le théorème de la bijection, que le polynôme
P(X) =Xn-αadmet une unique racine dans]0,+∞[.Réponse :La fonctionP:x?→xn-αest continue dérivable sur]0,+∞[. Sa dérivéex?→nxn-1est
strictement positive sur]0,+∞[. Par conséquent,Pest strictement croissante, donc, d"après le théorème
de la bijection, elle réalise une bijection entre]0,+∞[et son image, qui est]-α,+∞[. En particulier, il
existe un unique réelc?]0,+∞[tel queP(c) = 0.Exercice 5
SoitP?R[X]un polynôme de degré impair. Montrer quePadmet une racine réelle.Réponse :Soitn= 2k+1le degré deP, alors le terme de plus haut degré dePest de la formeax2k+1
aveca?= 0. D"après le coursP(x)≂+∞ax2k+1
On en déduit que :
limx→+∞P(x) = limx→+∞ax2k+1=a×(+∞) Le même équivalent étant valable en-∞, il vient lim x→-∞P(x) = limx→-∞ax2k+1=a×(-∞)Ora×(+∞)eta×(-∞)sont deux infinis de signes contraires. La fonctionP:R→Rétant continue, le
théorème des valeurs intermédiaires prouve que l"image deRpar la fonctionPest l"intervalle]-∞,+∞[,
autrement dit la fonctionP:R→Rest surjective (attention : elle n"est pas injective en général). En
particulier,0admet au moins un antécédent parP, ce qu"on voulait.Exercice 6
Soitf: [0,+∞[→[0,+∞[une fonction continue, qui tend vers0quandx→+∞.1. On distingue deux cas : ou bienfest la fonction nulle, dans ce cas il n"y a rien à montrer, ou bien
fn"est pas toujours nulle, dans ce cas il existex0?[0,+∞[tel quef(x0)>0. D"autre part, on sait queftend vers0en+∞, donc en appliquant la définition de la limite avecε=f(x0)2 , on trouve qu"il existe un réelA >0tel que Commefest à valeurs dans[0,+∞[, cela se reformule en : (1)Doncfest bornée sur l"intervalle[A,+∞[. D"autre part, le théorème des bornes montre quefest
f([0,A]) = [m,M]. Il en résulte quefest majorée sur[0,+∞[parmax?M,f(x0)2
. Mais on constate quex0appartient à[0,A](sinon la propriété (1) serait contredite), doncM≥f(x0)>f(x0)2 . Il en résulte quefestmajorée parMsur[0,+∞[. Or, toujours d"après le théorème de bornes, il existet?[0,A]tel que
f(t) =M, doncfatteint sa borne supérieure.2. La fonctionfn"atteint pas forcément sa borne inférieure. Par exemple, la fonction
f: [0,+∞[-→[0,+∞[ x?-→1x+ 1 satisfait les hypothèses de l"énoncé, mais n"atteint pas sa borne inférieure (qui est0).Exercice 7
On considère la fonctionf: [0,+∞[→Rdéfinie par f(x) =x2+xx 2+ 1. a) Soitx?]0,1[, alors0< x2+x < x2+ 1d"où0< f(x)<1. Donc]0,1[est stable parf. Un raisonnement analogue montre que]1,+∞[est stable parf.b) D"après ce qui précède, étant donnéx0?]0,1[, la suite(xn)définie par la relation de récurrence
n+1=f(xn)est bien définie, et à valeurs dans]0,1[. c) Pour montrer que(xn)est croissante, il suffit de montrer que ?x?]0,1[, f(x)> xOr nous avons
f(x)x =x+ 1x 2+ 1 Sixappartient à]0,1[, alorsx2< xdonc0< x2+ 1< x+ 1. Il en résulte quef(x)x est strictementsupérieur à1, d"où le résultat. La suite(xn)est strictement croissante et majorée par1, elle converge
donc vers une certaine limite??]0,1]. Par continuité def, cette limite satisfaitf(?) =?, c"est-à-dire
est un point fixe def. Or l"équationf(?) =?s"écrit 2+??2+ 1=?
Comme??= 0, on peut diviser par?les deux membres de l"équation : ?+ 1?2+ 1= 1
c"est-à-dire : ?+ 1 =?2+ 1 d"où?2-?= 0, équation dont les solutions sont0et1. Comme??= 0, on en déduit que?= 1.Exercice 8
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] localement lipschitzienne par rapport ? la deuxième variable
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