Analyse – Math31
d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ε > 0. Exercice 5. Soit a b ∈ R et f intégrable au sens de Riemann sur [a
Exercices de mathématiques - Exo7
1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ∀ε > 0 ∃
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
— Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –. Soit f une fonction
CC2 – Corrigé
Cette fonction est donc uniformément continue mais pas lipschitzienne. Exercice 1. 1.a. Pour tout (x y) ∈ U = R2 {(0
Feuille de TD 4
Solution de l'exercice 1. a) L'application (t x) → tx est globalement Lipschitzienne en x avec une constante de Lipschitz uniforme pour t ∈
PCSI1 TD 15 - Dérivabilité CORRIGÉ PARTIEL 2019-2020 1
Montrer que la somme de deux fonctions lipschitziennes est encore une fonction lipschitzienne. On reprend l'idée de l'exercice précédent : si f s'annule n + ...
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 Exercice 1. 1. Soient (Ed) et (F
5 Exercices du Chapitre 5
Corrigés des exercices. Soit j : (S(2){p}d3) → (S(2)
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient f g: Rx R→ R deux fonctions telles que.
Analyse – Math31
17 déc. 2014 Exercice 1. Soit f une fonction de variable ... Corrigé 1. ... d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ? > 0.
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –.
Corrigé de devoir non surveillé
Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A.1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide.
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme ... Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
Limites et continuité des fonctions
Exercice 13 : [corrigé]. Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Une fonction est k-lipschitzienne si elle vérifie :.
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient fg: Rx R? R deux fonctions telles que.
Exercices de mathématiques - Exo7
Applications uniformément continues. Exercice 6. 1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens :.
TD5 – EDO - existence unicité et variables séparables
Si y = 0 la fonction f est de classe C1 et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existe d'une unique solution locale. Exercice 3. Résoudre le problème de
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
MPSI 1
Exercice 4 Soient I un intervalle borné et f une fonction uniformément continue Exercice 10 f et g sont lipschitziennes bornées démontrer que f g est ...
[PDF] Analyse – Math31
(d) Montrer qu'un fonction de Lipschitz sur I est uniformément continue sur I (e) Soit f(x)=1/(1 + x) Montrer que f est 1-lipschitzienne sur J puis sur R
[PDF] Continuité - Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ?? > 0 ?C? ; ?xy ? [01] f(x)? f(y) ? C?x?y+? 2
[PDF] 5 Exercices du Chapitre 5
La fonction est donc non seulement ?-continue en (A B) mais aussi lipschitzienne sur P(X) Exercice 8 10 Soit (X d) un espace métrique compact et C0(X; Rk)
Fonctions lipschitziennes - LesMath
8 déc 2021 · Exercice: Soient a?R a ? R avec 0
[PDF] Corrigé de devoir non surveillé - Booleanopera
Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A 1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide
[PDF] Partiel (2h) - énoncé + corrigé - Université Lyon 1
4 nov 2013 · L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
[PDF] Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc uniformément continue sur [a b]) 3 L`a le probl`eme se pose `a l'infini On va
[PDF] [PDF] MPSI 1 - Tourbillon
Exercice 1 Soient a réel b dans R et f une fonction réelle définie et Exercice 13 Retrouver l'énoncé1(mais voir l'indication) dont le corrigé suit
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Puis des exercices d'analyse de fonctions — Enfin des sujets de topologie 1 3 1 Autour des normes Lipschitzienne et sa dérivée – Soit f une fonction
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.C'est quoi une fonction lipschitzienne ?
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Re : Confirmation démonstration continuité d'une fonction lipschitzienne. il existe k tel que pour tous (x,y) dans I on a lf(y)-f(x)l klx-yl. donc comme cette inégalité est vraie pour tous (x,y), elle est vraie lorsque y tend vers x. f est donc continue en x.
Universit´e de Marseille L1-S2- 2007-2008
Corrig´e du devoir d"analyse de mars 2008
Exercice 1
Uniforme continuit´e
1. Montrer que la fonction d´efinie parf(x) = 1/xn"est pas uniform´ement
continue sur ]0,1].2. Soit-∞< a < b <+∞, montrer que la fonctionf(x) =x2est uni-
form´ement continue sur [a,b].3. Montrer que la fonctionf(x) =x2n"est pas uniform´ement continue sur
[0,+∞[.Corrig´e
1. On ´ecrit la n´egation de l"uniforme continuit´e
On voit que le probl`eme se pose au voisinage du point 0 car mˆeme si l"´ecart entrexetyest tr`es petit, l"´ecart entref(x) etf(y) peut ˆetre tr`es grand.Plus pr´ecis´ement
?ε0=12 tq?α >0,?n?N?tel que1n < αetx=1n ,y=12n2. Ce sera une cons´equence de l"exercice 3, mais on peut le d´emontrer di-
rectement. Soitx,y?[a,b].Un calcul direct conduit `a : Ainsi (La fonction estf(x) =x2est mˆeme Lipschitzienne sur [a,b] et donc uniform´ement continue sur [a,b]).3. L`a le probl`eme se pose `a l"infini. On va raisonner comme dans le cas 1.
?ε0= 1 tq?α >0,?n?N?tel que1n < αetx=n ,y=n+12nExercice 2
Prolongement par densit´e
Soientfetgdeux fonctions d´efinies etcontinuessurR.Montrer que (x?Q?f(x) =g(x))?f=g.Corrig´e
On va utiliser queQest dense dansR(voir d´emonstration plus loin) et quef etgsont continues surR. Soitx?Ril existe une suite (xn)?Qtelle quexn→x.Par continuit´e de fetgon a limn→+∞f(xn) =f(x) et limn→+∞g(xn) =g(x). Mais comme pour toutn?N,xn?Qet quefetgco¨ıncident surQ, on a f(xn) =g(xn),?n?N. Donc limn→+∞f(xn) = limn→+∞g(xn).Densit´e deQdansR.
Soitx?R. Par d´efinition de la partie enti`ere,E[.], pour toutn?N, on a :Posons:
n=E[(n+ 1)x]n+ 1.On axn?Qet
n→n+∞x. Exercice 3Soitα >0,β >0.Soitfune fonction continue de [0,α[ dansR telle quef(0)<0 et limx→x<ααf(x) = +∞. Soitgune fonction continue deRdansRtelle queg(0)<0 etg(β)>0. Montrer qu"il existex?]0,min{α,β}[ tel quef(x)(x-β)-g(x) = 0.[On pourra distinguer les casβ < α,β > αetβ=α.]Corrig´e
Voir corrig´e du partiel de 2006-2007.
Exercice 4
Soita < b?R.Toute fonction continue sur un[a,b]est uniform´ement continue.Soitf: [a,b]→R.
On va raisonner par l"absurde.
1)-Ecrire la n´egation de cette d´efinition.
2)-Montrer que sifn"est pas uniform´ement continue sur [a,b], il existeε0>0
et (xn),(yn)?[a,b] tels que|xn-yn|<1n+1et|f(xn)-f(yn)| ≥ε0.3)-Montrer qu"il existeφstrictement croissante deN→Netα?[a,b] tels
4)-En d´eduire que sifn"est pas uniform´ement continue sur [a,b],il existe
α?[a,b] tel quefn"est pas continue enα.
Corrig´e
1)- ?ε0>0,?δ >0,?(xδ,yδ)?[a,b]2t.q|xδ-yδ|< δet|f(xδ)-f(yδ)| ≥ε0.2)-Il suffit de choisir pour toutn?N,δ=1n+1.
?ε0>0,?n?N,?(xn,yn)?[a,b]2t.q|xn-yn|<1n+ 1et??f(xn)-f(yn)??≥ε0.3)-Comme [a,b] est un intervalle ferm´e born´e, par le th´eor`eme de Bolzano-
Weierstrass,on peut extraire de (xn) une suite convergente. Ainsi il existex? [a,b] etφ?:N→Ntels quexφ(n)→x. La suite (yφ(n)) est une suite extraite de la suit (yn), elle est dans [a,b] donc, toujours par le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une sous suite convergente. Ainsi il existey?[a,b] etψ?:N→Ntels queyψ(n)→y. La suite (xψ(n)) est extraite de la suite (xφ(n)) qui estconvergente versx, donc elle converge aussi versx.On a doncxψ(n)→xetyψ(n)→y.Mais on a aussi pour toutn |xn-yn|<1n+1et donc??xψ(n)-yψ(n)??<1ψ(n)+1et en passant `a la limite sur non obtient:|x-y|= 0,et doncx=y. On appelleαcette valeur commune.4)-On a donc trouv´eα?[a,b] et deux suites de [a,b] convergentes versαet
telles que??f(xψ(n))-f(yψ(n)))??≥ε0.Sif´etait continue enαles suites images (f(xψ(n)) et (f(yψ(n)) seraient convergentes versf(α) et on aurait |f(α)-f(α)| ≥ε0>0 ce qui est impossible.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] localement lipschitzienne par rapport ? la deuxième variable
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