Analyse – Math31
d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ε > 0. Exercice 5. Soit a b ∈ R et f intégrable au sens de Riemann sur [a
Exercices de mathématiques - Exo7
1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ∀ε > 0 ∃
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
— Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –. Soit f une fonction
CC2 – Corrigé
Cette fonction est donc uniformément continue mais pas lipschitzienne. Exercice 1. 1.a. Pour tout (x y) ∈ U = R2 {(0
Feuille de TD 4
Solution de l'exercice 1. a) L'application (t x) → tx est globalement Lipschitzienne en x avec une constante de Lipschitz uniforme pour t ∈
PCSI1 TD 15 - Dérivabilité CORRIGÉ PARTIEL 2019-2020 1
Montrer que la somme de deux fonctions lipschitziennes est encore une fonction lipschitzienne. On reprend l'idée de l'exercice précédent : si f s'annule n + ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc On a xn ∈ Q et xn →n+∞ x. Exercice 3 Soit α > 0
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 Exercice 1. 1. Soient (Ed) et (F
5 Exercices du Chapitre 5
Corrigés des exercices. Soit j : (S(2){p}d3) → (S(2)
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Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient f g: Rx R→ R deux fonctions telles que.
Analyse – Math31
17 déc. 2014 Exercice 1. Soit f une fonction de variable ... Corrigé 1. ... d) Soit g une fonction k-lipschitzienne sur l'intervalle I et fixons ? > 0.
Exercices de lancien temps Recueil dExercices de Khôlles de
Puis des exercices d'analyse de fonctions. — Enfin des sujets de topologie. 1.3.1 Autour des normes. Lipschitzienne et sa dérivée –.
Corrigé de devoir non surveillé
Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A.1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide.
Partiel (2h) - énoncé + corrigé
4 nov. 2013 L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme ... Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
Limites et continuité des fonctions
Exercice 13 : [corrigé]. Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Une fonction est k-lipschitzienne si elle vérifie :.
Untitled
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ici? Pourquoi ? Exercice 2. (Lemme de comparaison) Soient fg: Rx R? R deux fonctions telles que.
Exercices de mathématiques - Exo7
Applications uniformément continues. Exercice 6. 1. Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens :.
TD5 – EDO - existence unicité et variables séparables
Si y = 0 la fonction f est de classe C1 et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existe d'une unique solution locale. Exercice 3. Résoudre le problème de
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
MPSI 1
Exercice 4 Soient I un intervalle borné et f une fonction uniformément continue Exercice 10 f et g sont lipschitziennes bornées démontrer que f g est ...
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(d) Montrer qu'un fonction de Lipschitz sur I est uniformément continue sur I (e) Soit f(x)=1/(1 + x) Montrer que f est 1-lipschitzienne sur J puis sur R
[PDF] Continuité - Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit f une fonction réelle continue sur [01]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : ?? > 0 ?C? ; ?xy ? [01] f(x)? f(y) ? C?x?y+? 2
[PDF] 5 Exercices du Chapitre 5
La fonction est donc non seulement ?-continue en (A B) mais aussi lipschitzienne sur P(X) Exercice 8 10 Soit (X d) un espace métrique compact et C0(X; Rk)
Fonctions lipschitziennes - LesMath
8 déc 2021 · Exercice: Soient a?R a ? R avec 0
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Partie A – Généralités sur les fonctions lipschitziennes A 1 La fonction identiquement nulle sur R est 0-lipschitzienne donc L n'est pas vide
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4 nov 2013 · L'énoncé comporte deux exercices et un probl`eme Soit E l'espace des fonctions réelles définies sur I = [01] ? R et lipschitziennes
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(La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a b] et donc uniformément continue sur [a b]) 3 L`a le probl`eme se pose `a l'infini On va
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Exercice 1 Soient a réel b dans R et f une fonction réelle définie et Exercice 13 Retrouver l'énoncé1(mais voir l'indication) dont le corrigé suit
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Puis des exercices d'analyse de fonctions — Enfin des sujets de topologie 1 3 1 Autour des normes Lipschitzienne et sa dérivée – Soit f une fonction
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.C'est quoi une fonction lipschitzienne ?
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Re : Confirmation démonstration continuité d'une fonction lipschitzienne. il existe k tel que pour tous (x,y) dans I on a lf(y)-f(x)l klx-yl. donc comme cette inégalité est vraie pour tous (x,y), elle est vraie lorsque y tend vers x. f est donc continue en x.
DM de MPSI2
Corrige de devoir non surveille
Sur les fonctions lipschitziennes
Partie A { Generalites sur les fonctions lipschitziennes Pour tout element'deL,K'designera un reel tel que'soitK'-lipschitzienne. A.1La fonction identiquement nulle surRest 0-lipschitzienne, doncLn'est pas vide. Sifetgsont des elements deL, etetsont deux reels quelconques, alors, pour tous reelsxety, on a : j(f+g)(y)(f+g)(x)j6(jjKf+jjKg)jyxjLest donc stable par combinaison lineaire.
A.2Sifetgsont deux elements deL, alors leur composeegf, element deF, est (KgKf)-lipschitzienne, et appartient donc aL. A.3Soitfetgdeux fonctions bornees deL. SoitMfetMgdeux reels tels quejfj6Mfetjgj6Mg. Pour tous reelsxety, on a : j(fg)(y)(fg)(x)j=jf(y)g(y)f(x)g(x)j=jf(y)g(y)f(y)g(x) +f(y)g(x)f(x)g(x)j6(MfKg+MgKf)jyxj
Le produitfgest donc un element deL.
Sifetgne sont pas toutes les deux bornees,fgn'est pas necessairement un element deL, comme le montrel'exemple ouf=g= IdR(la fonction carre n'est pas lipschitzienne car la suite des taux d'accroissement de
cette fonction entrenetn+ 1 (de terme general 2n+ 1) n'est pas bornee). A.4Soitf2 L. On a en particulier, pour tout reelx, jf(x)j=jf(x)f(0) +f(0)j6jf(x)f(0)j+jf(0)j6Kfjxj+jf(0)j: Il existe donc deux reels positifsAetB(par exempleA=KfetB=jf(0)j) tels que pour tout reelx, on ait : jf(x)j6Ajxj+B: A.5Soitf2 F. On suppose qu'il existe un reel positifMtel que pour tous reelsxetyveriantjyxj61, on aitjf(y)f(x)j6Mjyxj. Soitxetydeux reels veriantx+1< y. L'idee est d'intercaler les entiers entre xety. Soit [[p;q]] l'ensemble des entiers strictement compris entrexety. On a jf(y)f(x)j=jf(y)f(q)+q1X k=p(f(k+1)f(k))+f(p)f(x)j6jf(y)f(q)j+q1X k=pjf(k+1)f(k)j+jf(p)f(x)j6M(yq+q1X
k=p((k+ 1)(k)) +px) =M(yx): Par consequent,festM-lipschitzienne, et appartient donc aL. A.6L'applicationtde translation parest 1-lipschitzienne, donc la composeeft:x7!f(x+), est un element deL.A.7D'apres les rappels, et comme cosinus est majoree par 1 en valeur absolue, on a, pour tous reelsxety,
jsin(y)sin(x)j=2sinyx2 cosy+x2 62yx2=jyxj:
La fonction sinus est donc 1-lipschitzienne.
De la relation cos(x) = sinx+2
(valable pour tout reelx), et de la question precedente, on deduit que la fonction cosinus est egalement 1-lipschitzienne. A.8Voir le cours (la fonctionx7!pjxj, bien qu'uniformement continue surR, n'est pas lipschtizienne).Partie B { Une equation fonctionnelle dansL
B.1SoitF2 FveriantE.
CommeFest solution deE, la formule annoncee est vraie pourn= 1. De plus, si la formule est vraie au rangn2N, alors, pour tout reelx, on a :F(x) =n(F(x+na) +n1X
k=0 kf(x+ka) =n(F(x+na+a) +f(x+na)) +n1X k=0 kf(x+ka) =F(x+ (n+ 1)a) +nX k=0 kf(x+ka)La formule est donc veriee au rangn+ 1.
On en deduit donc par recurrence que pour tout reelx, et tout entier naturel non nuln, on a :F(x) =nF(x+na) +n1X
k=0 kf(x+ka):B.2On suppose icijj<1.
aOn suppose queFetGsont deux solutions deEappartenant aL. On sait d'apres A.4 qu'il existe des reels positifsA;B;C;Dtels quejF(x)j6Ajxj+BetjG(x)j6Cjxj+D, pour tout reelx. D'apres la question precedente, on a, pour tout entier naturel non nuln, et tout reelx: Quandntend vers l'inni, le membre de droite tend vers 0 (carjj<1). On a doncF(x) =G(x).Eadmet donc au plus une solution dansL.
bUne solution deEest la fonction constante de valeur11. Cette application est evidemment lipschit- zienne. D'apres la question precedente, l'ensemble des solutions deEdansLest donc le singleton x7!11 cLa fonctionG(bien denie car 12cos(a)+2= (1eia)(1eia)6= 0) appartient aL, en tant que combinaison lineaire de telles fonctions. De plus, pour tout reelx, on a G(x)G(x+a) =cos(x)cos(xa)cos(x+a) +2cos(x)12cos(a) +2= cos(x):Gest donc une solution deEappartenant aL: c'est l'unique telle fonction. L'ensemble des solutions deE
appartenant aLest donc ici le singletonfGg. dDe l'egalite sin(x) = cosx2 (valable pour tout reelx), et d'apres la forme deE, on deduit de laquestion precedente que l'ensemble des solutions deEdans le cas oufest la fonction sinus est le singletonfHg,
ou, pour tout reelx,H(x) =sin(x)sin(xa)12cos(a) +2
B.3On suppose ici= 1.
aS'il existe une fonctionF2 LveriantE, alors jf(x)j=jF(x)F(x+a)j6KFjaj pour tout reelx, etfest donc bornee. bF:x7!sin2xa est non nulle, lipschitzienne (car composee de telles fonctions) eta-periodique, donc verieF(x)F(x+a) = 0, pour tout reelx. cSiHest une solution deEdansL, alors toutes les fonctionsH+nF(ouFest la fonction denie a la question precedente), oundecritN, sont distinctes deux a deux, appartiennent aL, et verientE. dL'idee est de faire tendrevers 1 dans l'expression deGen B.2.c. On verie ensuite que la fonction obtenue :x7!cos(x)cos(xa)2(1cos(a)); est bien une solution deEdansL. eSi cos(a) = 1,aest un multiple entier non nul de 2:a= 2k, pour un certain entier non nulk. Supposons queEadmette une solutionFdansL. On a alorsF(x) =F(x+ 2kn) +ncos(x)
pour tout reelxet tout entier naturel non nuln, d'apres B.1. Ceci donne en particulier (en prenantx= 0 puis
x=), pour tout entier natureln:F((2kn+ 1))F(2nk) = 2n+F()F(0)
La suite des taux d'accroissement deFentre 2knet (2kn+ 1)(n2N) n'est donc pas bornee :Fne peut ^etre lipschitzienne.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] localement lipschitzienne par rapport ? la deuxième variable
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