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Methode des elements nis

Herve OudinTo cite this version:

Herve Oudin. Methode des elements nis.

Ecole d'ingenieur. Nantes, France. 2008, pp.74.

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Hervé Oudin

Introduction à la

méthode des

éléments finis

École Centrale de Nantes —????

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Table des matières

Table des matières?

Méthodes d"approximation en physique?

?.?Généralités?

Processus d"analyse?

Méthodes d"approximation?

?.?Méthode des résidus pondérés? ?.?Formulation variationnelle??

Transformation de la forme intégrale??

Discrétisation de la forme intégrale??

Écriture matricielle des équations??

?.?Principe des Travaux Virtuels??

Formulation??

Discrétisation??

Méthode des éléments finis??

?.?Généralités?? ?.?Démarche éléments finis??

Discrétisation géométrique??

Approximation nodale??

Quantités élémentaires??

Assemblage et conditions aux limites??

?.?Utilisation d"un logiciel éléments finis??

Déroulement d"une étude??

Techniques de calculs au niveau élémentaire?? ?.?Organigramme d"un logiciel éléments finis??

Applications en mécanique??

?.?Structures treillis??

Élément barre??

Assemblage??

?.?Structures portiques??

Élément poutre??

Assemblage??

?Table des matières ?.?Élasticité plane??

Contraintes planes??

Déformations planes??

Élément T???

Élément Q???

A

Illustrations académiques??

A.?Application de la méthode des résidus pondérés?? A.?Formulation variationnelle de l"équation de poisson?? A.?Construction d"une approximation nodale linéaire?? A.?Fonctions d"interpolation d"un élément triangulaire?? A.?Structure élastique à symétrie cylindrique??

A.?Assemblage et conditions aux limites??

A.?Principe des Travaux Virtuels en traction-compression?? A.?Équivalence PTV et équation locale avec conditions aux limites?? A.?Matrice raideur et vecteur force généralisé des éléments triangulaires??

A.??Changement de base dans le plan??

A.??Dimensionnement statique d"une colonne??

A.??Étude statique d"un portique??

Bibliographie??

Index??

Méthodes d"approximation

en physique ?.?Généralités ?.?.?Processus d"analyse De façon générale, les différentes étapes d"analyse d"un problème physique s"or- ganisent suivant le processus schématisé par la figure ?.?. Nous partons d"un problème physique hypothèses de modélisationévolution du modèle mathématique modèle mathématique discrétisation du problèmeévolution du modèle numérique modèle numérique estimation de la précision du modèle numérique - vérification des hypothèses de modélisation (analyse du modèle mathématique) - interprétation des résultats réponse nouveau modèle physique procédure numérique Figure?.?- Processus d"analyse utilisant un modèle numérique problème physique. Le cadre précis de l"étude est défini par les hypothèses sim- ?Méthodes d"approximation en physique plificatrices qui permettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La difficulté pour l"ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de laphysique, celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalitédu problème phy- sique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en oeuvre non prohibitifs. En résumé, les questions essentielles auxquelles l"ingénieurdevra répondre, s"il veut effectuer une analyse par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont les suivantes : - quel modèle mathématique utiliser? - quel modèle numérique faut-il lui associer? - quelle est l"erreur d"approximation commise? - quelle est l"erreur numérique commise? - peut-on améliorer le modèle numérique? - faut-il changer le modèle mathématique? etc.

Qu"est ce qu"un modèle? La figure

?.?illustre sur un exemple mécanique simple trois modélisations envisageables. Chacune correspond à modèle mathématique différent mais quelle est la bonne? Le choix du modèle mathématique estun com- (a) schéma du support F (b) poutre : solution analy- tique ou numérique F (c) élasticité plane : solution numérique F (d) élasticité tridimensionnelle : solution numérique Figure?.?- Choix d"un modèle mathématique : dimensionnement sta- tique d"un support d"étagère promis entre le problème posé à l"ingénieur " quelles grandeursveut-on calculer et avec quelle précision? » et les moyens disponibles pour y répondre. En fait, les équations du modèle retenu sont soumises à un certain nombre d"hypothèses ba- sées sur les sciences de l"ingénieur et il faut connaître leur domaine de validité pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante. ?.?Méthode des résidus pondérés? Si le modèle mathématique n"admet pas de solution analytique, il est alors né- cessaire de chercher une solution approchée de ce modèle. Dès lors, la discréti- sation du problème correspond au choix d"un modèle numérique permettant de traiter les équations mathématiques. Il est important de savoir distinguer et hié- rarchiser les différents niveaux d"hypothèse utilisés pour modéliser un phénomène physique. En effet, lasolutionexacte d"un modèlemathématique qui necorrespond pas à la réalité physique est inutile. ?.?.?Méthodes d"approximation Pour discrétiser les modèles complexes de phénomènes physiques, l"ingénieur dis- pose de méthodes d"approximation permettant de résoudre la plupart des pro- blèmes pour lesquels il n"existe pas de solution formelle. Toutes les méthodes d"approximation ont un même objectif, à savoir remplacer un problème mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équations matricielles) de dimension finie que l"on sait résoudre numériquement. La classification que nous proposons sur la figure ?.?n"est pas unique. Elle per- met simplementde distinguerlaméthode, en fonction de ladémarche utiliséepour obtenir une forme intégrale. Il est important de noter qu"un problème physique

peut être formulé de façon équivalente en un système d"équations différentielles

ou sous une formulation variationnelle. Nous montrons par la suite comment pas- ser de l"une à l"autre. Méthodedes résiduspondérés(ou annulationd"erreur) : elle utilisecomme point de départ les équations locales, équations différentielles définies sur l"inté- rieur du domaine, et les conditions aux limites du problème définies sur la frontière du domaine; Méthodes variationnelles: le point de départ de ces méthodes est un principe va- riationnel qui est une formulation mathématique du problème baséesur des considérations énergétiques. La formulation obtenue dépend bien entendu des hypothèses de modélisation du problème physique. ?.?Méthode des résidus pondérés Soit un problème physique d"inconnue le champ scalaire(M) défini sur un do- maine D. Nous cherchons une solution du modèle mathématique défini par les équations locales sur D, et les conditions aux limites sur la frontièreΓdu domaine. Ces équations différentielles forment le système suivant :

MD() =(M)équation locale

MΓ() =(M)conditions aux limites(?.?)

oùetsontdes opérateurs agissantsurl"inconnuequi dépenddu pointcourant M et du temps. Le résidu est l"erreur commise lorsque l"on utilise une approxima- ?Méthodes d"approximation en physique système physique continu formes intégrales formes différentielles formes matricielles méthodes d"approximation discrétisation méthodes variationnelles formulation mathématique du problème

Principe des Travaux

Virtuels

méthode des résidus pondérés mise en équations formulation mathématique du problème

Principe Fondamental

de la Dynamique Figure?.?- Vue synthétique des méthodes d"approximation tiondu champpour écrire les équations du problème. Afin de simplifier la présentation, considérons dans un premier temps que : - les conditions aux limites du problème sont homogènes,() =?; - l"approximation choisie les satisfait toutes,( Le résidu est alors défini par l"erreur sur l"équation locale, soit : MD( ) =()?(M)(?.?) Soit un ensemble de fonctions dites de pondération P (M)?, quelconques et défi- nies sur le domaine D. La méthode des résidus pondérés consiste à annuler l"erreur commise sur le résidu, en la rendant orthogonale, selon un produit scalaire pré- cis, à des fonctions P (M). Ce qui correspond à des équations sous forme intégrale représentées par : P (M)

DP(M)() dV =?(?.?)

Du point de vue mathématique, au lieu de résoudre l"équation() =?, on consi- dère le problème équivalent?,

D?()dV =?. Ne sachant pas résoudre ce pro-

blème analytiquement, on en cherche une approximation en restreignant les?à fonctions de pondération. ?. ces fonctions prennent aussi l"appellation de fonctions tests ou fonctions poids ?.?Méthode des résidus pondérés? Pour une approximationàparamètres, nous choisironsfonctions de pon- dérationafind"obtenirautantd"équations intégralesquedeparamètres,c"est-à-dire un système matriciel d"ordre. Soit une approximation de la forme :

W(M)() =W(M)Tq()(?.?)

où les fonctions W (M) sont les fonctions de forme?et les() sont les paramètres de l"approximation, c"est-à-dire les participations des fonctionsde forme respec- tives dans la solution du problème. Leséquations sont de la forme :

DP(M)W(M)Tq()dV =?(?.?)

Pour illustrer notre propos, admettons que le problème soit un problème station- naire linéaire, l"équation matricielle est alors de la forme :

Kq=F(?.?)

avecK= DP(M)W(M)dVetF=DP(M)(M)dV.Silesfonctions Pconduisent à des équations indépendantes, la solutionqdu système ( ?.?) fournit les para- mètres de l"approximation. - la recherche de fonctions d"approximation, aussi dites fonctions deforme, satisfaisant toutes les conditions aux limites supposées homogènes n"est pas simple; c"est en pratique impossible pour des problèmes réels autres que les problèmes académiques. Il faut donc généraliser la formulationde cette mé- thode pour pouvoir utiliser des fonctions de forme moins riches, c"est-à-dire sans imposerà l"approximation de satisfairetoutes les conditionsaux limites; - le choix des fonctions de pondération esta prioritotalement libre ?mais il faut s"assurer que les équations obtenues sont indépendantes afin quele sys- tème matriciel qui en est issu soit régulier. En pratique l"utilisation de la méthode des résidus pondérés se limite àdeux sous méthodes

Application

des résidus pondérés: méthode de collocation par point — cette méthode consiste à utiliser comme fonc- tions de pondération des fonctions de Dirac. Ce qui revient à annuler l"er- reur d"approximation en un nombre fini de points du domaine. L"intérêt est évident : c"est la simplicité de mise en oeuvre, à savoir le calculde l"intégrale sur le domaine est évité. Par contre, les résultats sont très sensibles au choix des points de collocation, et les matrices obtenues sont quelconques; méthode de Galerkin — cette méthode consisteà utiliser comme fonctionsde pon- dération les fonctions de forme. L"inconvénient réside dans le calcul de l"in- tégrale sur le domaine. Par contre, si les opérateurs sont symétriques, les ma- trices le sont également, de plus, si le problème est bien posé,nous sommes ?. base de fonctions pour construire l"approximation ?. cela donne évidemment de plus ou moins bons résultats ??Méthodes d"approximation en physique assurés de la régularité du système. Cette régularité du modèle mathéma- tique assure des propriétés de convergence de la solution cherchée ?.?Formulation variationnelle Dans le paragraphe précédent, nous avons construit une approximation de la solu- tion du problème mathématique, en introduisant une notion d"erreursur les équa- tions locales du problème. Nous allons maintenant présenter une autre méthode d"approximation de la solution de ce même problème mathématique, en partant de sa formulation variationnelle. Nous rappelons tout d"abord les étapes de la construction de la formulation va- riationnelle fondée sur la formule de Green généralisée. Pour fixer les idées, consi- dérons un problème de mécanique linéaire sans amortissement sous l"hypothèse des petits déplacements et petites déformations. L"équation locale définie à l"intérieur du domaine et les conditionsaux limites

définies sur la frontière font apparaître des opérateurs différentiels. La forme géné-

rale du problème mathématique à résoudre est la suivante :

MDρ¨?div

σ=équation locale

MΓ =conditions aux limites en déplacement MΓ

σσ=Tconditions aux limites en force(?.?)

formulation qui suppose ici un champ vectoriel de déplacementdéfini sur le domaine D. Afinderésoudreces équations,ilfaudraleurassocierles deuxrelations suivantes : - la loi de comportement σ=(ε) qui traduit le comportement physique du matériau; - larelation tions locales peuvent être mises sous la formeρ¨+() =. ?.?.?Transformation de la forme intégrale

Partons de l"équation locale :

MDρ¨?div

qui est équivalente à : P D

Pρ¨?divσ?dV =?(?.?)

L"idée est de faire apparaître dans cette première forme intégrale les termes corres- pondant aux conditions aux limites sur la frontière en effectuant une intégration par parties. Nous supposons que les fonctions de pondération utilisées sont suffi- ?. l"approximation est d"autant plus précise que l"on augmente le nombre de paramètres ?.?Formulation variationnelle?? samment dérivables. Sachant que?:

σ:gradP = divσP?Pdivσ(?.??)

il vient : P D

Pρ¨+σ:gradP?divσP?PdV =?(?.??)

Appliquons le théorème d"Ostrogradsky

P D

Pρ¨+σ:gradP?PdV?

D

PσdS =?(?.??)

σ, c"est-à-direMΓσ,σ=T:

D

Pρ¨+σ:gradP?PdV?

PσdS?

PTdS =?(?.??)

En pratique, pour simplifier le calcul de l"équation intégrale précédente, nous utili- serons des fonctions de pondération à valeur nulle sur la frontièreΓ de telle façon que : MΓ

P(M) =?

PσdS =?(?.??)

Compte tenu de ces choix, nous obtenons une formulation variationnelle du pro- blème aux limites initial. Formulation variationnelleSoient les conditions aux limites en déplacement : MΓ P, fonctions de pondération, telles queP =?surΓalors : D

Pρ¨+σ:gradP?PdV =

PTdS (?.??)

Cette formulation conduit aux remarques suivantes : - cette formulation variationnelle est équivalente au système d"équations aux dérivées partielles.Sinous pouvons résoudrel"équationintégrale( ?.??), nous ?. Cette formule utilise la symétrie du tenseur des contraintes et les relations suivantes : σ:grad= divσ?divσTσ:gradT= divσ?divσ La démonstration de ces relations se fait simplement :σ= (σ)?σ ?. théorème d"Ostrogradsky : D divAdV = DAdS ??Méthodes d"approximation en physique obtenons la solution exacte du problème; - l"intérêt de cette forme intégrale est de tenir compte de l"équation locale et des conditionsauxlimitesenforce, les conditionsen déplacementdevantêtre satisfaites par ailleurs. Ce n"est en aucun cas une nécessité etnous aurions pu conserver les conditions aux limites en déplacement dans la formeintégrale; - dans la méthode des résidus pondérés, nous utilisons la première forme inté- grale (avant transformation par intégration par parties) qui ne tient compte que de l"équation locale, ce qui limite son utilisation à des fonctions satis- faisant toutes les conditions aux limites du problème. Elles sontdonc plus difficiles à obtenir, et généralement impossible à obtenir pour un problème non homogène. ?.?.?Discrétisation de la forme intégrale La solution approchée est recherchée sous la forme d"une combinaison linéaire de fonctions, ditesfonctions de forme. La méthode consiste alors àaffaiblirune des formes intégrales précédentes en ne la satisfaisant que pourfonctions de pondé- ration. Cette solution sera d"autant meilleure que la base de fonctions utilisées sera riche, c"est-à-dire permettant de bien représenter la solution cherchée. Le choix de la forme intégrale, point de départ de la discrétisation avant ou après intégration par parties, dépend de la facilité à construire une approximation qui satisfait les conditions aux limites du problème. S"il est possible de construire une approximation qui satisfait toutes les conditions aux limites (fonctions de com- paraison du problème) la première forme intégrale est suffisante et l"on retrouve la méthode des résidus pondérés présentée en En pratique nous construisons le plus souvent une approximation satisfai- sant les conditions aux limites cinématiques, une telle approximation est dite ciné- matiquement admissible

C.A. MΓ =(?.??)

Pour une approximation cinématiquement admissible, l"erreur porte à la fois sur l"équation locale et sur les conditions aux limites en force. La forme intégrale de départ est alors la formulation variationnelle du problème établie précédemment.

Elle a les caractéristiques suivantes :

• Avantages : - la construction de l"approximation est plus simple, les conditions aux li- mites surΓ σn"ont pas lieu d"être satisfaites par les fonctions de forme car elles sont prises en compte dans la formulation intégrale; - le nombre de dérivations des fonctions de forme diminue. • Inconvénients :quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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