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Mécanique analytique

Olivier Castéra

Le 8 décembre 2022

Table des matières

Chapitre 1. Le principes des travaux virtuels en statique1

1.1 Principe des déplacements virtuels1

1.2 Principe des travaux virtuels2

1.3 Formulation générale du principe4

1.4 Comparaison avec la mécanique de Newton10

1.5 Avantage de la méthode13

1.6 Types de liaisons et coordonnées généralisées14

1.6.1 Liaisons géométriques et liaisons cinématiques14

1.6.2 Liaisons scléronomes et liaisons rhéonomes15

1.6.3 Liaisons holonomes16

1.6.4 Liaisons non-holonomes18

1.7 Multiplicateurs de Lagrange19

1.8 Forces dérivant d"une énergie potentielle20

1.9 Nature de l"équilibre21

1.9.1 Système à un degré de liberté21

1.9.2 Système à deux degrés de liberté24

1.10 Applications des travaux virtuels25

1.10.1 Poutre sur deux cylindres25

1.10.2 Treuil26

1.10.3 Appareil de levage26

1.10.4 Ciseaux de Nuremberg27

1.10.5 Problème à deux degrés de liberté28

1.10.6 Poulie à ressort30

1.10.7 Poulie différentielle de Weston31

1.10.8 Échelle contre un mur33

1.10.9 Poutre articulée35

1.10.10 Chaîne suspendue38

1.10.11 Système isostatique39

1.10.12 Système hyperstatique40

1.10.13 Le levier41

1.10.14 Système bielle-manivelle44

1.10.15 Vitesses virtuelles et puissances virtuelles45

Chapitre 2. Le principes des travaux virtuels en dynamique47

2.1 Généralisation du principe à la dynamique47

2Table des matières

2.2 Comparaison avec la mécanique de Newton50

Chapitre 3. Mécanique de Lagrange59

3.1 Équations de Lagrange59

3.1.1 Modèles de forces dérivant tous d"une énergie potentielle62

3.1.2 Énergie potentielle généralisée65

3.1.3 Forces ne dérivant pas toutes d"une énergie potentielle67

3.1.4 Forces de contraintes généralisées69

3.1.5 Liaisons non-holonomes74

3.2 Propriétés du Lagrangien et des équations de Lagrange76

3.2.1 Équivalence avec la relation fondamentale de la dynamique76

3.2.2 Covariance par changement de référentiel galiléen80

3.2.3 Changement d"unités82

3.2.4 Caractère scalaire du Lagrangien82

3.2.5 Additivité du Lagrangien83

3.2.6 Invariance de jauge du Lagrangien83

3.2.7 Condition nécessaire et suffisante pour avoir un Lagrangien84

3.2.8 Covariance des équations de Lagrange par changement de coordonnées86

3.3 Intégrales premières du mouvement86

3.3.1 Fonction énergie89

3.3.2 Coordonnées cycliques90

3.3.3 Impulsions généralisées91

3.4 Applications de la mécanique de Lagrange92

3.4.1 Masse sur une trappe92

3.4.2 Pendule double, plan92

3.4.3 Pendule simple plan, dont le point de suspension oscille horizontalement94

3.4.4 Pendule simple, plan, dont le point de suspension se déplace verticalement96

3.4.5 Pendule sphérique97

Chapitre 4. Mécanique d"Hamilton101

4.1 Transformation de Legendre101

4.1.1 Équation de la tangente en un point d"une courbe101

4.1.2 Équation de l"enveloppe102

4.1.3 Involution de la transformation de Legendre103

4.2 Équations d"Hamilton104

4.2.1 Introduction de nouvelles variables indépendantes104

4.2.2 Transformée de Legendre des vitesses généralisées105

4.2.3 Expression du Hamiltonien106

4.2.4 Démonstration des équations d"Hamilton107

4.3 Cas où le Hamiltonien se conserve108

4.4 Hamiltonien et énergie mécanique109

4.5 Coordonnées cycliques111

4.6 Théorème de Liouville112

4.7 Applications de la mécanique d"Hamilton114

4.7.1 Masse sur une trappe114

4.7.2 Pendule simple, plan, dont le point de suspension se déplace verticalement115

4.7.3 Pendule sphérique116

Chapitre 5. Transformations canoniques119

5.1 Transformations de coordonnées119

5.1.1 Cas de la mécanique de Lagrange120

Table des matières3

5.1.2 Cas de la mécanique d"Hamilton120

5.2 Fonctions génératrices d"une transformation121

5.2.1 Fonctions génératrices de type 1121

5.2.2 Fonctions génératrices de type 2123

5.2.3 Fonctions génératrices de type 3127

5.2.4 Fonctions génératrices de type 4128

5.2.5 Conditions d"intégrabilité et crochets de Lagrange129

5.3 Transformations canoniques infinitésimales132

5.4 Evolution d"un système134

5.4.1 Evolution infinitésimale d"un système134

5.4.2 Evolution d"un système en un temps fini135

5.5 Transformations invariantes135

Chapitre 6. Crochets de Poisson137

6.1 Définition137

6.2 Crochets de Poisson et équations d"Hamilton137

6.3 Lien avec les crochets de Lagrange138

6.4 Conditions d"intégrabilité et crochets de Poisson139

6.5 Propriétés142

6.5.1 Crochet de Poisson avec une fonction constante142

6.5.2 Bilinéarité142

6.5.3 Antisymétrie143

6.5.4 Crochet de Poisson fondamentaux143

6.6 Identités143

6.6.1 Identité de Leibniz143

6.6.2 Identité de Jacobi144

6.7 Théorèmes144

Chapitre 7. Théorie d"Hamilton-Jacobi155

7.1 Équation d"Hamilton-Jacobi155

7.1.1 Fonction F1156

7.1.2 Fonction F2156

7.1.3 Fonction F3157

7.1.4 Fonction F4158

7.2 Séparation des variables158

7.2.1 Équation d"Hamilton-Jacobi en représentationqindépendante du temps158

7.2.2 Équation d"Hamilton-Jacobi en représentationpindépendante du temps164

7.2.3 Cas des coordonnées cycliques166

7.2.4 Équation d"Hamilton-Jacobi et forme du Hamiltonien170

7.3 Représentation de l"action d"Hamilton172

7.4 Mécanique ondulatoire178

7.5 Action d"Hamilton et Lagrangien180

Chapitre 8. Principe variationnel183

8.1 Principe de moindre distance183

8.2 Principe de moindre temps184

8.3 Passage de l"optique à la mécanique186

8.4 La brachistochrone188

8.4.1 Résolution de l"équation différentielle192

8.5 Principes de moindre action195

8.5.1 Principe de moindre action d"Hamilton195

4Table des matières

8.5.2 Principe de moindre action de Maupertuis196

8.6 Dérivation des équations d"Hamilton202

Chapitre 9. Comparaison des différentes mécaniques205

9.1 Double plan incliné205

9.1.1 Résolution par la mécanique de Newton205

9.1.2 Résolution par le principe des travaux virtuels207

9.1.3 Résolution par la mécanique de Lagrange207

9.1.4 Résolution par la mécanique d"Hamilton208

9.1.5 Résolution par la mécanique d"Hamilton-Jacobi208

9.2 Poulies coaxiales209

9.2.1 Résolution par la mécanique de Newton210

9.2.2 Résolution par le principe des travaux virtuels211

9.2.3 Résolution par la mécanique de Lagrange211

9.2.4 Résolution par la mécanique d"Hamilton211

9.2.5 Résolution par la mécanique d"Hamilton-Jacobi212

9.3 Masse glissant sans frottements sur un plan incliné non fixe213

9.3.1 Résolution par la mécanique de Newton213

9.3.2 Résolution par le principe des travaux virtuels216

9.3.3 Résolution par la mécanique de Lagrange217

9.3.4 Résolution par la mécanique d"Hamilton218

9.3.5 Résolution par la mécanique d"Hamilton-Jacobi219

9.4 Pendule simple, plan222

9.4.1 Résolution par la mécanique de Newton222

9.4.2 Résolution par le principe des travaux virtuels224

9.4.3 Résolution par la mécanique de Lagrange225

9.4.4 Résolution par la mécanique d"Hamilton225

9.4.5 Résolution par la mécanique d"Hamilton-Jacobi226

9.5 Pendule simple à ressort, plan227

9.5.1 Résolution par la mécanique de Newton228

9.5.2 Résolution par le principe des travaux virtuels229

9.5.3 Résolution par la mécanique de Lagrange229

9.5.4 Résolution par la mécanique d"Hamilton230

1

Le principes des travaux virtuels en statique

En 1586, Simon Stevin énonce le principe des travaux virtuels en étudiant des palans. En 1717, Jean Bernoulli pose le principe des travaux virtuels comme loi fondamentale de la

statique : à l"équilibre, aucun travail n"est nécessaire pour provoquer un déplacement infiniment

petit d"un système mécanique donné. En 1743, Jean le Rond D"Alembert étend ce principe à la

dynamique. Il devient alors une écriture équivalente des équations de la mécanique de Sir Isaac

Newton. En 1756, dans une lettre à Léonhard Euler, Joseph-Louis de La Grange démontre toute

la mécanique à partir du principe de moindre action. Ces écrits paraissent dans un mémoire des

Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société Royale de TurinTome 2, 1760-1761.

Dans son ouvrageMéchanique analitiquede 1788, il pose le principe des travaux virtuels à

la base de la mécanique analytique. En appliquant les coordonnées généralisées à ce principe,

il énonce les équations de la mécanique analytique. Comme les équations de Newton, lesn équations différentielles de Lagrange sont du deuxième ordre par rapport au temps, du fait des termes d"accélération. En 1827, Sir William Rowan Hamilton effectue la transformation

de Legendre du Lagrangien pour les vitesses généralisées. Les 2néquations différentielles de

Hamilton sont du premier ordre, donc intégrées une premièrefois, et sont remarquables par

leur symétrie. Dans son mémoire de 1837 " Note sur l"intégration des équations différentielles de

la dynamique » Carl Gustav Jacob Jacobi simplifie l"intégration des équations de la dynamique

en abaissant leur ordre. Il me paraît difficile de comprendre la mécanique analytique en partant du principe d"Ha- milton ou des équations de Newton, c"est pourquoi, comme le fit Lagrange dans son ouvrage de 1788, j"ai choisi de partir du principe des travaux virtuels.

1.1 Principe des déplacements virtuels

À la fin duXVIesiècle, Stevin étudie des systèmes de poulies à l"équilibre1. On suppose

la masse des poulies négligeable devant les autres masses, et les liaisons parfaites (ou polies) c"est-à-dire sans frottements au niveau des axes des poulies. Ena, par symétriem?=m. En b, la massemest soutenue par les cordes parallèles 1 et 2. Par symétrie, chacune des cordes supporte la moitié du poids de la massem, il faut un contrepoids de massem/2 pour qu"il y ait équilibre.

1. Ernst Mach,La mécanique(Edition Jacques Gabay, 1987).

2Le principes des travaux virtuels en statique

abcd mm? mm 21 2
mm 6 m m 8

Fig. 1.1.Systèmes de poulies

Stevin remarque que pour chaque système de poulies ci-dessus, si l"on déplace la massem vers le bas ou vers le haut d"une hauteurh, alors : - ena, le poidsm?=mmonte ou descend deh, - enb, le poidsm/2 monte ou descend de 2h, - enc, le poidsm/6 monte ou descend de 6h, - end, le poidsm/8 monte ou descend de 8h. Ainsi, dans un système de poulies à l"équilibre, les produits de chacune des masses par lesquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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