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Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Principe des travaux virtuels :

Introduction :

C'est un outil puissant qui joue le même rôle que le principe fondamental de la statique (ou de

la dynamique), mais qui permet une mise en oeuvre des équations plus systématique.

Énoncé :

Dans un référentiel Galliléen et pour tout système matériel, le travail virtuel des quantités

d'accélérations et égal à la somme du travail virtuel des forces extérieures au système et du

travail virtuel des forces intérieures, et ceci que soit le déplacement virtuel considéré.

W*acc = W*ext + W*int

Histoire :

On doit le premier énoncé du " principe des vitesses virtuelles » au mathématicien et philosophe Jean Le Rond D'alembert (1717-1783)

Calcul des travaux virtuels:

Les déplacements virtuels sont infinitésimaux, le calcul des travaux virtuels se fait avec les efforts et le moments réels.

Cas d'un déplacement:

Le travail d'une force Fappliqué au point A lors d'un déplacement virtuel du point A UA∗est W∗=F⋅UA ∗Cas d'une rotation:

Les rotations virtuelles étant infinitésimales, les déplacements virtuels correspondants des

points peuvent être calculés comme des vitesses :

Le travail d'un moment

C. La Borderie

FUA∗ AB

Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Utilisation :

Les champs de déplacements virtuels sont généralement notés par des *, par exemple : U*. Les travaux virtuels occasionnés par un déplacement virtuel, se calculent simplement et sans

tenir compte d'une éventuelle évolution des efforts appliqués au cours du déplacement virtuel.

On peut imaginer des déplacements virtuels quelconques et en particulier, des déplacements virtuels qui rompent les liaisons ou les solides. On choisit généralement des déplacements virtuels qui font travailler une ou plusieurs inconnues et qui ne génèrent pas de travaux internes, ces champs de déplacements virtuels respectent les conditions de déplacements de solides indéformables et sont appelés mouvements rigidifiants.

On peut appliquer le PTV* autant de fois que nécessaire, il faut cependant veiller à obtenir des

équations indépendantes (3 équations en 2D, 6 en 3D).

Exemple :

Calcul des actions d'appuis :

Le champ de déplacements est une translation

d'axe⃗Yqui rompt les liaisons en A et B.

W*int=0

Soit :

W*ext = YA U* + F U* + YB U*

Le PPV* donne alors :

YA U* + F U* + YB U* = 0 " U*

Soit YA + F + YB = 0 ce qui correspond à

l'équation de la résultante en projection /

YC. La BorderieC

F⃗Ya

AB l ⃗Y ⃗X ⃗U∗=U∗⃗YCBA Méthode des déplacements simplifiésISA 3B A C w*Le champ de déplacements est une rotation autour de l'axe

A⃗ZW*int=0

W*ext=

()()()BURCUFAURBA ***·+·+·Et :

YaACZCUYlABZBUAU

*******0ww ww

W*ext = F aw* + YB lw*

Le PTV* donne alors :

F aw* + YB lw* = 0 " w*

Soit F a + YB l= 0 ce qui correspond à

l'équation du moment en A en projection /

ZOn obtient donc : YB = -F a/l et YA = -F (l-a)/l

La troisième équation traditionnellement obtenue à l'aide du PFS (Projection de la résultante/

X) est obtenue en utilisant comme champ de déplacement virtuel , une translation suivant l'axe X. Calcul du moment fléchissant : On écrit l'équilibre de B A Gw*C xLe champ de déplacements virtuel correspond

à une rotation ∗de [AG] autour de

l'axe Gzpour faire travailler le moment fléchissant en G. Le déplacement virtuel du point A est alorsUA∗=-x∗y

Wext∗=

Le PTV* donne alors :

Mfz∗-xYA∗=0∀∗Soit Mfz = x YA

C. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Méthode des déplacements simplifiés :

Principe :

Il s'agit, comme nous l'avons fait pour la méthode des forces, de négliger l'énergie due à

l'effort normal et à l'effort tranchant devant l'énergie due au moment fléchissant.

Cette hypothèse se traduit dans la méthode des déplacements en négligeant les déformées dues

aux effort normaux et tranchants.

Conséquences :

Conséquences sur les déplacements :

Si on néglige la déformée due à l'effort normal, on considère alors que la longueur des poutres

est conservée. On dit que la longueur des barres est invariante.IJ I J

Déformée

wij wji

Déplacement de corps rigide

Rotation des noeuds

déformée de la poutre

uij = ujiLes déplacements des noeuds de la structure sont alors liés et par exemple, dans la structure

suivante : 1 2 4X Y X3=X2

Y2=Y3=0

3u21=u12 0Y2=0

u34=u43 0Y3=0 u23=u32 0X2=X3 Conséquences sur les équations d'équilibre : Les équations faisant intervenir l'effort normal ne sont plus valables, seules sont disponibles les équations de moment. Il manque donc des équations pour résoudre le problème, ces équations peuvent être obtenues par le principe des travaux virtuels (PTV*)

C. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Notations et résultats précédents:

Efforts aux noeuds dans le repère local : actions des noeuds sur la barreIJ Vij Nij Mij Vji Nji Mji ijX ijYDéplacements des noeuds dans le repère local I J ijX ijY wij vij vji wji uij uji Attention les valeurs indiquées sont bien les projections sur les axes et par exemple vij=Ui⋅Yijest un nombre négatif pour le déplacement représenté sur la figure. La remarque est la même pour les efforts.

C. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Équations d'équilibre d'un élément de poutre{Nij=EA Lij (uij-uji)+Nij 0

Nji=EA

Lij (uji-uij)+Nji

0{Mij=4EI

Lijωij+2EI

Lijωji+6EI

Lij2(vij-vji)+Mij0

Mji=2EI

Lijωij+4EI

Lijωji+6EI

Lij2(vij-vji)+Mji0

{Vij=6EI Lij

2(ωij+ωji)+12EI

Lij

3(vij-vji)+Vij

0

Vji=-6EI

Lij

2(ωij+ωji)-12EI

Lij

3(vij-vji)+Vji

0•Relations établies en cours en utilisant par exemple la

méthode des forces •Dans ces équations : iC. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Utilisation de la méthode des déplacements simplifiés :

Illustration autour d'un exemple :O

A B C L L x yFL/2 DPortique bi encastré de longueur et de hauteur

L chargé au milieu de la poutre par une force

verticale.

L'inertie de la poutre et du poteau est I, le

module d'élasticité du matériau, E. On néglige les déformations dues à l'effort normal et à l'effort tranchant.

Prise en compte des symétries :

Le problème est symétrique par rapport à D y(géométrie, liaisons et chargement), on traitera donc la moitié du problème en imposant un déplacement de D nul en projection sur x et une rotation de D nulle. La sollicitation dans le plan de symétrie est divisée par deux. O A D x y 2

F Discrétisation :

appliquées aux noeuds et que les éléments aient un comportement connu (en général poutres droites).

·On met en place le repère local.

·On écrit les conditions de liaisons aux noeuds. ·On écrit l'invariance de la longueur des barres. liberté.

C. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 31 2 3 x y2 F 1 212x

12yÉlément [1-2]

Conditions limites :

u12=Y1=0 v12=-X1=0 w12=0

Longueurs de barres invariantes :

u21-u12=0 => Y2=0 3 2

2 3x2 3yÉlément [2-3]

Conditions limites :

u32=X3=0 w32=0

Longueurs de barres invariantes :

u23-u32=0 => X2=0 Il reste 2 déplacements/rotation ou degrés de liberté indépendants :

Écriture des équations du PTV* :

On écrit les équations correspondantes aux déplacements générés par les degrés de libertés

indépendants en considérant que les élément de poutre sont rigides et articulés entre eux :

1 2 3 W2*Le champ de déplacement virtuel correspond à la rotation du noeud 2 sans que les éléments [1-2] et [2-3] ne se déplacent. Seuls les moments M23 et M21 travaillent, les efforts extérieurs ne travaillent pas. -M23 W2*-M21W2*=0 soit (1)M23 +M21=0 1 2 3 Y3 *L'élément [2-3]tourne autour de 2 de façon à déplacer le noeud 3 de Y3*.

La rotation de l'élément est L/2Y*

3

Le travail des efforts extérieurs est :

Wext*=FY3*/2

Le travail des efforts intérieurs est :

Wint*=(M23 +M32)

L/2 Y*

3Soit :(2)FL + 4(M23 +M32)=0

C. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 3

Équilibre des éléments :

On écrit les valeurs des moments en fonction des déplacements et des rotation à l'aide de la

matrice de rigidité.{Mij=4EI Lij

ωij+2EI

Lij

ωji+6EI

Lij

2(vij-vji)

Mji=2EI

Lij

ωij+4EI

Lij

ωji+6EI

Lij

2(vij-vji)Elément [1-2]

221
212
4 2 w w L EIM L

EIMElément [2-3] (Attention à L/2)

32232
32223
244
248
YL EI L EIM YL EI L EIM w wRésolution: On remplace les valeurs des moments dans les équations données par le PTV* {(1)→8EI

Lω2-24EI

L2Y3+4EI

Lω2=0

(2)→FL+4(8EI

Lω2-24EI

L2Y3+4EI

Lω2-24EI

L2Y3)=0

{(1)→12EI

Lω2-24EI

L2Y3=0

(2)→4(12EI

Lω2-48EI

L2Y3)=-FL

{Y3=FL3 96EI

ω2=FL2

48EI
Calcul des efforts et des moments dans les poutres: On peut alors calculer les moments et efforts tranchants dans les poutres en introduisant la valeur des degrés de liberté dans les équations d'équilibre des poutres. Par contre on ne peut pas calculer directement l'effort normal.

C. La Borderie

Méthode des déplacements simplifiésISA 3ïï 6 244
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