Dérivation des fonctions
Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.
Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b]. Alors pour tout réel ? compris entre f(a) et f(b)
Dérivabilité
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ? I. • Si f est dérivable en x0 alors f?(x0) est le coefficient directeur de la tangente à
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
3.1 Fonctions dérivables. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Sur un intervalle. Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé on demande de montrer qu'une fonction est
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.
Dérivation
1.2 Dérivabilité à gauche et à droite . 2 Dérivabilité sur un intervalle. 5. 2.1 Définition et dérivabilité des fonctions de référence .
DÉRIVATION (Partie 2)
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Fonctions dérivables 1 Calculs
sur l'intervalle [ab] préciser le nombre “c” de ]a
Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la variable
26 déc. 2012 Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle compact [a b]
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Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I On dit que f est dérivable
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On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I
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IV Dérivabilité sur un intervalle L'un des usages principaux de la dérivée f d'une fonction f : I ? R consiste à étudier les variations de f On
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Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I • f est constante sur I ?? f = 0 sur I • f est croissante sur I ?? f ? 0
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Une fonction dérivable en admet une tangente en et le nombre dérivé en est la pente de cette Proposition 1 3 Dérivabilité sur un intervalle
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Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un intervalle
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire.Exemple
Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8+x est dérivable sur ][+¥-;8 . La fonctio est le produit d'un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d'une racine continue sur ][+¥-;8 donc elle est dérivable sur ][+¥-;8 . Attention : vous remarquerez la différence entre l'exemple de la continuité et celui-ci : l'intervalle d'étude est totalement ouvert !En un point
Là encore, il n'y a qu'une chose à faire : connaître la formule et l'utiliser Une fonction est dérivable en a si et seulement si ax afxf ax- )()(lim est un nombre finiExemple
Montrer que la fonction f(x) = xx²est dérivable en 0§ On commence par calculer 0
)0()( x fxf puis on étudie sa limite en 0 : xxx xx x fxf==- 0 )0()( et 0lim 0=®xx
x § Ensuite on regarde si la limite trouvée est un nombre fini : 0 est bien un nombre fini. § On conclut : f est dérivable en 0 et f '(0) = 0Dérivabilité et conséquence graphique
Lorsqu'une fonction est dérivable en a, f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a. En particulier, si f '(a) = 0, la tangente est horizontale. Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ¥=-®ax
afxf ax )()(lim, la courbe de f admet au point d'abscisse a une tangente verticale . Visualisons pourquoi la tangente est verticale dans ce cas On sait que le coefficient directeur correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la droite . Sur le graphique suivant , on a tracé des droites de coefficient directeur de plus en plus grand , on s'aperçoit que ces droites s'approchent de la verticale , donc un coefficient directeur infini conduit à une droite verticale .La droite rose a pour coefficient : 0,5
La droite rouge : 1
La droite bleue :1,5
La droite verte : 3
Dérivabilité des fonctions
Exemple 1
Soit f(x) = 1²+x . Etudier la dérivabilité de f en 0 ()()()()11²11²11²
11²11²11²
0 )0()( x x xx x xx xx x x x fxf211²lim
0=++ ®x x donc 011²lim0=++®x
x x La fonctio est donc dérivable en 0 et f '(0) = 0 Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontaleExemple 2
Soit f(x) = 1+x . Etudier la dérivabilité de f en - 1 1 1 1 1 1 )1()( xx x x fxf et + -®=+01lim 1x x donc +¥=-- +-®)1( )1()(lim 1x fxf xLa fonctio n'est pas dérivable en - 1
La courbe de f admet une tangente verticale au point d'abscisse - 1 .Exemple 3
Soit f(x) = 1-x . Etudier la dérivabilité en 1 11 1 1 )1()(=- x x x fxf si x > 1 et 11 1 1 )1()(-=- x x x fxf si x < 1 .Donc 11
)1()(lim 1-=- -®x fxf x et 11 )1()(lim 1=- +®x fxf x .La fonctio n'est pas dérivable en 1 car les limites à gauche et à droite sont différentes
La courbe admet deux demi-tangentes .
Exercices
Exercice 1
1) Soit la fonctio définie par f(x) = ÷ø
ae xx1sin si x ¹0 et f(0) = 0 . Etudier la dérivabilité de f en 0 .2) Soit la fonction f(x) = x . Etudier la dérivabilité de f en 0
3) Soit la fonction f définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = x - 1 si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .4) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³0 et f(x) = x si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .5) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = - x² si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .Dérivabilité des fonctions
Exercice 2
Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses :1) La fonctio définie par f(x) = 1²
1 x x est continue en 12) La fonctio définie par f(x) = 1
1² x x est continue en 1 3) 5 4 4554lim=-
+¥®x x x4) +¥=+
1limx x x5) Si +¥=
¥+ulim et u < v alors +¥=
¥+vlim
6) Si +¥=
¥+ulim et v < u alors +¥=
¥+vlim
7) La fonction g(x) = 1²
cos +x x n'a pas de limite en ¥+8) 0lim®x1²
cos +x x = 19) La courbe de la fonction f(x) = 1²
1²2
x x admet trois asymptotes10) La courbe de la fonction f(x) = 1²2
1² x x admet trois asymptotes11) La dérivée de cos(x²) est - 2 x sin(x²)
12) La dérivée de cos² x est - 2 x sin(x²)
13) La dérivée de 42
1 +x est ()342 1 +x14) La dérivée de tan x est tan² x - 1
15) 01coslim0=-
®x x x16) La dérivée seconde de ( x² - 4 ) ( 2x - 3 ) est 6 ( 2x - 1 )
17) La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe de la fonction f(x) = x3 + x + 1 a pour
équation y = 4x - 1
18) La fonction f(x) = 1-xx est dérivable sur [[+¥;1
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