[PDF] Fonctions dérivables 1 Calculs





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Dérivation des fonctions

Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.



Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b]. Alors pour tout réel ? compris entre f(a) et f(b)



Dérivabilité

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ? I. • Si f est dérivable en x0 alors f?(x0) est le coefficient directeur de la tangente à 



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

3.1 Fonctions dérivables. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction



Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un

Sur un intervalle. Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé on demande de montrer qu'une fonction est 



Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.



Dérivation

1.2 Dérivabilité à gauche et à droite . 2 Dérivabilité sur un intervalle. 5. 2.1 Définition et dérivabilité des fonctions de référence .



DÉRIVATION (Partie 2)

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.



Fonctions dérivables 1 Calculs

sur l'intervalle [ab] préciser le nombre “c” de ]a



Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la variable

26 déc. 2012 Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle compact [a b]



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:
Fonctions dérivables 1 Calculs Exo7

Fonctions dérivables

1 Calculs

Exercice 1Déterminera;b2Rde manière à ce que la fonctionfdéfinie surR+par : f(x) =pxsi 06x61 etf(x) =ax2+bx+1 six>1 soit dérivable surR+.

Soitf:R!Rdéfinie parf(x) =x2sin1x

. Montrer quefest prolongeable par continuité en 0 ; on note encorefla fonction prolongée. Montrer quefest dérivable surRmais quef0n"est pas continue en 0. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : f

1(x) =x2cos1x

;six6=0 ;f1(0) =0; f

2(x) =sinxsin1x

;six6=0 ;f2(0) =0; f

3(x) =jxjpx

22x+1x1;six6=1 ;f3(1) =1:

Soitn>2 un entier fixé etf:R+= [0;+¥[!Rla fonction définie par la formule suivante: f(x) =1+xn(1+x)n;x>0: 1. (a) Montrer que fest dérivable surR+et calculerf0(x)pourx>0: (b) En étudiantlesignedef0(x)surR+;montrerquefatteintunminimumsurR+quel"ondéterminera. 2. (a)

En déduire l"inég alitésui vante:

(1+x)n62n1(1+xn);8x2R+: (b)

Montrer que si x2R+ety2R+alors on a

(x+y)n62n1(xn+yn):

2 Théorème de Rolle et accroissements finis

Exercice 5Montrer que le polynômeXn+aX+b, (aetbréels) admet au plus trois racines réelles.

Montrer que le polynômePndéfini par

P n(t) =h1t2ni(n)

est un polynôme de degréndont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à[1;1].

Dans l"application du théorème des accroissements finis à la fonction f(x) =ax2+bx+g

sur l"intervalle[a;b]préciser le nombre "c" de]a;b[. Donner une interprétation géométrique.

Soientxetyréels avec 0 1.

Montrer que

xDe l"étude defdéduire que pour toutade]0;1[

alnx+(1a)lnyInterprétation géométrique ? Exercice 9Déterminer les extremums def(x) =x4x3+1 surR. Soientf;g:[a;b]!Rdeux fonctions continues sur[a;b](a0(x)6=0 pour toutx2]a;b[: 1.

Montrer que g(x)6=g(a)pour toutx2]a;b[:

2

2.Posons p=f(b)f(a)g(b)g(a)et considérons la fonctionh(x)=f(x)pg(x)pourx2[a;b]:Montrer quehvérifie

les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu"il existe un nombre réelc2]a;b[tel que

f(a)f(b)g(a)g(b)=f0(c)g 0(c): 3.

On suppose que lim

x!bf0(x)g

0(x)=`;où`est un nombre réel. Montrer que

lim x!bf(x)f(b)g(x)g(b)=`:

4.Application.Calculer la limite suivante:

lim x!1arccosxp1x2:

On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par

f(t) =( e1=tsit<0

0 sit>0

1. Démontrer que fest dérivable surR, en particulier ent=0. 2.

Etudier l"e xistencede f00(0).

3. On v eutmontrer que pour t<0, la dérivéen-ième defs"écrit f (n)(t) =Pn(t)t

2ne1=t

oùPnest un polynôme. (a)

T rouverP1etP2.

(b) T rouverune relation de récurrence entre Pn+1;PnetP0npourn2N. 4.

Montrer que fest de classeC¥.

Indication pourl"exer cice1 NVous avez deux conditions : il faut que la fonction soit continue (car on veut qu"elle soit dérivable donc elle

doit être continue) et ensuite la condition de dérivabilité proprement dite.Indication pourl"exer cice2 Nfest continue en 0 en la prolongeant parf(0) =0.fest alors dérivable en 0 etf0(0) =0.Indication pourl"exer cice3 NLes problèmes sont seulement en 0 ou 1.f1est dérivable en 0 mais pasf2.f3n"est dérivable ni en 0, ni en 1.Indication pourl"exer cice5 NOn peut appliquer le théorème de Rolle plusieurs fois.

Indication pour

l"exer cice

6 NIl faut appliquer le théorème de Rolle une fois au polynôme(1t2)n, puis deux fois à sa dérivée première, puis

trois fois à sa dérivée seconde,...Indication pourl"exer cice8 N1.Utiliser le théorème des accroissements finis a vecla fonction t7!lnt

2.

Montrer d"abord que f00est négative. Se servir du théorème des valeurs intermédiaires pourf0.Indication pourl"exer cice10 N1.Raisonner par l"absurde et appliquer le théorème de Rolle.

2.

Calculer h(a)eth(b).

3.

Appliquer la question 2. sur l"interv alle[x;b].

4.

Calculer f0etg0.4

Correction del"exer cice1 NLa fonctionfest continue et dérivable sur]0;1[et sur]1;+¥[. Le seul problème est enx=1.

Il faut d"abord que la fonction soit continue enx=1. La limite à gauche est limx!1px= +1 et à droite

lim x!1+ax2+bx+1=a+b+1. Donca+b+1=1. Autrement ditb=a.

Il faut maintenant que les dérivées à droite et à gauche soient égales. Comme la fonctionfrestreinte à]0;1]

est définie parx7!pxalors elle est dérivable à gauche et la dérivée à gauche s"obtient en évaluant la fonction

dérivéex7!12 px enx=1. Doncf0g(1) =12 Pour la dérivée à droite il s"agit de calculer la limite du taux d"accroissement f(x)f(1)x1, lorsquex!1 avec x>1. Orf(x)f(1)x1=ax2+bx+11x1=ax2axx1=ax(x1)x1=ax:

Doncfest dérivable à droite etf0d(1) =a. Afin quefsoit dérivable, il faut et il suffit que les dérivées à droite

et à gauche existent et soient égales, donc ici la condition esta=12 Le seul couple(a;b)que rendfdérivable sur]0;+¥[est(a=12 ;b=12 ).Correction del"exer cice2 NfestC¥surR. 1. Comme jsin(1=x)j61 alorsftend vers 0 quandx!0. Donc en prolongeantfparf(0) =0, la fonction fprolongée est continue surR. 2.

Le taux d"accroissement est

f(x)f(0)x0=xsin1x Comme ci-dessus il y a une limite (qui vaut 0) enx=0. Doncfest dérivable en 0 etf0(0) =0. 3. Sur R,f0(x) =2xsin(1=x)cos(1=x), Doncf0(x)n"a pas de limite quandx!0. Doncf0n"est pas

continue en 0.Correction del"exer cice3 N1.La fonction f1est dérivable en dehors dex=0. En effetx7!1x

est dérivable surRetx7!cosxest dérivable surR, donc par compositionx7!cos1x est dérivable surR. Puis par multiplication par la

fonction dérivablex7!x2, la fonctionf1est dérivable surR. Par la suite on omet souvent ce genre de

discussion ou on l"abrège sous la forme "fest dérivable surIcomme somme, produit, composition de

fonctions dérivables surI". Pour savoir sif1est dérivable en 0 regardons le taux d"accroissement: f

1(x)f1(0)x0=xcos1x

Maisxcos(1=x)tend vers 0 (six!0) carjcos(1=x)j61. Donc le taux d"accroissement tend vers 0.

Doncf1est dérivable en 0 etf01(0) =0.

2. Encore une fois f2est dérivable en dehors de 0. Le taux d"accroissement enx=0 est : f

2(x)f2(0)x0=sinxx

sin1x

Nous savons que

sinxx !1 et que sin1=xn"a pas de limite quandx!0. Donc le taux d"accroissement n"a pas de limite, doncf2n"est pas dérivable en 0. 3.

La fonction f3s"écrit :

f

3(x) =jxjjx1jx1:

5 •Donc pour x>1 on af3(x) =x; pour 06x<1 on af3(x) =x; pourx<0 on af3(x) =x.

La fonction f3est définie, continue et dérivable surRnf0;1g. Attention ! La fonctionx7! jxjn"est

pas dérivable en 0. La fonction f3n"est pas continue en 1, en effet limx!1+f3(x) = +1 et limx!1f3(x) =1. Donc la fonction n"est pas dérivable en 1. La fonction f3est continue en 0. Le taux d"accroissement pourx>0 est f

3(x)f3(0)x0=xx

=1 et pourx<0, f

3(x)f3(0)x0=xx

= +1:

Donc le taux d"accroissement n"a pas de limite en 0 et doncf3n"est pas dérivable en 0.Correction del"exer cice4 N1.(a) Il est clair que la fonction fest dérivable surR+puisque c"est une fonction rationnelle sans pôle

dans cet intervalle. De plus d"après la formule de la dérivée d"un quotient, on obtient pourx>0 :

f

0(x) =n(xn11)(1+x)n+1:

(b) P arl"e xpressionprécédente f0(x)est du signe dexn11 surR+:Par conséquent on obtient: f

0(x)60 pour 06x61 etf0(x)>0 pourx>1:Il en résulte quefest décroissante sur[0;1]et

croissante sur[1;+¥[et par suitefatteint son minimum surR+au point 1 et ce minimum vaut f(1) =21n: 2. (a) Il résulte de la question 1.b que f(x)>f(1)pour toutx2R+et donc (1+x)n62n1(1+xn): (b)

En appliquant l"inég alitéprécédente a vecx=b=a;on en déduit immédiatement l"inégalité requise

(le cas du couple(0;0)étant trivial).Correction del"exer cice5 N1.P arl"absurde on suppose qu"il y a (au moins) quatre racines distinctes pour Pn(X)=Xn+aX+b. Notons

lesx1

existex01 x

02etx03. On obtient deux racines distinctes pourP00n. OrP00n=n(n1)Xn2ne peut avoir que 0 comme

racines. Donc nous avons obtenu une contradiction.

2.Autre méthode :Le résultat est évident sin63:On suppose doncn>3:SoitPnl"applicationX7!

X n+aX+bdeRdans lui-même. AlorsP0n(X) =nXn1+as"annule en au plus deux valeurs. DoncPn

est successivement croissante-décroissante-croissante ou bien décroissante-croissante-décroissante. Et

doncPns"annule au plus trois fois.Correction del"exer cice6 NQ

n(t) = (1t2)nest un polynôme de degré 2n, on le dérivenfois, on obtient un polynôme de degrén. Les

valeurs1 et+1 sont des racines d"ordrendeQn, doncQn(1) =Q0n(1) =:::=Q(n1)n(1) =0. Même chose

en1. EnfinQ(1) =0=Q(+1)donc d"après le théorème de Rolle il existec2]1;1[telle queQ0n(c) =0.

6

DoncQ0n(1) =0,Q0n(c) =0,Q0n(1) =0. En appliquant le théorème de Rolle deux fois (sur[1;c]et sur

[c;+1]), on obtient l"existence de racinesd1;d2pourQ00n, qui s"ajoutent aux racines1 et+1.

On continue ainsi par récurrence. On obtient pourQ(n1)n,n+1 racines:1;e1;:::;en1;+1. Nous appliquons

le théorème de Rollenfois. Nous obtenonsnracines pourPn=Q(n)n. Comme un polynôme de degréna au

plusnracines, nous avons obtenu toutes les racines. Par constructions ces racines sont réelles distinctes, donc

simples.Correction del"exer cice7 NLa fonctionfest continue et dérivable surRdonc en particulier sur[a;b]. Le théorème des accroissement finis

assure l"existence d"un nombrec2]a;b[tel quef(b)f(a) =f0(c)(ba).

Mais pour la fonction particulière de cet exercice nous pouvons expliciter cec. En effetf(b)f(a)=f0(c)(b

a)impliquea(b2a2)+b(ba) = (2ac+b)(ba). Doncc=a+b2 Géométriquement, le graphePdefest une parabole. Si l"on prend deux pointsA= (a;f(a))etB=

(b;f(b))appartenant à cette parabole, alors la droite(AB)est parallèle à la tangente enPqui passe en

M= (a+b2

;f(a+b2

)). L"abscisse deMétant le milieu des abscisses deAetB.Correction del"exer cice8 N1.Soit g(t)=lnt. Appliquonslethéorèmedesaccroissementsfinissur[x;y]. Ilexistec2]x;y[,g(y)g(x)=

g

0(c)(yx). Soit lnylnx=1c

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