[PDF] Dérivation 1.2 Dérivabilité à gauche

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Chapitre 11

Dérivation

Table des matières

1 Dérivabilité en un point3

1.1 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Dérivabilité à gauche et à droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Continuité et dérivabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Dérivabilité sur un intervalle

5

2.1 Définition et dérivabilité des fonctions de référence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Opérations sur les fonctions dérivables

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Opérations algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Dérivée d"une composée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Dérivée de la réciproque d"une fonction dérivable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Théorème de Rolle et accroissements finis

7

3.1 Théorème de Rolle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Théorème et Inégalité des accroissements finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Monotonie et signe de la dérivée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2DérivationECS1 - Mathématiques

Dérivation31 Dérivabilité en un point

1.1 DéfinitionDéfinition 1. (Dérivabilité en un point)

Soitfune fonction définie sur un intervalleInon réduit à un point et soitx0?I.

On dit quefest dérivable enx0lorsque le rapportf(x)-f(x0)x-x0, défini pourx?=x0et appelétaux d"accrois-

sement defentrexetx0, admet une limite finie quandxtend versx0. Cette limite est alors appeléenombre dérivé defenx0, notéf?(x0).

Sous réserve d"existence, on a donc :f

?(x0) =ou, de manière équivalente : f ?(x0) =Exercice de cours 1.

Prouver que la fonction racine carrée est dérivable en tout réelx0>0et retrouver la formule de sa

dérivée. Prouver que la fonction racine carrée n"est pas dérivable en0.Remarque.

Sifest dérivable enx0, la courbe defadmet une tangente au pointM0(x0,f(x0))de coefficient directeur

f

?(x0). Cette tangente a alors pour équation :Si la limite du taux d"accroissement enx0est±∞, la courbe defpossède alors une tangente verticale au

pointM0(x0,f(x0)).ECS1 - Mathématiques

4Dérivation1.2 Dérivabilité à gauche et à droite

Définition 2. (Dérivabilité à gauche, à droite) Soitfune fonction définie sur un intervalleInon réduit à un point et soitx0?I.

On dit quefest dérivable à droite (resp. à gauche) enx0lorsque le rapportf(x)-f(x0)x-x0admet une limite finie

quandxtend versx0par la droite (resp. par la gauche).

Cette limite est alors appeléenombre dérivé à droite (resp. à gauche) defenx0, notéf?d(x0)(resp.f?g(x0)).Remarque.Sifest dérivable à droite (resp. à gauche) enx0, la courbe defadmet une demi-tangente au

pointM0(x0,f(x0))de coefficient directeurf?d(x0)(resp.f?g(x0)). Cette demi-tangente a la même équation que

dans le cas dérivable, en remplaçantf?(x0)parf?d(x0)(resp. parf?g(x0)).Exemple 1.Déterminer graphiquementf?g(1)etf?d(1):Proposition 1. (Caractérisation de la dérivabilité par la dérivabilité à gauche et à droite)

Soitfune fonction définie sur un intervalleInon réduit à un point et soitx0un point intérieur àI.

fest dérivable enx0??? ?fest dérivable à gauche et à droite enx0 et f ?d(x0) =f?g(x0).

Dans ce cas :f?(x0) =f?d(x0) =f?g(x0).Exemple 2.

f:x?→ |x|admet une dérivée à gauche et à droite en0:f?g(0) =etf?d(0) =Donc la fonction valeur absolue n"est pas dérivable en0.ECS1 - Mathématiques

Dérivation51.3 Continuité et dérivabilité

Proposition 2. (Dérivable implique continue)

Sifest dérivable enx0alorsfest continue enx0.Attention !La réciproque est fausse. Par exemple,f:x?→ |x|est continue en0mais pas dérivable en0.

2 Dérivabilité sur un intervalle

2.1 Définition et dérivabilité des fonctions de référenceDéfinition 3. (Dérivabilité sur un intervalle)

On dit quefest dérivable sur un intervalleIsifpossède un nombre dérivé en tout point deI.Exemple 3.

La fonctionf:x?→ |x|est dérivable surProposition 3. (Dérivabilité des fonctions de référence)

Toutes les fonctions de référence sont dérivables sur leur domaine de définition sauf : La fonction racine carré, non dérivable en0. La fonction valeur absolue, non dérivable en0(mais dérivable à gauche et à droite en0). La fonction partie entière, non dérivable car non continue en toutx0entier.

2.2 Opérations sur les fonctions dérivables

2.2.1 Opérations algébriquesProposition 4. (Opérations algébriques sur les fonctions dérivables.)

Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI. Pour tout réelλ,λuest dérivable et :(λu)?=. u+vest dérivable et(f+g)?=. uvest dérivable et(fg)?=. sivne s"annule pas surI, alors1v est dérivable et?1v sivne s"annule pas surIalors alorsuv est dérivable et?uv =ECS1 - Mathématiques

6DérivationExemple 4.Soit?la fonction définie surRpar :

?(x) =?4xe-2xsix >0 Montrer que?est dérivable surR.2.2.2 Dérivée d"une composée

Proposition 5. (Dérivée d"une composée)

Soitudérivable surIetfdérivable surf(I). La fonctionf◦uest dérivable surIet on a : f(u)? ?=En particulier, on a : (eu)?=. (lnu)?=. ?⎷u (cosu)?=. (sinu)?=. (tanu)?=2.2.3 Dérivée de la réciproque d"une fonction dérivable Proposition 6. (Dérivée de la réciproque d"une fonction dérivable) Soitfune fonction continue et strictement monotone (donc bijective) deIsurJ=f(I). Si ?fest dérivable surI et f ?ne s"annulle pas surIalors? ??f -1est dérivable surJ et ?x?J,? f-1??(x) =Proposition 7. (Dérivée de la fonction arctan)

La fonctionarctanest dérivable surRet :

?x?R,arctan?(x) =ECS1 - Mathématiques Dérivation73 Théorème de Rolle et accroissements finis

3.1 Théorème de RolleProposition 8. (Lemme 1 : fonction dérivable ayant un maximum en un point intérieur)

Soita,b?I,a < b,

Si ?fest dérivable sur]a,b[

fatteint un maximumMen un réelα?]a,b[alorsf?(α) =Proposition 9. (Lemme 2 : fonction dérivable ayant un minimum en un point intérieur)

Soita,b?I,a < b,

Si ?fest dérivable sur]a,b[ fatteint un minimummen un réelα?]a,b[alorsf?(α) =Proposition 10. (Théorème de Rolle)

Soita,b?I,a < b,

Si ??fest continue sur[a,b] fest dérivable sur]a,b[ f(a) =f(b)alorsExercice de cours 2.

Soientn?N?etC0, C1,...,Cndes réels tels quen?

k=0C kk+ 1= 0.

Montrer qu"il existex?]0,1[tel quen?

k=0C kxk= 0.ECS1 - Mathématiques

8Dérivation3.2 Théorème et Inégalité des accroissements finis

Proposition 11. (Théorème des Accroissements finis)

Soita,b?I,a < b,

Si ?fest continue sur[a,b]

fest dérivable sur]a,b[alorsProposition 12. (Inégalité des Accroissements finis - version 1)

Soita,b?I,a < b,

Si ??fest continue sur[a,b] fest dérivable sur]a,b[

Soita,b?I,a < b,

Si ??fest continue sur[a,b] fest dérivable sur]a,b[ Dérivation9Exercice de cours 3. Équivalent de la série harmonique et constante d"Euler

On définit la suite(Hn)n≥1par :

?n≥1, Hn=n? k=11k

Cette suite s"appelle "la série harmonique".

1. 2.

En déduire que p ourtout entier k≥2,1k

3. 4. En déduire limn→+∞Hnpuislimn→+∞H nlnn. 5.

On p oseun=Hn-lnn.

Montrer que(un)est décroissante et minorée. En déduire qu"elle converge. Sa limite est appelée la constante d"Euler et se noteγ. 6.

On p osevn= ln(n+ 1)-Hn.

Montrer que(un)et(vn)sont adjacentes. En déduire que(vn)converge versγ. 7.

Prop oseralo rsun p rogrammeScilab qui d emandela p récisionsouhaitée affiche une valeur app rochée

deγavec la précision demandée. On calculera pour cela les suitesunetvnjusqu"à ce queun-vn

soit inférieur à la précision demandée.Exercice de cours 4.

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer un théorème que nous avons pourtant déjà beaucoup utilisé :Proposition 14. (Monotonie et signe de la dérivée)

SoientIun intervalle (pas forcément fermé) d"extrémitésaetbaveca < b,etfune fonction continue surIet

dérivable sur]a,b[.

1.fest constante surIsi et seulement si2.fest croissante (resp. décroissante) surIsi et seulement si3.fest strictement croissante (resp. strictement décroissante) surIsi et seulement siAttention !Ces résultats sont uniquement valables sur un intervalle! Une fonction peut-être de dérivée nulle

sans être constante pour autant, comme le montre l"exemple suivant :ECS1 - Mathématiques

10DérivationExercice de cours 5.Prouver que pour tout réelx?R?:

arctanx+ arctan1x ?π2 six >0, π2 six <0.ECS1 - Mathématiquesquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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