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Chapitre 14 : Dérivée des fonctions trigonométriques

verrez ayant compris les dérivées des fonctions sinus et cosinus



Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions trigonométriques

Dans ce dernier chapitre nous étudierons les dérivées des fonctions réciproques ou inverses de sinus



Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

G) Fonction coth (cotangente hyperbolique) sh réalise une bijection de classe c8 strictement croissante de R dans R dont la dérivée ne s'annule.



Dérivée des fonctions trigonomé- triques

Dérivée des fonctions trigonomé- La dérivée de la fonction sinus est ... Les preuves des formules de dérivations de sec(x) csc(x) et cotan(x) sont ...



Etude des fonctions usuelles (3 partie)

cotan x en (T + x). Fonction cotan x tan x en (?. 2 ¡x). Fonction. - cotan x. - tan x en (?. 2 x). Ens. de. Rzt?. 2 k?; k €Zu. Rz?Z dérivabilité. Dérivée.



Untitled

hyperbolique tangente hyperbolique et cotangente N'oublions pas toutefois que la première (et donc aussi sa dérivée) est définie sur ]-1.1



Trigonométrie circulaire

Par définition la tangente (resp. la cotangente) du réel x est la mesure L'expression explicite de sin“x + n?2” est aussi la dérivée n-ème de la ...



Formulaire de trigonométrie

A partir de la dérivée de la fonction tangente et de cette définition on obtient la dérivée de la cotangente sur son ensemble de définition



Table des matières 1 Définitions

Les dérivées des fonctions usuelles permettent de trouver les primitives Calculer la dérivée de la fonction cotangente cot(x) et en déduire une prim-.



Dérivation et fonctions trigonométriques

Si c'est le cas cette limite est appelé nombre dérivé de f en x0





[PDF] Chapitre 14 : Dérivée des fonctions trigonométriques

ce présent chapitre l'étude des dérivées de ces trois fonctions 14 3 Dérivée des fonction tangente cotangente sécante et cosécante



[PDF] Fonctions dérivables - LMPA

(tangente hyperbolique de x) et x ?? coth(x) = ch(x) sh(x) (cotangente hyperbolique de x définie pour x = 0) dont les dérivées sont



[PDF] Chapitre9 : Dérivation - Melusine

Chapitre9 : Dérivation Dans tout ce chapitre les fonctions sont à valeurs dans R définies sur un intervalle de R I et J désignent des intervalles 



[PDF] Les fonctions de référence

Les fonctions sinus cosinus tangente et cotangente sont appellées fonctions circulaires car ce sont les fonctions de la trigonométrie circulaire 5 1 Les 



[PDF] Trigonométrie circulaire

Par définition la tangente (resp la cotangente) du réel x est la mesure L'expression explicite de sin“x + n?2” est aussi la dérivée n-ème de la 



[PDF] Etude des fonctions usuelles (3 partie)

Les fonctions circulaires sont les fonctions cosinus (cos) sinus (sin) tangente (tan) et cotan- gente (cotan) Quelques valeurs usuelles Angle en °



[PDF] Dérivée des fonctions trigonomé- triques - Prof Delbecque

Les dérivées des autres fonctions trigonométriques sont trouvées en utilisant leur définition des identités algébriques et les formules de dérivation connues



Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques - Gecifnet

La cotangente la sécante et la cosécante ne sont que les fonctions inverses des 3 fonctions de base : - la cotangente est l'inverse de la tangente

  • Quel est la dérivée de Cotangente ?

    La dérivée de la cotangente d'une fonction f (x) est égale à la cosécante de ladite fonction au carré, multipliée par la dérivée de f (x), et également multipliée par -1.

  • Comment on dérivé f ? g ?

    Plus généralement, si f et g sont deux fonctions dérivables sur une partie I de R, alors f + g est aussi dérivable sur I et, sur I, sa dérivée est la somme de celle de f et de celle de g. (?f + µg) = ?f + µg .

  • Quel est la dérivée de cos ?

    La dérivée de cosinus est égale à un sinus négatif, et la dérivée de sinus est égale à un cosinus positif.
  • Règle : La règle de dérivation en chaîne
    Pour deux fonctions dérivables �� ( �� ) et �� ( �� ) , la dérivée de leur fonction composée �� ( �� ( �� ) ) est : d d d d d d �� ( �� ( �� ( �� ) ) ) = �� �� �� �� . On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime : ( �� ( �� ) ) ? = �� ? ( �� ) �� ? .
[PDF] Etude des fonctions usuelles (3 partie)

Etude des fonctions usuelles (3`emepartie)

Fonctions circulaires

Les fonctions circulaires sont les fonctions cosinus (cos), sinus (sin), tangente (tan) et cotan- gente (cotan).Quelquesvaleursusuelles

Angle en °030456090180

Angle en rad06432

cosx1?3 2?2

2120?1sinx012?2

2?3 210
tanx0?3 31?30
cotanx?31?3 30
1 Soitf?x? ?cosx g?x? ?sinxFonctionsf?x? ?cosxg?x? ?sinxEns. deRR définition Fonctioncosx- sinxen (T -x)Fonctioncosxsinxen (T +x)Fonctionsinxcosxen ( 2 ?x)Fonction- sinxcosxen ( 2 ?x)Ens. deRR dérivabilité

Dérivéef

??x? ?- sinxg ??x? ?cosxDérivée def?x?=cos(u?x?)g?x?=sin(u?x?)composéef ??x?=-u"?x?.sin(u?x?)g ??x?=u"?x?.cos(u?x?)fonction ?Cosinus f?x? ?cosx Df?R ?x?Df; x?2?Dfcos?x?2? ?cos?x?d"oùfest 2-périodique. ?x?Df;?x?Df; f??x? ?cos??x? ?cos?x? ?f?x?d"oùfest paire. f?2 ?x??f?2 ?x?2 ?0 donc I?2 ; 0?est centre de symétrie deCf. D"après la périodicité, on peut restreindre l"étude defsur??;?, la parité defnous permet de restreindre le domaine d"étude à?0;?et la symétrie centrale de centre I?2 ; 0? permet de restreindre l"étude defau domaine d"étude?0;2 ?.x

Signe def??x?Sens de variation def02

1100
?Sinus g?x? ?sinx Dg?R ?x?Dg; x?2?Dgsin?x?2? ?sin?x?d"oùgest 2-périodique. ?x?Dg;?x?Dg; g??x? ?sin??x? ? ?sin?x? ? ?g?x?d"oùgest impaire. g?2 ?x? ?g?2 ?x?doncx?2 est axe de symétrie deCg. D"après la périodicité, on peut restreindre l"étude degsur??;?, la parité degnous permet de restreindre le domaine d"étude à?0;?et la symétrie axiale d"axex?2 permet 2 de restreindre l"étude degau domaine d"étude?0;2 ?.x

Signe deg??x?Sens de variation deg02

0011

Représentationsgraphiquesdesfonctionscosinus(Cf)etsinus(Cg)Pour obtenirCg:y?sinx, l"axe des abscisses reste le même mais l"axe des ordonnées est

translaté de?2 ??i. OuCgs"obtient à partir deCfpar translation de vecteur2 ??i. 3 Soith?x? ?tanx i?x? ?cotanxFonctionsh?x? ?tanxi?x? ?cotanxEns. deR??2 ?k;k?Z?R?Zdéfinition Fonction- tanx- cotanxen (T -x)Fonctiontanxcotanxen (T +x)Fonctioncotanxtanxen ( 2 ?x)Fonction- cotanx- tanxen ( 2 ?x)Ens. deR??2 ?k;k?Z?R?Zdérivabilité

Dérivéeh

??x? ?1?tan2xi ??x? ? ?1?tan2x? 1cos 2x? ?1sin

2xDérivée deh?x?=tan(u?x?)i?x?=cotan(u?x?)composéeh

??x?=u"?x?.(1+tan2u?x?)i ??x?=-u"?x?.(1+cotan2u?x?)de fonctionh ??x?=u??x?cos

2u?x?i

??x?=?u??x?sin

2u?x??Tangente

h?x? ?tanx Dh?R???2k?1?2 ;k?Z? ?x?Dh; x??Dhtan?x?? ?tan?x?d"oùhest-périodique. ?x?Dh;?x?Dh; h??x? ?tan??x? ? ?tan?x? ? ?h?x?d"oùhest impaire. On peut donc restreindre l"étude dehà l"intervalle d"étude I=?0;2 h?0? ?0 lim x?2 x?2 h?x? ? ??.x

Signe deh??x?Sens de variation deh02

00?? ?Cotangente i?x? ?cotanx Di?R?Z ?x?Di; x??Dicotan?x?? ?cotan?x?d"oùiest-périodique0?Zet?Z ?x?Di;?x?Di; i??x? ? ?i?x?d"oùiest impaire. On peut donc restreindre l"étude deià l"intervalle?0;2 limx?0?i?x? ? ??i?2 ? ?0. 4 x

Signe def??x?Sens de variation def02

??00 Courbe représentative de la fonction tangenteCourbe représentative de la fonction cotangente 5

Exercice d"application

g?x? ?cos?4x? ?Dg?Rcargest définie surRcomme composée de 2 fonctions définies surRx???4x etx???cosx. ?Recherchons T telle que?x?R; x?T?Rg?x?T? ?g?x?

Donc cos?4?x?T?? ?cos?4x?or cos?4x? ?cos?4x?2?

cos?4x?4T? ?cos?4x?2?

Soit 4T?2

D ?o`u T?2

Donc la fonctiongest2

-périodique. On peut alors restreindre l"étude degau domaine d"étude I

1? ??4

;4 ? ?x?I1;?x?I1car??4 ;4 ? ? ??4 ; 0???0???0;4 g??x? ?cos?4??x?? ?cos??4x? ?cos 4x?g?x? Ainsi l"étude degpeut se restreindre à l"intervalle d"étude I2? ?0;4 ?g?8 ?x??cos?4?8 ?x???cos?2 ?4x?? ?sin?4x? g?8 ?x??cos?4?8 ?x???cos?2 ?4x??sin?4x? Donc g?8 ?x??g?8 ?x?2 ?0 Ainsi A?8 ; 0?est centre de symétrie deCg. On peut, à nouveau, restreindre l"étude degà l"intervalle d"étude I3? ?0;8 ?La fonctiongest définie, continue et dérivable surRet même C?surRcomme com- posée de 2 fonctions usuelles?x???4xetx???cosx?définies, continues et dérivables et même C ?surR. ?x? ?0;8 ?; g??x? ? ?4sin?4x? ?x

4xsin?4x?Signe deg??x?Sens de variation deg08

0?2 0? 0? 1100
?g?0? ?cos?4?0? ?1g?8 ??cos?4?8 ??cos?2 ??0 ?Tableau de valeursx02416128 g?x?1?3 2?2 2120
6 ?Représentationgraphique Fonctions réciproques des fonctions circulaires Une fonctionf?1est la réciproque d"une fonctionfsi cette dernière est bijective sur un domaine I considéré, telle que?x?I,f?1of?x? ?x.

De même,?x?J avec J =f(I),fof?1?x? ?x.

Lorsqu"une fonctionfest strictement monotone sur I alorsfest bijective et elle réalise une bijection de I surf(I) = J. Les fonctions réciproques des fonctions circulaires sont les fonctions arccosinus (arccos = cos ?1), arcsinus (arcsin = sin?1), arctangente (arctan = tan?1) et arccotangente (arccotan = cotan ?1).FonctionarcsinxarccosxarctanxarccotanxEns. de définition??1; 1???1; 1?RR

Ens. image??

2 ;2 ??0;??? 2 ;2 ??0;?Périodeaucuneaucuneaucuneaucune

Paritéimpaireaucuneimpaireaucune

Ens. de dérivabilité??1; 1???1; 1?RR

Dérivée1?

1?x2?1?

1?x21

1?x2?11?x2La dérivée d"une fonction réciproque est de la forme :?f?1???1f

?of?1 ?f?x? ?tanx f?1?x? ?arctanx ?x?R;?f?1???x? ? ?arctanx??

11?tan2?arctanx?

11??tan?arctanx??2or tan?arctanx? ?x

?f?1???x? ?11?x2 7 ?f?x? ?sinx f?1?x? ?arcsinx ?x? ??1; 1?;?f?1???x? ? ?arcsinx??

1cos?arcsinx?

Or cos

2x+ sin2x= 1 donc cosx? ??1?sin2x

Posons cosx??1?sin2xcar?x? ??2

;2 ?;cosx?0

Donc?f?1???x? ?1?

1?sin2?arcsinx?

1?1??sin?arcsinx??2or sin?arcsinx? ?x

?f?1???x? ?1?1?x2 ?f?x? ?cosx f?1?x? ?arccosx ?x? ??1; 1?;?f?1???x? ? ?arccosx??

1?sin?arccosx?

Or cos

2x+ sin2x= 1 donc sinx? ??1?cos2x

Posons sinx??1?cos2xcar?x? ?0;?;sinx?0

Donc?f?1???x? ??1?1?cos2?arccosx?

?1?1??cos?arccosx??2or cos?arccosx? ?x ?f?1???x? ??1?1?x2 8 9quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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