[PDF] Dérivée des fonctions trigonomé- triques

View - Download Dérivée des fonctions trigonomé- triques

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 9

Derivee des fonctions trigonome-

triques 9.1

Ra ppelss urles f onctionstr igonometriques

9.1.1 Le ra dianLeradian(Rad) est une mesure d'angle ou un angle est mesure en longueur d'arc sur la circonference de cercle de rayon 1.1 Rad 1 Comme la circonference d'un cercle de rayon 1 correspond a un arc d'un tour complet, un anglede2Rad correspond a un angle de 360 degres ou d'un tour.

Rad2Rad=Deg360 Deg

=Tour1 Tour Ces proportions servent a convertir la mesure d'un angle d'une unite a une autre.

Pourquoi le radian?

C'est l'unite de mesure d'angle la plus naturelle dans le contexte du calcul dierentiel car les formules de derivations des fonctions trigonometriques s'expriment plus simplement en radian. 9.1.2

Cer cletr igonometrique

Le cercle trigonometrique permet de representer les angles de maniere standardisee et d'etablir des liens entre dierentes longueurs determinee par un angle donne. Le cercle trigonometriqueest le cercle de rayon 1 centree a l'origine. Chaque angle correspond a un unique pointP()sur le cercle trigonometrique. 140
P()Par convention, on mesure les angles dans le cercle trigonometrique a partir d'un angle

0 situe sur l'axe desxpositifs. Les angles positifs correspondent aux angles mesures

dans le sens anti-horaire, les angles negatifs correspondent aux angles mesures dans le sens horaire.+ Enn, bien que ces angles n'aient pas de sens geometrique, on peut considerer des angles de plus d'un tour.

Note 9.1.

Il est generalement plus facile de reperer un angle dans le cercle trigo- nometrique sans faire la conversion a l'aide des proportions precedentes. Il est plus simple de penser en"demi-tours»plut^ot qu'en tours. Cela est plus facile que de convertir en degres. Par exemple, pour situer rapidement un angle de35Rad, on le considere comme un multiple de5 35
=35 Comme il est facile de diviser le demi-touren 5 angles de=5, il est simple de situer l'angle de35 .P 35

9.1.3Le sf onctionstr igonometriques

An de pouvoir denir les fonctions trigonometrique pour tout angle possible2R, on doit exprimer la denition a l'aide ducercle trigonometrique.Denition 9.1. Les fonctionscos()etsin()sont denies comme les coordon- nees enxet enydu point situe sur la circonference d'un cercle de rayon 1 a l'angle.141

1P()=cos();sin()sin()cos()En utilisant le theoreme de Pythagore, on obtient l'importante identite trigonome-

trique suivante :Proposition 9.1. cos

2()+sin2()=1:Note 9.2.

On utilise ici une convention de notation tres repandue : pour simplier un peu l'ecriture, on ecritsin2(x)au lieu desin(x)

2etcos2(x)au lieu decos(x)

2. On utilisera une convention similaire pour toute les autres fonctions trigonometriques. On peut se servir du cercle trigonometrique pour demontrer plusieurs identites trigonometriques importantes.Exemple 9.1. Demontrons quecos(+)=cos()a l'aide du cercle trigonome- trique. Il sut de representer les angles impliques (iciet) et de representer les longueurs impliquees dans l'identite. L'egalite entre ces longueurs peut ensuite ^etre deduite geometriquement.P()P(+)cos()cos(+)= cos()9.1.4T rianglescom portantdes a nglesus uels Pour le calcul des valeurs desin()etcos(), on utilise les grandeurs des c^otes de certains triangles remarquables, pour lesquel il est possible de determiner les longueurs des c^otes geometriquement, a l'aide de la relation de Pythagore, de la loi des cosinus ou d'autres astuces geometriques.1p22 p22=4=4112 p3=2=6=3111p 2p32 q

2+p3=2=125=121

142

Exemple 9.2.Determinonscos3

a l'aide du cercle trigonometrique. On com- mence par situer le pointP3 et son cosinus.P 3 cos 3 Le triangle implique a comme angle a l'origine=3rad. Le triangle usuel comportant cet angle est le suivant.11 2 p3=2=6=3 En replacant les mesures de ce triangles dans la gure initiale, on a quecos3 =12 P 3 12p32

Denition 9.2.

Les fonctions trigonometriques tangente, secante, cosecante et cotangante sont denie a partir des fonctions sinus et cosinus de la maniere suivante.

sec()=1cos()csc()=1sin()Ces dierentes fonctions trigonometriques correspondent aux mesures suivantes.

143

P()tan()cos()sin()sec()P()cotan()cos()sin()csc()Comme toutes ces fonctions trigonometriques peuvent ^etre exprimees en fonction de

sinus et cosinus, on peut determiner leur valeurs pour dierents angles a partir des valeurs de sinus et cosinus.Exemple 9.3. sec 3 =1cos 3 11=2 =29.2Gra phedes fo nctionst rigonometriques

232211

xsin(x)144

232211

xcos(x) 2

2322xtan(x)

2

2322xcotan(x)145

2

0322xsec(x)

2

232211

xcsc(x)Comme un anglecorrespond au m^eme point du cercle trigo si on y ajoute un multiple entier de2, les valeurs fonctions trigonometriques sont les m^emes si on ajoute un multiple de entier de2.Proposition 9.2. Toutes les fonctions trigonometriques sont periodiques de periode2, c'est a dire sin(+2)=sin();cos(+2)=cos();etc. Les inegalites suivantes sont tres utiles pour analyser des fonctions comportant des fonctions trigonometriques dans leurs denitions.Proposition 9.3.

1sin()11cos()1:9.3Li mitesdes fo nctionst rigonometriques

Comme les fonctions trigonometriques sont denies par des constructions geome- triques, il est raisonnable de faire l'hypothese suivante.

Hypothese 7.

Les fonctions trigonometriques sont continues partout ou elles sont denies. Cela permet d'evaluer des limites de fonctions trigonometriques par substitution. 146

Exemple 9.4.

lim x!=3sin(x)cont=sin3 =p3 2 lim x!3=4tan(x)cont=tan 34 =sin34 cos 34
=p2=2 p2=2=1Les limites de fonction trigonometriques quandx! 1n'existent pas.A cause de la periodicite des fonctions trigonometriques, leurs valeurs enyne s'approchent jamais d'une valeur limite.Proposition 9.4. lim!1sin()@lim!1cos()@ et de m^eme pour toutes les autres fonctions trigonometriques. Enn, pour determiner le comportement des limites a gauche ou a droite impliquant les fonctions trigonometriques, on peut utiliser le cercle trigonometrique. Il faut garder en t^ete le sens de parcours des angles dans le cercle trigonometrique. Par exemple, voici de quelle maniere un angle s'approche de2par la gauche2 et par la droite2 +.!2 !2 !2 +Exemple 9.5. lim x!(2 )sec(x)=lim x!(2 )1cos(x) 1cos 2 10 +ou10 ?!!2 cos()!0+147

9.4D eriveede sfo nctionst rigonometriques

Lemme 9.1.

lim x!0sin(x)x=1:Demonstration.Par denition des fonctions trigonometrique et par les relations geometriques entre les longueurs auxquelles elles correspondent, on a que sin(x)xtan(x):hh sin(x)tan(x)En divisant parsin(x)on obtient : sin(x)sin(x)xsin(x)tan(x)sin(x);

Ce qui donne, en simpliant,

1xsin(x)cos(x):

Si on inverse chaque membre de ces inegalites, on trouve que

1sin(x)x1cos(x):

En prenant la limite quandx!0des membres de droite et de gauche de la chaine d'inegalite : lim x!01=1 limx!01cos(x)=1cos(0) =1 donc, par la propriete des gendarmes (thm du sandwich), le membre central doit avoir la m^eme limite : lim x!0sin(x)x=1 Note : ce resultat justie l'approximationsin(x)xquandxest petit. Cette ap- proximation est souvent utilise en physique, par exemple pour obtenir l'importante equation decrivant le mouvement et la propagation des ondes. 148

Lemme 9.2.

lim x!0cos(x)1x=0Demonstration. lim =limx!0cos

2(x)1x1cos(x)+1

=limx!0sin2(x)x1cos(x)+1 =limx!0sin(x)xsin(x)cos(x)+1 =limx!0sin(x)xlimx!0sin(x)cos(x)+1 =(1) 02 =0Theoreme 9.1.La derivee de la fonction sinus est sin(x)

0=cos(x):Demonstration.(avec les dierentilles) Soity=sin(x). On calculedy:

dy=sin(x+dx)sin(x) =(sin(x)cos(dx)+sin(dx)cos(x))sin(x) =sin(dx)cos(x)+sin(x)cos(dx)sin(x) =sin(dx)cos(x)+(sin(x)cos(dx)sin(x)) =sin(dx)cos(x)+sin(x)(cos(dx)1) (1)cos(x)+sin(x)(0) =cos(x) 149
Demonstration.(avec la denition en terme de limites) sin(x))0=limx!0sin(x+x)sin(x)x =limx!0sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)sin(x)x =limx!0sin(x)xcos(x)+sin(x)cos(x)1x =(1)cos(x)+sin(x)(0) =cos(x)Exemple 9.6.En combinant la formule de derivation desin(x)et la regle de chaine :sinx20=cosx2x20=2xcosx2: En combinant la formule de derivation desin(x)et la regle du quotient : sin(x)x 0 =sin(x)

0(x)sin(x)(x)0x

2 xcos(x)sin(x)x

2:9.5D erivesdes a utresf onctionstr igonometriques

Les derivees des autres fonctions trigonometriques sont trouvees en utilisant leur

denition, des identites algebriques et les formules de derivation connues.Proposition 9.5(Derivee des fonctions trigonometriques).

(a) cos(x)

0=sin(x)

(b)tan(x)

0=sec2(x)

(c)cot(x)

0=csc2(x)(d)

sec(x)

0=sec(x)tan(x)

(e) csc(x)

0=csc(x)cot(x)Demonstration.

Preuve de (a). On utilise les identitescos()=sin(+=2)etsin()= 150
cos(+=2). cos(x)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] primitives usuelles

[PDF] primitive sin(ax+b)

[PDF] dérivée de f(ax+b) exemple

[PDF] dérivé sin 2x

[PDF] dérivée de sin(wt)

[PDF] dérivée sin u

[PDF] dérivée de cos(wt+phi)

[PDF] dérivée de cos(wt)

[PDF] coefficient directeur d'une fonction polynome du second degré

[PDF] polynome unitaire de degré 3

[PDF] polynome constant

[PDF] signe d'un polynome de degré 2

[PDF] fonction polynome de degré 3 discriminant

[PDF] implicit derivative calculator

[PDF] dérivée implicite exemple