[PDF] Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions trigonométriques





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Chapitre 14 : Dérivée des fonctions trigonométriques

verrez ayant compris les dérivées des fonctions sinus et cosinus



Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions trigonométriques

Dans ce dernier chapitre nous étudierons les dérivées des fonctions réciproques ou inverses de sinus



Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

G) Fonction coth (cotangente hyperbolique) sh réalise une bijection de classe c8 strictement croissante de R dans R dont la dérivée ne s'annule.



Dérivée des fonctions trigonomé- triques

Dérivée des fonctions trigonomé- La dérivée de la fonction sinus est ... Les preuves des formules de dérivations de sec(x) csc(x) et cotan(x) sont ...



Etude des fonctions usuelles (3 partie)

cotan x en (T + x). Fonction cotan x tan x en (?. 2 ¡x). Fonction. - cotan x. - tan x en (?. 2 x). Ens. de. Rzt?. 2 k?; k €Zu. Rz?Z dérivabilité. Dérivée.



Untitled

hyperbolique tangente hyperbolique et cotangente N'oublions pas toutefois que la première (et donc aussi sa dérivée) est définie sur ]-1.1



Trigonométrie circulaire

Par définition la tangente (resp. la cotangente) du réel x est la mesure L'expression explicite de sin“x + n?2” est aussi la dérivée n-ème de la ...



Formulaire de trigonométrie

A partir de la dérivée de la fonction tangente et de cette définition on obtient la dérivée de la cotangente sur son ensemble de définition



Table des matières 1 Définitions

Les dérivées des fonctions usuelles permettent de trouver les primitives Calculer la dérivée de la fonction cotangente cot(x) et en déduire une prim-.



Dérivation et fonctions trigonométriques

Si c'est le cas cette limite est appelé nombre dérivé de f en x0





[PDF] Chapitre 14 : Dérivée des fonctions trigonométriques

ce présent chapitre l'étude des dérivées de ces trois fonctions 14 3 Dérivée des fonction tangente cotangente sécante et cosécante



[PDF] Fonctions dérivables - LMPA

(tangente hyperbolique de x) et x ?? coth(x) = ch(x) sh(x) (cotangente hyperbolique de x définie pour x = 0) dont les dérivées sont



[PDF] Chapitre9 : Dérivation - Melusine

Chapitre9 : Dérivation Dans tout ce chapitre les fonctions sont à valeurs dans R définies sur un intervalle de R I et J désignent des intervalles 



[PDF] Les fonctions de référence

Les fonctions sinus cosinus tangente et cotangente sont appellées fonctions circulaires car ce sont les fonctions de la trigonométrie circulaire 5 1 Les 



[PDF] Trigonométrie circulaire

Par définition la tangente (resp la cotangente) du réel x est la mesure L'expression explicite de sin“x + n?2” est aussi la dérivée n-ème de la 



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Les fonctions circulaires sont les fonctions cosinus (cos) sinus (sin) tangente (tan) et cotan- gente (cotan) Quelques valeurs usuelles Angle en °



[PDF] Dérivée des fonctions trigonomé- triques - Prof Delbecque

Les dérivées des autres fonctions trigonométriques sont trouvées en utilisant leur définition des identités algébriques et les formules de dérivation connues



Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques - Gecifnet

La cotangente la sécante et la cosécante ne sont que les fonctions inverses des 3 fonctions de base : - la cotangente est l'inverse de la tangente

  • Quel est la dérivée de Cotangente ?

    La dérivée de la cotangente d'une fonction f (x) est égale à la cosécante de ladite fonction au carré, multipliée par la dérivée de f (x), et également multipliée par -1.

  • Comment on dérivé f ? g ?

    Plus généralement, si f et g sont deux fonctions dérivables sur une partie I de R, alors f + g est aussi dérivable sur I et, sur I, sa dérivée est la somme de celle de f et de celle de g. (?f + µg) = ?f + µg .

  • Quel est la dérivée de cos ?

    La dérivée de cosinus est égale à un sinus négatif, et la dérivée de sinus est égale à un cosinus positif.
  • Règle : La règle de dérivation en chaîne
    Pour deux fonctions dérivables �� ( �� ) et �� ( �� ) , la dérivée de leur fonction composée �� ( �� ( �� ) ) est : d d d d d d �� ( �� ( �� ( �� ) ) ) = �� �� �� �� . On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime : ( �� ( �� ) ) ? = �� ? ( �� ) �� ? .
Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions trigonométriques Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions trigonométriques

15.1 Dérivée des fonctions réciproques de sinus, cosinus, tangente et

cotangente Dans ce dernier chapitre, nous étudierons les dérivées des fonction s réciproques ou inverses de sinus, cosinus, tangente et cotangente (arc sin, arc cos, arc tan et arc cot)

Dérivée d'arc sin x :

Prouvons ensemble cette proposition

sin(ܽݎܿsinݔ)=ݔ,ܽܿ sin (ܽݎܿ cos (arcsinݔ)(ܽݎܿ =1 ܲ =1 cos (arcsinݔ) =1 =1 cosݕ ܽܿݎ ݕ=݂(ݔ) ݌ܽ݅݊݅ݐ݅݋݊ =1

ݕ=1,݀݋݊ܿ ܿ

Fin de la preuve!

Car ݔ

si ݕ=ܽݎܿsinݔ,ܽ sinݕ=ݔ

Oui, elle est assez complexe, mais des

preuves de ce genre, vous en aurez à la tonne dans votre cours de calcul 1...

Exemple 15.1

Calculons la dérivée de :

)Ԣarcsinݔ+ݔ (ܽݎܿsinݔ)Ԣ ܦ (ݔ)=2ݔarcsinݔ+ݔ ൬1

ξ1െݔ

p ܲ (ݔ)=2ݔarcsinݔ+ݔ

ξ1െݔ

Exemple 15.2

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=arcsin(2ݔ െ8ݔ) (ݔ)=1

1െ(2ݔ

െ8ݔ) (2ݔ െ8ݔ) (ݔ)=10ݔ െ8

1െ(2ݔ

െ8ݔ)

Dérivée d'arc

cos x : Comme la preuve de cette proposition est très similaire à celle de la proposition 1, je passe immédiatement à un exemple.

Exemple 15.3

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=(arccos ݔ) (ݔ)=3(arccos ݔ) (arccos ݔ) (ݔ)=3(arccos ݔ) ൬െ1

ξ1െݔ

p ܲ (ݔ)= െ3(arccos ݔ)

ξ1െݔ

Exemple 15.4

Calculons la

dérivée de : ݂(ݔ)=arccos(െݔ +7ݔ െ4) (ݔ)=െ(െ3ݔ +14ݔ)

1െ(െݔ

+7ݔ െ4) (ݔ)=3ݔ െ14ݔ

1െ(െݔ

+7ݔ െ4)

Dérivée d'arc

tan x :

Exemple 15.5

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=(݈݊ݔ)(arctanݔ)

Ԣ(ݔ)=1

arctanݔ+݈݊ݔ൬1

1+ݔ

p ܦ

Ԣ(ݔ)=arctanݔ

1+ݔ

2 Proposition 3 : Si ݂(ݔ)= ܽݎܿ ݐܽ݊ ݔ,ܽ

Exemple 15.6

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=arctan(ݔ െ7) (ݔ)= 1

1+(ݔ

െ7) െ7) (ݔ)= 1

1+(ݔ

െ7)

3(ݔ

െ7) െ7)Ԣ ܦéݎ݅ݒܽݐ݅݋݊ ݁݊ ݄ܿܽ (ݔ)= 1

1+(ݔ

െ7)

3(ݔ

െ7) (2ݔ) (ݔ)= 6ݔ(ݔ െ7)

1+(ݔ

െ7)

Dérivée d"arc

cot x : Comme cette proposition est très similaire à la proposition 3, passons immédiatement à la suivante.

Exemple 15.7

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=arccot(ݔ +tanݔ) +tanݔ)

1+(ݔ

+tanݔ) (ݔ)=െ൫3ݔ 2

1+(ݔ

+tanݔ) 1

1+[݂(ݔ)]

2

1+[݂(ݔ)]

2 Proposition 4 : Si ݂(ݔ)= ܽݎܿ ܿ݋ݐ ݔ,ܽ െ1

1+[݂(ݔ)]

2

1+[݂(ݔ)]

2

Exercice 15.1

Calculons la dérivée de :

a) ݂(ݔ)=(sinݔെ5) ܽݎܿܿ b) ݂(ݔ)=(arccosݔ)(ܽݎܿ c) e) f) ݂(ݔ)=ln (ܽݎܿ g) ݂(ݔ)= 2ݔ െsinݔarccot5ݔ

15.2 Dérivée des fonctions réciproques de sécante et cosécante

En conclusion de ce chapitre, voici les

propositions concernant les dérivées des fonctions arc sécante et arc cosécante. Cependant, je vous fournirai seulement que les propositions, car la

manière de trouver les dérivées de ces fonctions est, à mon avis, trop redondante pour les

analyser plus en détails par des exemples ou des exercices. Pour tout vous dire, certains professeurs de cégep ne les étudient même pas...

Dérivée d'arc

sec x :

Dérivée d'arc

csc x : ?5 B ?5 B

Ces dérivées devraient être la fin, oui oui la FIN de votre cours de Calcul 1. J'espère que ce

document aura su vous aider à mieux comprendre votre premier cours de calcul différentiel du cégep. Il ne vous restera plus qu'à attaquer le cours de Calcul 2; LES INTÉGRALES!!!!

Réponses

Exercice 15.1

a) ݂(ݔ)=(sinݔെ5) ܽݎܿܿ݋ݐݔ ܽ െ1

1+ݔ

2 (ݔ)=cosݔ(arccotݔ)െ (sinݔെ5)

1+ݔ

2 b) ݂(ݔ)=(arccosݔ)(ܽݎܿtanݔ) ܽ (ݔ)=(arccosݔ)Ԣ(arctanݔ)+(arccosݔ)(arctanݔ)Ԣ ܦ (ݔ)=െ1

ξ1െݔ

(arctanݔ)+(arccosݔ) 1

1+ݔ

2 (ݔ)=െarctanݔ

ξ1െݔ

arccosݔ

1+ݔ

2 c) ݂(ݔ)= (ݔ)=൫arctanξݔ o

ݔo"

1+ ൫ξݔo 2

F(2ݔ)Ԣ

1+(2ݔ)

2 2 1 2 1 2

1+ݔ

F2

1+4ݔ

2 2 1 2

2arctanξݔ

1+4ݔ

2 2

2arctanξݔ

1+4ݔ

2 2 (ݔ)=[arcsinݐܽ

1െݐܽ

FF(െcscݔcotݔ)

1െݐܽ

Fcscݔcotݔ

e) ݂(ݔ)= arcsinݔ െarccosݔ (ݔ)= െ(3ݔ

1െ(ݔ

arcsinݔ െarccosݔ 2ݔ

1െ(ݔ

(ݔ)= െ3ݔ arcsinݔ

ξ1െݔ

F2ݔarccosݔ

ξ1െݔ

f) ݂(ݔ)=ln (ܽݎܿ (ݔ)= 1

)Ԣ ܦéݎ݅ݒé݁ ݀݁ ln ݁ݐ ݀éݎ݅ݒܽݐ݅݋݊ ݁݊ ݄ܿܽ

(ݔ)= 1

1+݁

2ݔ )(1+݁ 2ݔ g) ݂(ݔ)= 2ݔ െsinݔarccot5ݔ ܽ (ݔ)=(2ݔ െ(sinݔarccot5ݔ)Ԣ (ݔ)=6ݔ (ݔ)=6ݔ െcosݔarccot5ݔ+sinݔ െ5

1+25ݔ

2 (ݔ)=6ݔ െcosݔarccot5ݔെ 5sinݔ

1+25ݔ

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