[PDF] Pourquoi note-t-on différemment les dérivées en physique et en

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Pourquoi note-t-on dieremment les derivees en physique et en maths?Les derivees sont souvent notees?dfdt ?ou?_f?en physique, et des questions du style?par rapport a quoi

derive-t-on ??s'y posent souvent. En mathematique, on notera la deriveef0, et si c'est une fonction d'une

variable, la question ci-dessus ne se pose pas. Dans ce poly, j'essaye d'elucider le lien entre ces deux approches.

Pour resumer : evidemment, ce sont les mathematiciens qui ont raison. Mais pour ^etre parfaitement honn^ete,

les physiciens n'ont pas completement tort d'?oublier?toute une partie de cette rigueur (d'aucuns diront

maniaquerie) mathematique qui ne leur est pas utile pour resoudre des problemes de physique, au benece de

notations beaucoup plus simples a manipuler...

Table des matieres

1 Fonctions d'une variable1

1.1 Considerons une fonctionfde la variablex.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 La notationdfdx

1

1.3 La notion

_f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.4 Un exemple?a la physicienne?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.5 Pourquoi cela ne plait pas aux matheux

2

1.6 Traduction?a la matheuse?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.7 Reciproques et derivees

3

2 Fonctions de plusieurs variables

4

1 Fonctions d'une variable

1.1 Considerons une fonctionfde la variablex.

Pour bien commencer, le physicien et le mathematicien ne veulent pas dire la m^eme chose quand ils ecrivent la

phrase titre de cette section. Pour le mathematicien, cela ne veut pas dire grand chose. La variable est muette.f:x7!x2, etf:t7!t2

sont une m^eme et unique fonction, denir la variable muette en disant que c'estxn'a pas de sens en soi.

Pour le physicien, cela signie quefest une quantite physique qui depend de la quantite physiquex(position),

qui a une existence propre.Ecrire quefest une fonction de la variablexsignie quefdepend d'une position.

Ce n'est pas pareil que de dire quefest une fonction de la variablet{ i.e. qu'elle depend du temps.

En physique, les variables ne sont pas muettes et interchangeables, car elles ont un sens intrinseque (elles

representent une certaine?quantite physique?).

1.2 La notation

dfdx

Bref, considerons une fonctionfde la variablex.

Une notation possible pour sa derivee estdfdx

(on parle de?notation dierentielle?).

Cette notation s'explique de la facon suivante :dxdesigne une variation tres petite (on dit?innitesimale?) de

la quantitex.dfdesigne la variation def(x) correspondante. 1 C'est a mettre en relation avec la denition mathematique de la derivee : f

0(x) = limh!0f(x+h)f(x)(x+h)x:On a au denominateur une?petite?variation dex(celui-ci varie deh, qui tend vers 0), et au numerateur, la

variation deflorsquexsubit cette variation.

Les physiciens ont choisi la notationdfdx, qui est parlante (et bien pratique comme on va le voir ci-dessous),

mais qui laisse a penser que la derivee est le quotient de?df?et?dx?.

Mais mathematiquement, cette derivee n'est pas egale a une fraction : c'est unelimitede fraction. Et on ne

peut pas vraiment donner de sens mathematiquement precis a?df?et?dx?1Il faudra deux bons siecles de

controverses entre quelques grands noms de la physique et des mathematiques pour bien comprendre tout

cela, depuis les premieres utilisations des?innitesimaux?(Newton et Leibniz,xviiesiecle), jusqu'a la notion

moderne delimiteen mathematiques (Cauchy,xixesiecle) (cfhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_ du_calcul_infinit%C3%A9simal).

1.3 La notion

_f En physique, cette notation designe explicitement une deriveepar rapport au temps. _ f=dfdt

1.4 Un exemple?a la physicienne?

Considerons un probleme de physique ou intervient la positionxd'un mobile xe a un ressort de raideurk,

cette position dependant du tempst.

On denit l'energie potentielle du systeme parE=12

kx2. On souhaite calculer la derivee de cette energie potentielle, par rapport au temps, i.e. _E=dEdt

Avec un peu d'habitude, on ecrit directement

_E=kx_x, i.e. dEdt =kxdxdt On peut detailler le calcul de la facon suivante :

Etant donne queE=12

kx2,dEdx =kx(en voyantEcomme une fonction dex).

On ecrit alors

dEdt =dEdx dxdt(en faisant comme si c'etait vraiment des fractions, et que l'on simpliait pardx{ comme explique ci-dessus, cela n'a aucun sens mathematique.) d'ou dEdt =kxdxdt : on a bien retrouve la formule ci-dessus.

1.5 Pourquoi cela ne plait pas aux matheux

En vrac :

dE,dt,dxn'ont pas de sens mathematique,dxdtn'est pas une fraction, pas evident dans ces conditions de

faire la simplication vue si dessus... Eest-il une fonction dex? det? Que signie nalement?deriver par rapport ax?ou?deriver par rapport a t?.

xest-il une variable? Une fonction? En physique, on confond en general les deux, ce qui ne pose aucun

probleme pratique, en maths, ce sont deux types d'objets fondamentalement dierents.1

. M^eme si cette notation est celle utilisee en mathematiques pour ce que l'on appelle les?dierentielles?. Ce sont des objets

mathematiques complexes, etudies au moins enL2=L3, et ce n'est pas de cela que l'on parle lorsque l'on ecritdfdx

2

1.6 Traduction?a la matheuse?On peut repondre a ces dierentes questions dans un cadre mathematique rigoureux, mais beaucoup moins

pratique et ecace que le?dEdt =dEdx dxdt ?des physiciens.

On denitxcomme une fonction :x:R+!R

t7!x(t).

On denitEcomme une fonction :E:(

R!R X7!12 kX2. Comme indique en introduction, il n'y a pas de sens mathematique a dire que?xest une fonction det?{t etant muette. On utilise cette notation pour garder le parallele avec la physique. La notationxetant deja prise pour designer une fonction, on noteXla variable (toujours muette) deE.

Notons alorsF=E o x:(

R+!R t7!12 kx2(t).

Mathematiquement,FetEsont des fonctions dierentes. Physiquement, elles representent la m^eme quantite,

et on les note toutes les deuxE. Lorsqu'en physique, on voitEcomme une fonction dex, on pense a la fonctionEmathematique denie ci-dessus. Lorsqu'en physique, on voitEcomme une fonction det, on pense a la fonctionF. et donc : Si l'on veut calculer_E=dEdt, on doit voirEcomme une fonction du temps. La quantite mathematique correspondante estF0.

Si l'on veut calculerdEdx, on doit voirEcomme une fonction dex. La quantite mathematique correspondante

estE0. F

0peut se calculer en utilisant la derivee d'une composee :

8t2R+F0(t) = (Eox)0(t) =E0(x(t))x0(t):

CommeE0:X7!kX, on obtient

8t2R+F0(t) = (Eox)0(t) =kx(t)x0(t):

C'est-a-dire, en notation physicienne

dEdt =kxdxdt

Conclusion : lasimplication de fractionsdEdt=dEdx

dxdtcache en fait la derivee d'une composee. Elle cache

egalement les points ou sont appliquees ces fonctions : on devrait ecriredEdt(t) =dEdx(x(t))dxdt(t), mais ces

precisions sont inutiles pour mener des calculs simples en physique.

1.7 Reciproques et derivees

On considere une trajectoire suivie par un mobile, pour laquelle on peut exprimeryen fonction dex(par

exemple,y=x2). On peut alors parfois exprimerxen fonction dey(dans notre exemple, si l'on suppose quex>0,x=py).

On peut ^etre amene a calculer la derivee deypar rapport ax:dydx, et la derivee dexpar rapporty:dxdy. En

physique, pour calculer cette derniere, on pourra ecrire quedxdy=1dy dx{ un autre exemple ou l'ecriture sous forme de fraction est bien pratique. Voyons du c^ote des mathematiques ce que cela donne. 3

Tout d'abord, on va nommer explicitement la fonction permettant de passer dexay. On va la noterf, de sorte

que pour toutxconvenable,y=f(x). La condition mathematique pour pouvoir exprimerxen fonction deyest quefsoitbijective(au moins en la restreignant a un certain intervalle). On peut alors ecrirex=f1(y).

Sifest derivable, ce que l'on notedydx

sera notef0en maths, alors quedxdy sera (f1)0.

Dans le cas ouf0ne s'annule jamais, on sait (d'apres le theoreme de derivabilite de la fonction reciproque) que

f1est derivable, et l'on a la formule suivante, pour toutydans l'ensemble d'arrivee def: (f1)0(y) =1f

0(f1(y)):

Si l'on note { de facon assez naturelle {f1(y) =x, on obtient (f1)0(y) =1f 0(x) et en notation dierentielle : dxdy (y) =1dy dx (x):

En oubliant que les derivees sont des fonctions, et donc en ne precisant pas le point ou on doit les appliquer (ce

qui encore une fois ne pose pas probleme en physique dans les cas simples), on retrouve dxdy =1dy dx (sous-entendu?en des pointsyetx"correspondants"?.)

2 Fonctions de plusieurs variables

A venir...

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