[PDF] Exercice 4) Calculer la fonction d'

View - Download Exercice

Previous PDF

Next PDF

1

Cours et Travaux Dirigés de

Traitement du Signal Déterministe

Benoît Decoux (benoit.decoux@wanadoo.fr)

- Exercices - 1

ère

partie : "Notions de base et études temporelles" 2

Bases du traitement de signal

Exercice

Calculer l'amplitude de la dérivée d'un signal sinusoïdal d'amplitude égale à 1 et de fréquence 2

Hertz.

Réponse

La dérivée du signal sinusoïdal défini par exemple par : )tcos(A)t(s?+ est définie par : )tsin(A)t(s?+ donc l'amplitude du signal dérivé est ȦA. L'application numérique donne :

π=×π=422A

Exercice

Exprimer la fonction échelon unité sous forme d'une fonction signe d'amplitude judicieusement choisie et d'une constante.

Réponse

)tsgn(21

21)t(u+=

Exercice

Exprimer la fonction rectangulaire

[]Ttrect.A)t(x=à l'aide de 2 signaux échelons.

Réponse

)2/Tt(u.A)2/Tt(u.A)t(x--+=

Exercice

1) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal carré, compris entre 0 et 5V, de rapport

cyclique 1/2.

2) Même chose pour un rapport cyclique 1/3.

3) Calculer la valeur moyenne d'un signal sinusoïdal d'amplitude A, défini par :

)tcos(A)t(s?+

4) Calculer la valeur efficace de ce signal.

Solutions

1) Soit s(t) ce signal. Comme il est périodique, sa valeur moyenne est définie par :

[]V5,22T

T5tT5dt5T1dt)t(sT1dt)t(sT1S

2/T 02/T 02/T 0T 0 moy

Sa valeur efficace est définie par :

3 22/T
02/T 02/T 0 2 T 0 22
eff

V5,122T

T25tT25dt25T1dt)t(sT1dt)t(sT1S=×=====

Soit V5,3S eff

2) Valeur moyenne :

[]V66,13T

T5tT5dt5T1dt)t(sT1dt)t(sT1S

3/T 03/T 03/T 0T 0 moy

Valeur efficace :

23/T
03/T 03/T 0 2 T 0 22
eff

V33,83T

T25tT25dt25T1dt)t(sT1dt)t(sT1S=×=====

Soit V9,2S eff 3) T 0T 0Tt t moy )tsin(A

T1dt)tcos(AT1dt)tcos(AT1S

0 0 4) T 022T
0222
eff dt)t(cosTAdt)t(cosAT1S

On utilise la formule de trigonométrie :

)a2cos1(21acos 2 d'où T 0 T 02 T 0T 02 T 02 2 eff

2)t2sin(tT2Adt)t2cos(dtT2Adt)t2cos(1T2AS

2A

2)sin()sin(TT2A

2)sin()T2sin(TT2A

222

Soit :

2AS eff Les électroniciens connaissent bien ce résultat.

Exercice

Soit x(t) un signal carré logique TTL (état bas : 0V ; état haut : 5V) de rapport cyclique 1/2 et de période

T=0,1s.

1) Calculer son énergie sur une période. En déduire son énergie totale.

2) Calculer sa puissance totale et sa puissance moyenne.

3) En déduire sa valeur efficace.

Réponses

1) Son énergie sur une période est définie par :

[]Joule25,1T5,122T25t25dt25dt)t(xdt)t(xE 2/T 0 2/T 02/T 0 2 T 0 2 T 4

Son énergie totale est égale à :

25t25dt)t(xE

2 T

2) La puissance moyenne totale est identique à la puissance calculée sur une période, définie par :

2/T 0 2/T 02/T 0 2 T 0 2 T

3) La valeur efficace est la racine carrée de la puissance (calculée sur une période, ou totale) :

Volt53,35,12X

eff

Exercice

Calculer l'énergie et la puissance totales des signaux suivants (on prendra T=1 quand nécessaire pour

les applications numériques) :

Echelon de Heaviside

Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0

Réponse

1) Echelon de Heaviside.

Energie :

0tdt.1dt)t(sdt)t(sE

0 0022

Puissance totale :

21
2T

T1limtT1limdt)t(sT1limP

T2/T 0T2/T 2/T2 T Watt

2) Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0.

Energie :

[]1)2T

2T(T1tT1dt.1T1dt)t(sdt)t(sE

2/T

2/T2/T

2/T2/T

2/T22 Joule

Puissance totale :

0TElim

T

Convolution-Réponse impulsionnelle

Exercice

On considère le produit de convolution entre 2 signaux x(t) et y() : d).t(y).(x)t(y*)t(x Par un changement de variable adéquat, montrer que le produit de convolution est commutatif.

Solution

On cherche à démontrer que :

5 )t(x*)t(y)t(y*)t(x= Appelons s(t)=x(t)*y(t). Si l'on effectue le changement de variable IJ'=t- IJ, on obtient : 'd).'(y).'t(x)t(sτττ--= soit 'd).'(y).'t(x)t(sτττ-= que l'on peut ré-écrire )t(x*)t(yd).(y).t(x)t(s=τττ-= Ce qui démontre que le produit de convolution est commutatif.

Exercice

1) Simplifier les intégrales suivantes :

δdt)t()t(s ;

+δdt)1t()t(s où s(t) est un signal quelconque, causal puis non causal.

2) Calculer la valeur numérique des intégrales suivantes :

0 dt)1t()t(r où r(t) est la fonction rampe

Solution

1) )0(sdt)t()0(sdt)t()0(sdt)t()t(s

De même :

)1(sdt)1t()t(s-=+δ 2) 000 )1(rdt)1t()1(rdt)1t()1(rdt)1t()t(r

Exercice

Montrer que la convolution d'un signal e(t) avec la fonction rectangle définie par : -=TttrectT1)t(h 0 (centrée sur t 0 , d'amplitude 1/T et de largeur T), avec t 0 =-T/2, correspond à un filtrage de type moyenneur.

Solution

La définition de la convolution donne :

t Tt d)(eT1d)(eT2/TtrectT1d)(e)t(h)t(s qui est la définition de la moyenne mobile. 6

Exercice

1) Montrer que l'opération de moyenne mobile (ou glissante) est une convolution avec la fonction

rectangulaire.

2) Exprimer la réponse impulsionnelle correspondante.

Solution

1) t Tt 2) +=T2/TtrectT1)t(h

Exercice

1) Déterminer la réponse indicielle (réponse à un signal échelon de Heaviside) d'un circuit RC dont la

réponse impulsionnelle est définie par : -=RCtexpRC1)t(h avec t0 (0 pour t<0).

2) Représenter cette réponse impulsionnelle ainsi que la réponse du circuit.

Solution

1) Cette réponse est définie par :

ττ-τ=d)t(h)(u))t(u(S

τ--t

0RC/)t(

deRC1

τ-t

0RC/RC/t

deeRC1

τ-t

0RC/RC/t

deRCe t

0RC/RC/t

ee []1ee

RC/tRC/t

RC/t e1 2) 1 t t 1/RC h(t)=(1/RC)e -t /RC 7

Exercice

Calculer la réponse d'un circuit RC à une rampe de pente 1, à partir de sa réponse impulsionnelle.

Solution

t 0t 0 d)t(h.d)t(h)(r)t(y t 0

RC/RC/tt

0

RC/)t(t

0 de.eRC1de.RC1d)t(h.)t(y

On doit utiliser l'intégration par parties :

'uvv'u)'uv(+= ļ +='uvv'uuv ļ -='uvuvv'u

En prenant u'=e

IJ/RC

et v=IJ, on a : u=RCe

IJ/RC

et v'=1. Donc :

ττ-ττ-t

0 RC/t

0RC/RC/tt

0 RC/t

0RC/RC/t

deeedeRCeRCeRC1)t(y [][] 1eRCteeeRCee

RC/tRC/tRC/tt

0RC/t

0RC/RC/t

)e1(RCt RC/t-

Exercice

On applique à l'entrée d'un filtre passe-bas une impulsion d'amplitude 10V et de durée 0,00001s. Sa

réponse observée en sortie est définie par y(t)=e -3000t

1) Calculer l'aire définie par l'impulsion d'entrée et l'axe des abscisses. L'exprimer en fonction de

l'impulsion de Dirac sous la forme c.į(t).

2) Représenter y(t), en précisant sa pente à l'origine.

3) En déduire la "vraie" réponse impulsionnelle du système, que l'on notera h(t).

4) Déterminer l'expression de la réponse de ce système à une entrée échelon unité.

5) Même question pour un signal rampe de pente 1 pour t0 et nul pour t<0.

Solution

1) La produit de la durée de l'impulsion d'entrée et son amplitude est égal à 10

-5

×10=10

-4

V.s L'entrée

peut être assimilée à une impulsion de Dirac pondérée : 10 -4

į(t).

2) y(t) est une exponentielle commençant au point (0,1) et décroissant avec une pente initiale de -3000.

3) Puisque le signal d'entrée ne représente qu'une fraction de l'impulsion de Dirac, on peut considérer

que la vraie réponse impulsionnelle s'obtient en pondérant la réponse à l'impulsion donnée dans l'énoncé

de la manière suivante : 10 -4

į(t) ĺ e

-3000t

į(t) ĺ 10

4 e -3000t =h(t)

4) La réponse du filtre à tout autre entrée est obtenue par la convolution entre cette entrée et sa réponse

impulsionnelle. La réponse à l'échelon u(t) est donc donnée par : t 0 d)t(h)(u)t(y 8 t30000t3000t 0t

030004

30004t

0 e1310ee310e300010de10d)t(h

5) Soit r(t) l'expression de cette rampe. On remplace l'expression de u(t) par celle de r(t) dans l'intégrale

de convolution : 0 d)t(h.d)t(h)(r)t(y On restreint l'intervalle d'intégration à [0,t] : t 0

3000t30004t

0 )t(30004t 0 de.e10de.10d)t(h.)t(y

On doit utiliser l'intégration par parties :

'uvv'u)'uv(+= ļ +='uvv'uuv ļ -='uvuvv'u

En prenant u'=e

-3000t et v=IJ, il vient : t 0 3000
t

03000t30004t

0 3000
t

03000t30004

dee3000e10de30001e30001e10)t(y

1e30001te3000e10e30001e3000e10

t3000t3000t30004t

03000t

03000t30004

t3000 e9001

9001t310

Exercice

1) Soient

e et h deux séquences de valeurs provenant respectivement de l'échantillonnage d'un signal et de la réponse impulsionnelle d'un système : e={0,0,0,1,1,1,1,0,0,0} et h={1,-1} Calculer la séquence s résultant de la convolution numérique e*h.

2) Interpréter ces résultats du point de vue des plages de fréquences éliminées et conservées.

3) Quel est le signal qui permettrait de connaître la séquence

h ?

4) Proposer une séquence

h permettant de réaliser un moyennage du signal e. Même question qu'en 2)

5) Démontrer à l'aide de cet exemple que le produit de convolution est bien commutatif.

Réponse

1) On utilise la formule de la convolution discrète :

1N

0iiikkkk

h.eh*es avec k=0,1,...,M+N-2

N est le nombre d'éléments de

h et M celui de e : N=2 et M=10. Elle possède un nombre d'éléments égal

à la somme de ceux des deux séquences, moins 1, soit 10+2-1=11. On obtient la séquence suivante :

s={0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0}

2) On peut dire que les basses fréquences sont éliminées puisque les longues suites de 1, assimilables à

des fréquences basses, sont éliminées.

3) La séquence

h correspond à la réponse impulsionnelle d'un système. Il suffit donc d'appliquer une

impulsion de Kronecker (l'équivalent numérique de l'impulsion de Dirac) en entrée de ce système. La

séquence à utiliser est : e={1,0,0,0,0,0,0,0,0,0} On peut facilement démontrer que le résultat de la convolution entre e et h est s={1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, donc h={1,-1} est bien la réponse impulsionnelle du système.

Ce résultat démontre également que l'impulsion de Kronecker est l'élement neurtre de la convolution.

9

4) Par exemple h={1/3,1/3,1/3}. On obtient :

s={0,0,0,1/3,2/3,1,1,2/3,1/3,0,0,0} Ici ce sont plutôt les hautes fréquences qui sont éliminées.

5) On calcule

kk h*e . C'est à dire que concrêtement, on retourne la séquence {en} et on la décale. On

constate que l'on obtient le même résultat, ce qui vérifie que le produit de convolution est bien

commutatif.

Exercice

Soit l'image suivante (les cases vide contiennent des 0) :quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] 14 champs thématiques langues germaniques

[PDF] en quoi le monde est il inégal dans le domaine de la santé

[PDF] les inégalités face ? la santé dans le monde synthèse

[PDF] déclaration de dons de sommes d'argent

[PDF] article 790 g du code général des impôts

[PDF] declaration de don manuel n° 2735

[PDF] formulaire 2734

[PDF] formulaire cerfa 2731 pdf

[PDF] don manuel exceptionnel

[PDF] cerfa 2731 ou 2735

[PDF] don manuel plafond

[PDF] des souris et des hommes livre complet

[PDF] des souris et des hommes livre audio

[PDF] des souris et des hommes extrait

[PDF] des souris et des hommes audio mp3 gratuit