Exercice
4) Calculer la fonction d'autocorrélation du signal carré obtenu par répétition de la fonction porte à tous les instants kT' avec T'=2T et k entier. 5) Montrer
TD : signaux aléatoires et autocorrélation Table des mati`eres
Exercice 2. — Signal harmonique modulé. Soit le signal. Y (t) = X(t) cos(2πν0t + ϕ) avec X(t) un signal stationnaire de moyenne nulle de fonction
Correction dexercice
Calculer la fonction d'autocorrélation γ : Ê → du signal Z notée γz et définie par : γz(τ) def. = lim. T→+∞. 1. T ∫. T. −T. Z(t)Z(t − τ)∗dt. Solution :.
Correction TRAITEMENT DU SIGNAL
EXERCICE 5. (Exercice fait et corrigé en TD). Considérons un SLIT ayant pour Autocorrélation et intercorrélation des fonctions à énergie non finie.
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Correction Fiche TD 7 - Econométrie - Autocorrelation et tests d'hypothèses. Thomas Chuffart - thomas.chuffart@univ-amu.fr. December 8 2013. 1 Théorie.
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13 avr. 2017 Estimation de la fonction d'auto-covariance. Exercice 3.4. • Que proposeriez-vous comme estimateur de la fonction variance du processus.
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Exercice 2. — Signal harmonique modulé. Soit le signal. Y (t) = X(t) cos(2??0t + ?) avec X(t) un signal stationnaire de moyenne nulle de fonction
Exercice
Exercice. Calculer l'amplitude de la dérivée d'un signal sinusoïdal Exercice. 1) Calculer la fonction d'autocorrélation d'un signal porte défini par.
Correction dexercice
Calculer la fonction d'autocorrélation ? : Ê ? Tout d'abord et ce d'apr`es le résultat de l'exercice 1
Séries temporelles
Solution succincte de l'exercice 1.2 (Stationnarité et stationnarité stricte). 1. Condi. Calculer la fonction d'autocorrélation du processus (Zt).
Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices)
Jan 6 2020 CORRIGÉ DE LA FEUILLE D'EXERCICES NUMÉRO 1. 11. Figure 1.4.5. Par année. Figure 1.4.7. Autocorrélation du bruit blanc.
1 Convolution et corrélation.
Exercice : démontrer que le produit est commutatif : f ? g = g ? f. Un outil indispensable en physique est le concept d'auto-corrélation.
Renforcement Séries Chronologiques
Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n'est Calculer la fonction d'autocorrélation partielle du processus.
Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices) M1 IM 2021
1.4. CORRIGÉ DE LA FEUILLE D'EXERCICES NUMÉRO 1. 11. Figure 1.4.5. Par année. Figure 1.4.7. Autocorrélation du bruit blanc.
INTRODUCTION AU SIGNAL DETERMINISTE Exercices
Calculer la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de puissance (DSP) d'un signal rectangulaire périodique. ?. ?. ?. = Zk. )kTt(
Correction TRAITEMENT DU SIGNAL
(Exercice inspiré des annales d'examen SY53) (Exercice fait et corrigé en TD) ... Autocorrélation et intercorrélation des fonctions à énergie.
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Calculer la fonction d'autocorrélation ? : Ê ? Tout d'abord et ce d'apr`es le résultat de l'exercice 1 réécrivons la définition de ?z
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4) Calculer la fonction d'autocorrélation du signal carré obtenu par répétition de la fonction porte à tous les instants kT' avec T'=2T et k entier 5) Montrer
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Calculer la fonction d'autocorrélation du processus (Zt) Solution succincte de l'exercice 3 5 (Produit d'ARMA) 1 Il s'agit de la causalité
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Exercice 4 — Détection d'un signal harmonique L'objectif de ce probl`eme est de montrer comment la fonction d'autocorrélation peut être utilisée
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Le sujet contient un formulaire en annexe (Exercice inspiré des annales d'examen SY53) (Exercice fait et corrigé en TD)
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Calculer la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de puissance (DSP) d'un signal rectangulaire périodique ? ? ? = Zk )kTt(
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10 mar 2020 · Exercice 1 (/3) Soit Zt un processus stationnaire de moyenne nulle et de fonction d'autocovariance ? Soit mt une tendance
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Exercice 1 : avaux dirigés avec éléments de corrigé Calculer la fonction d'auto corrélation de ce signal Exercice 4 :
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Exercice 4 `A partir des autocorrélations empiriques (en haut) et des autocorrélations partielles em- piriques (en bas) proposer s'il y a lieu
Comment calculer l'autocorrélation d'un signal ?
l'autocorrélation en 0 est la valeur maximale de l'autocorrélation (puisque c'est pour un décalage nul que le signal se ressemble le plus à lui-même). C'est par ailleurs l'énergie du signal : R x ( 0 ) = ? ? ? + ? x ( t ) 2 d t .- Définition 1 On dit qu'un signal aléatoire est stationnaire si ses propriétés statistiques sont invariantes par translation dans le temps. (n) X . On en déduit donc que tous les moments sont indépendants du temps.
Séries chronologiques (avecR)
(Cours et exercices)M1 IM, 2018-2019Sylvain Rubenthaler
Table des matières
Préfaceiii
Chapitre 1. Introduction 1
1.1. Tendances et composantes saisonnières 2
1.2. Indices descriptifs d"une série temporelle 2
1.3. Feuille d"exercices numéro 1 (durée : 3h) 4
1.4. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 1 (qui constitue un exemple de ce qui est
attendu aux contrôles sur machine) 5Chapitre 2. Lissages exponentiels 15
2.1. Lissage exponentiel simple 15
2.2. Lissage exponentiel double 16
2.3. Méthode de Holt-Winters 18
2.4. Feuille d"exercices numéro 2 (durée : 3h) 19
Chapitre 3. Estimation et élimination de la tendance et de la saisonnalité 233.1. Bruit blanc 23
3.2. Processus stationnaire 23
3.3. Estimation paramétrique de la tendance 23
3.4. Estimation non paramétrique : moyenne mobile 26
3.5. Élimination de la tendance et de la saisonnalité par la méthode des différences 27
3.6. Test sur la série résiduelle 29
3.7. Exemple : un système proies-prédateurs 30
3.8. Feuille d"exercices numéro 3 (durée : 3h) 31
Chapitre 4. Modélisation des séries stationnaires 354.1. Auto-corrélation partielle 35
4.2. Les processus auto-régressifs 35
4.3. Les processus en moyenne mobile 39
4.4. Les processus mixtes ARMA(p,q). 39
4.5. Tableau des propriétés 42
4.6. Estimation, choix de modèle et prévisions 43
4.7. Processus non stationnaires : ARIMA et SARIMA 44
4.8. Feuille d"exercices numéro 4 (durée : 6h) 53
4.9. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 4 54
4.10. Feuille d"exercices numéro 5 (durée : 6h) 60
Chapitre 5. Analyse spectrale 63
5.1. Densité spectrale 63
5.2. Le périodogramme 66
5.3. Récupération des composantes périodiques 67
5.4. Feuille d"exercices numéro 6 (durée : 3h) 67
Chapitre 6. ProcessusARCHetGARCH71
6.1. ProcessusARCH71
6.2. ProcessusGARCH73
i6.3. Feuille d"exercices numéro 7 (durée : 3h) 74
6.4. Feuille d"exercices numéro 8 (révisions) 74
6.5. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 8 76
Table de la loi normale 83
Bibliographie85
Liste des symboles87
Index89
iiPréface
Ce polycopié s"inspire fortement de [Jac, OPV]. Les TP se feront enR, les exemples de programmes seront aussi donnés enR. Les corrigés des exercices sur tables sont inclus dans ce polycopié. Pour les corrigés des exercices sur ordinateur : voir sur internet. Prérequis : cours de L3 MASS d"introduction aux séries chronologiques et cours de L3 MASS de probabilités. Important : les fichiers sources sont disponibles sur :http://www.math.unice.fr/~rubentha/enseignement. J"encourage toute personne enseignant ce cours à utiliser ces fichiers et à ajouter
son nom à la liste d"auteurs de ce polycopié.La première utilisation en cours de ce polycopié est prévue pour 2016-2017. Il va de soi que le
nombre de coquilles ira en décroissant avec les années. iii ivChapitre 1
Introduction
Définition1.1.Une série temporelle (ou série chronologique) est une suite réelle finie(xt)1tn
(n2N). L"indicetreprésente une unité de temps (qui peut être le mois, l"année ...). Exemple1.2.La figure 1.0.1 représente le total mondial des passagers aériens par mois entre1949 et 1960. Noter que les points sont reliés par des traits (qui sont là pour faire joli et n"ont pas
de signification particulière). Les données (AirPassengers) sont disponibles dansR.Figure 1.0.1.AirPassengers
L"objectif de l"étude des séries temporelles est de faire des prédictions sur l"évolution de la
série. Voici une liste non-exhaustive des modèles mathématiques que l"on pourra utiliser : Régression. On supp oseque xtest polynomial ent, par exemplext=2t2+1t+0+t (avectun bruit aléatoire). On estime les coefficients parb2,b1,b0(à partir des valeurs x1;:::;xn). Ainsi, avec la donnée dex1;:::;xn, on fera la prédictionbxn+1=b2(n+1)2+
b1(n+ 1) +b0de la valeurxn+1. 12 1. INTRODUCTION
Lissages exp onentiels(v oirc hapitresuiv ant).
Mo dèlesARMA, qui cons istentà e nleverde la série les tendances et la saisonnalité (=p é-
riodicité). Ces modèles sont plus lourds numériquement, mais plus performants.Les défis à relever (dans l"ordre) :
Définir un mo dèlea vecun nom brefini de paramètres.Estimer les paramètres du mo dèle.
Vérifier la qualité de l"a justementdu mo dèle,comparer d ifférentsmo dèles(on p ourra
découper les données en un échantillon d"apprentissage et un échantillon de test).Effectuer des prédictions.
1.1. Tendances et composantes saisonnières
Définition1.3.On dit que la série admet une tendance si on peut écrirext=f(t)+tavec fune fonction fixée et(t)des bruits aléatoires. Si f(t) =t+, on dit que la tendance est linéaire. Plus généralement, sixt=Pp i=0iti, on dit que la tendance est polynomiale. Si f(t)est périodique, on dit que la tendance est périodiqe. Si f(t) =s(t) +t+avecsune fonction périodique on dit que la série a une tendancelinéaire et une composante périodique (/saisonnière). (On remarque que ces définitions ne
sont pas très cohérentes.)1.2. Indices descriptifs d"une série temporelle
1.2.1. Indice de tendance centrale.Moyenne empirique :x
n=1n P n t=1xt.1.2.2. Indices de dispersion.Variance empirique :bn(0) =1n
P n t=1(xtx n)2(sa racine carrée est l"écart-type empirique).1.2.3. Indices de dépendance.(qui renseignent sur la dépendance entre les donnéesxt)
Auto-covariance empirique d"ordreh(hdansN) :bn(h) =1nhP nh t=1(xtx n)(xt+hx n) (h < npour que la formule ait un sens).Fonction d"auto-covariance empirique :h7!bn(h).
Auto-corrélation empirique :bn(h) =bn(h)bn(0)(prend ses valeurs dans[0;1]). Fonction d"auto-corrélation empirique :h7!bn(h). Remarque1.4.Les quantités empiriques ci-dessus sont des estimateurs consistants de cer- taines grandeurs (c"est à dire qu"elles convergent vers certaines grandeurs quandn!+1). Les convergences sont basées sur des applications de la loi des grands nombres. En particulier, pourh proche den(disonsjnhj<50), la quantitébn(h)n"a pas beaucoup d"intérêt. La représentation graphique deux nuage de points(xt;xt+1)1tn1illustre la valeur debn(1)(voir figure 1.2.1). Plus le nuage est arrondi, plusbn(1)est proche de0. Plus le nuage est allongé,
plusbn(1)est proche de1. Cette remarque est aussi valable pour lesbn(h)avech2. Proposition1.5.Supposonsxt=a+bt+t, avec(t)t1une suite de variable aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) eta6= 0. Supposons queE(21)<1. Alors, pourhfixé dansN, bn(h)p.s.!n!+11:Démonstration.Notons
n=1n (1+2++n). Nous avonsx n=1n n X t=1(at+b+t) =a(n+ 1)2 +b+ t:Fixonsh2 f1;2;:::;n1g. Nous avons
bn(h) =1nhnhX t=1 a tn+ 12 +t n a t+hn+ 12 +t+h n1.2. INDICES DESCRIPTIFS D"UNE SÉRIE TEMPORELLE 3
1nhnhX
t=1 a 2 tn+ 12 t+hn+ 12 + (t n)(t+h n) +(t n)a t+hn+ 12 +a tn+ 12 (t+h n)Nous avons
1nhnhX
t=1(t n)(t+h n) =1nh nX t=1 tt+h+ 2n nt+ht n! et (par application de la loi de grands nombres),1nhnhX
t=1 tt+hp.s.!n!+1E(11+h); n2nnhp.s.!n!+1E(21);
1nhnhX
t=1 nt+hp.s.!n!+1E(1)2;1nhnhX
t=1 ntp.s.!n!+1E(1)2:De plus, par Cauchy-Schwartz,
1nhnhX
t=1(t n)a t+hn+ 12 a1nhnhX
t=1(t n)2! 1=21nhnhX
t=1 t+hn+ 12 2!1=2 a1nhnhX
t=1(t n)2! 1=2 1nh n+hn+ 12 2!1=2 Nous avons (par application de la loi de grands nombres)1nhnhX
t=1(t n)2p.s.!n!+1Var(1):Donc, p.s.,
1nhnhX
t=1(t n)a t+hn+ 12 =O(n):De même
1nhnhX
t=1a tn+ 12 (t+h n) =O(n):Nous avons
1nhnhX
t=1a 2 tn+ 12 t+hn+ 12 a2nhnhX t=1 t2+(n+ 1)24
+ (h(n+ 1))t+hn+ 124 1. INTRODUCTION
(formule pour la somme des carrés)=a2nh (2(nh) + 1)(nh+ 1)(nh)6 +a2(n+ 1)24 a2(hn1)nhn(n+ 1)2 +a2(n+ 1)2 =a23 n2+a24 n2+o(n2):Donc, p.s.,
bn(h)n!+17a212 n2: Donc bn(h)p.s.!n!+11: Proposition1.6.Sous les mêmes hypothèse que dans la proposition 1.5, sixt=acos(2t=T), aveca6= 0etT2N, alors bn(h)!n!+1cos(2h=T) Remarque1.7.On admet ensuite que si l"auto-corrélation d"une série est constante, c"estqu"elle a une tendance linéaire et que si cette auto-corrélation est périodique de périodeT, alors la
série a une composante périodique de périodeT. Les convergences décrites dans les propositions
ci-dessus sont plus lentes quandhest grand. On se limitera donc àh20(tant que cela permet d"observer quelques périodes dans le cas avec saisonnalité).1.3. Feuille d"exercices numéro 1 (durée : 3h)
Préliminaires.Créer un fichier texte dans lequel vous répondrez clairement aux questions ci-dessous, en incluant vos codesR, les résultats obtenus sousR(graphique y compris), vos in- terprétations, remarques ... Une fois ce TP fini, vous metterez en forme votre compte-rendu et l"exporterez au format pdf (c"est ce qui sera demandé au partiel).1.3.1. Données de varicelle.Récupérer le fichier contenant le nombre de cas de varicelle
relevés à New-York de janvier 1931 à juin 1972 (1)Créer un ob jetde t ypesérie temp orellecon tenantcette série. Représen tergraphiquemen t
la série. (Voir appendice pour les instructions utiles enR.) (2)Analyser qualitativ ementcette série, c"est-à-dire rep érerd"év entuellestendances et/ou sai-
sonnalités (changer d"échelle si besoin). (3) Quel est le nom brede cas de v aricellemensuel mo yen? (4) T racerles 25 premières auto-corrélations. In terpréterces résultats. (5) T racersur un même graphique, les év olutionsmensue llesdu nom brede cas de v aricelle pour chaque année (une courbe pour chaque année, ce qui nous donnera un certain nombre de courbes superposées). (6) T racersur un gra phiquel"év olutionann uelledu nom brede cas de v aricelle. (7) Ces deux dernières questions v ousp ermettent-ellesd"am éliorerv osconclusions de la ques- tion 2?1.3.2. Simulations de séries temporelles.On appellebruitblancgaussien une suite de
variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées(t)t2Nde loi normale centrée ré-
duite. (1) Quelle est la fonction d"auto-corrélation d"un bruit blanc ? (2) Sim ulerun bruit blanc gauss iende taille 100, et représen terle graphiquemen t. (3)T racerla fonction d "auto-corrélation.
(4)Recommencer les deux questions précéden teset observ erla v ariabilitédes résultats. Jouer
sur la longueur de la série.1.4. CORRIGÉ DE LA FEUILLE D"EXERCICES NUMÉRO 1 5
(5) Sim ulermain tenantla série temp orelleX(t) = 0:5t+ 2tavect N(0;1)(taille100). (6) Représen tergraphiquemen tla s érieet in terpréter-laqualitativ ement. (7) F aitesde même p ourX(t) = 0:5t+t+ 3cos(t)avect N(0;1).1.3.3. Appendice : mise en oeuvre sousR.Quelques fonctionsRutiles à l"étude des séries
temporelles : A vantde c hargerle fic hierdans R, taper l"adresse dans le navigateur pour le visualiser. Charger un fichier de données numériques en sautant leskpremières lignes (s"il y a du texte au début) : data=scan(file="donnee.dat",skip=k). Définir le répertoire courant : setwd("~/Documents/")(ici on veutˆetre dans~/Documents), savoir quel est le répertoire courant :getwd(). Créer un ob jetde t ypesérie temp orelle: serie <- ts (data,start,end,frequency).datacontient le vecteur des données (un fichier contenant les données peut être mentionné
en remplaçant data parfile="donnees.dat"), start et end mentionne les dates de début et de fin de la série (ex :start=c(1990,1)etend=c(1999,6)pour des données allant de janvier 90 à juin 99), et enfin frequency mentionne le nombre de données par unité detemps (par exemple, si les dates de début et de fin sont des années, et que les données sont
mensuelles, il faudra indiquerfrequency=12). Découper une série temporelle dec(i,j) àc(k,l):xd<-window(x,c(i,j),c(k,l)). Transformer une série temporelle en vecteur de nombres :v=as.numeric(cp). Représen tergraphiquemen tun o bjetde t ypesérie temp orelle: plot.ts(serie). La fonction acf(x, lag.max = 10, type = c("correlation", "covariance"), plot = TRUE)calcule (et trace si l"optionplotest àTRUE) les lag.max premières auto-corrélations ou auto-covariances (choisir corrélation OU covariance).Quelques conseils utiles pour les graphiques enR:
P ourreprés enterplusieurs courb essur le même graphique, tracer la première à l"aide de la
commandeplotqui créé la fenêtre graphique et y insère la courbe, puis tracer les autres courbes à l"aide de la commandelinesqui trace une courbe sur une fenêtre graphique existante. P ourpartager la fenêtre gra phiqueen plusieurs ( n×p) sous-graphes, utiliser la commande par(mfrow=c(n,p)). Préciser les limites des ax esdes graphiques : plot(...,xlim=c(0,10),ylim=c(-10,10)). P ourexp orterles graphiques en jpeg(idem pourbmp,png), il faut lui procéder de la sorte (1)jpeg(filename="nomfichier%d.jpeg"), (2) réaliser le gra phique, (3) la commande dev.off()permet enfin de rediriger le dernier graphique tracé vers le fichiernomfichier1.jpeg, et ainsi de suite après chaque graphique. Le nom de fichier sera automatiquement incrémenté. Simulation de variables normales indépendantes :x<-rnorm(n,mean=0,sd=1)renvoie une suite de variables normales indépendantes de moyenne0et d"écart-type1.1.4. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 1 (qui constitue un exemple de ce qui
est attendu aux contrôles sur machine)1.4.1. Données de varicelle.
(1) Regarder le fic hiersur in ternetp ourv oircom biende lignes il faut s auter(tap erl"adresse http://...dans la barre d"adresse). On peut ensuite le sauver sur l"ordinateur et le char- ger dansRavec l"instructionscanou le charger directement dansR(avec l"instruction scanaussi). Instruction pour charger le fichier (en sautant la premiere ligne) : serie<-ts(data,frequency=12)6 1. INTRODUCTION
(bien mettre le chemin vers le fichier en entier). On choisit frequency=12 pour avoir les an- nées en abscisses (les données sont mensuelles). Pour dessiner le graphique :plot.ts(serie). Voir le graphique dans la figure 1.4.1. Pour exporter un ou plusieurs graphiques en jpeg : jpeg (filename="~/.../tp1_graphique%d.jpeg")(bien mettre le chemin en entier), plot.ts(serie),plot ..., plot ..., dev.off(). (2) On ne v oitpas de tendance mais on v oitune saisonnalité. P ourmieux v oirla saisonn alité, on peut zoomer sur une durée plus petite (les 50 premiers mois) (serie_z<-ts(data,2,50),plot.ts(serie_z)). Voir le graphique : figure 1.4.2. (3)On fait mean(serie)et on trouve732;4076.
(4) On ren trel"in tructionacf(serie,lag.max=25,type=c("correlation"))et obtient le graphique de la figure 1.4.3. La fonction d"autocorrélation est périodique, ce qui indique unepériodicité dans la série temporelle. La ligne pointillée bleue indique le niveau en-dessous
duquel la corrélation n"est plus statistiquement significative. (5)On utilise le co de:
png (filename="~/.../tp1_graphe-multiple.png") v=as.numeric(cp) for(i in 2:41) v=as.numeric(cp) lines(v) dev.off() Remarquer la boucle, l"extraction des lignes avec la fonctionwindow, la conversion en vecteur avecas.numeric. Voir le graphique dans la figure 1.4.4. (6) Co dep ourl"év olutionann uelledu nom brede cas de v aricelle: v=c(); for (i in 1:41) v=c(v,sum(cp)) plot(1:41,v)Et on obtient le graphique : voir figure 1.4.5.
(7) Le dernier graphique sem bleindiquer une tendance décroissan te.1.4.2. Simulation de série temporelle.
(1) Si on prend 1,2,3... des variables i.i.d. de loiN(0;1)alors, pour touti,iest de variance1et pour touti6=j,E(ij)E(i)E(j) = 0. Donc la fonction d"autocorrélation est la suivanteR(i;j) =E(ij)E(i)E(j)E(2i)E(i)2=(
1sii=j
0sinon.
(2)v=rnorm(100, mean = 0, sd = 1), plot(1:100,v)(voir le graphique dans la figure1.4.6)
1.4. CORRIGÉ DE LA FEUILLE D"EXERCICES NUMÉRO 1 7
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[PDF] formulaire 2734
[PDF] formulaire cerfa 2731 pdf
[PDF] don manuel exceptionnel
[PDF] cerfa 2731 ou 2735
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[PDF] des souris et des hommes audio mp3 gratuit