[PDF] Correction TRAITEMENT DU SIGNAL

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Médian SY53 Pr 2008 1 NOM :

Correction

TRAITEMENT DU SIGNAL

Note :

Durée : 1H50. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n"est autorisé. Le sujet contient un formulaire en annexe. Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d"être éventuellement calculées de façon numérique.

EXERCICE 1

Considérons les deux fonctions complexes ()1Fn et ()2Fn définies de la façon suivante : ()()2 2

1 1 0F : F A sinc Tn ® n = n et ()()2 2 j2

2 2 0F : F A sinc T e- pnqn ® n = n

Considérons un SLIT (Système Linéaire Invariant par Translation de sa variable) ayant pour fonction de transfert harmonique la fonction ()Hn. Considérons y(t) la réponse du SLIT à l"excitation x(t).

On considère que

()1Fn est la DSE (densité Spectrale d"Energie) du signal x(t) et que ()2Fn est la DSEI (Densité Spectrale d"Energie d"Interaction) entre y(t) et x(t).

1) Déterminer une expression mathématique de x(t).

()1Fn étant la DSE de x(t), ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1F X X X*n = n n = n. Comme

()1Fn est un module carré, il existe une infinité de fonction ()Xn qui ont même module carré.

On choisira par exemple :

()()0X A sinc Tn = n d"où l"obtention de x(t) par transformée inverse de Fourier. 0 0

A tx t rectT T

/20,5 1

SLIT x(t) y(t)

6,5 Médian SY53 Pr 2008 2 En déduire l"expression de y(t) correspondante. ()2Fn étant la DSEI entre y(t) et x(t), ()()()2F Y X*n = n n. Si ()()0X A sinc Tn = n, alors ()()0X A sinc T*n = n car ()Xn Î?

On en déduit

2 2AFYX nn = =n2sinc() j2 0 0T e

A sinc T- pnqn

n( )j2

0A sinc T e- pnq= n

()()j2

0Y A sinc T e- pnqn = n

Puis par transformée inverse :

0 0

A ty t rectT T( )- q=( )( )

2) Rappeler et démontrer la relation qui lie la DSEI entre

la sortie et l"entrée d"un SLIT avec la DSE à l"entrée de ce même SLIT. Si x(t) est l"entrée du SLIT et y(t) la sortie correspondante, ()()()()()()yxS Y X H X X* *n = n n = n n n Or ()()()xxX X S*n n = n d"où ()()()yx xxS H Sn = n n En déduire l"expression mathématique de la fonction de transfert ()Hn du SLIT. On déterminera ()Hn, ()Hn et ()()arg Hn.

En utilisant ()()()yx xxS H Sn = n n, on trouve :

( )( )( )( )( )()2 2 0yx2 xx 1A sinc TSFHS Fn nnn = = =n n j2 2 2 0e

A sinc T- pnq

n j2e- pnq= ()j2H e- pnqn = Donc ()H 1n = et ()()Arg H 2n = - pnq En déduire la réponse impulsionnelle du SLIT. On rappelle que la fonction de transfert est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. Pour déterminer ()h t, il suffit donc de calculer la transformée inverse de Fourier de ()Hn. Dans l"expression de ()j2H 1 e- pnqn =i on remarque l"application du théorème du décalage d"où : ()()h t t= d - q 1,5 1,5 1 1 Médian SY53 Pr 2008 3 On remarque que la réponse du SLIT à une impulsion de Dirac est une impulsion de Dirac décalée. Ce SILT est donc un retardateur pur. Représenter graphiquement cette réponse impulsionnelle.

EXERCICE 2

(Exercice inspiré des annales d"examen SY53)

Considérons la fonction f(t) suivante :

1) Exprimer f(t) à l"aide des fonctions usuelles.

Il s"agit de deux fonctions rectangles décalées : 0 0

0 0T Tt t2 2f t A rect A rectT T

On peut aussi exprimer f(t) de la façon suivante : ( )0 0

0t T Tf t A rect t tT 2 2

( )? ?( ) ( )= * d + - d -( ) ( )( )? ?( ) ( )? ?( )

2) Déterminer ()Fn, la transformée de Fourier de f(t).

00TTj2j2220 0 0 0F AT sinc T e AT sinc T e

pn- pnn = n - n 0 0

0 0j T j T

j T j T

0 00 0e eF AT sinc T e e 2jAT sinc T2jpn - pn

pn - pn( )-n = n - = n( )( ) d"où ()()()0 0 0F 2jAT sinc T sin Tn = n pn

3) Déterminer

()Gn, la DSE (Densité Spectrale d"Energie) de f(t). 22
f0 0 0DSE F F F 2jAT sinc T sin T*= n n = n = n pn ()()()2 2 2 2

0 0 0G 4A T sinc T sin Tn = n pn

4 0,5 1 1 0 ()f t A t 0T 0T- -A 1 0 ()h t t q 1 Médian SY53 Pr 2008 4

Représenter graphiquement ()Gn.

EXERCICE 3

Considérons le signal x(t) qui a pour DSP (densité

Spectrale de Puissance) la fonction

()Fn suivante :

1) Déterminer P

moy la puissance moyenne du signal x(t). ( ) ( )moy0P DSP d F d 3A -¥ -¥= n n = n n = n∫ ∫

EXERCICE 4

Considérons le signal f(t) qui a pour transformée de

Fourier la fonction

()Fn suivante : ()()0F : F Asinc Tn ® n = n

1) Déterminer E l"énergie totale du signal f(t).

Grâce au théorème de Parseval, on peut dire :

22 22 2

Totale00E f t dt F d Asinc T d A sinc T d

-¥ -¥ -¥-¥= = n n = n n = n n∫ ∫ ∫ ∫ On pose le changement de variable 0Tq = n, 0d Tdq = n 2 2 22

Totale

0 0d AE A sinc sinc dT T

-¥-¥q= q = q q∫ ∫ d"où 2

Totale

0 AET= 2 2 1 2 ()Fn n A 0

02- n 0-n 0n 02n

2 2 2

04A T ()Gn

()2 2 2

0 04A T sinc Tn

n 0 0 1 T 0 2 T Médian SY53 Pr 2008 5

EXERCICE 5

(Exercice fait et corrigé en TD) Considérons un SLIT ayant pour réponse impulsionnelle h(t).

1) Déterminer, par deux méthodes différentes, la réponse

du SLIT à l"excitation complexe ()0j2 te t epn=.

Méthode 1 :

(Voir TD pour plus de détails) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )00 0j2 t aj2 t j2 as t h t e t h a e da e h a e da +¥+¥pn -pn - pn

D"où

()()()0s t e t H= n car ( )0j2 ah a e da +¥- pn -¥∫ est la transformée de Fourier de h(t) calculée au point 0n.

Méthode 2 :

(Voir TD pour plus de détails) ()()()S E Hn = n n or ()()0En = d n - n

D"où

()()()()()0 0 0S H Hn = d n - n n = d n - n n

Et donc par transformation inverse de Fourier

()()()()0j2 t

0 0s t e H e t Hpn= n = n

Questions de cours

1) Si ()fq est un signal représentant une pression en

Pascal en fonction d"un angle

q en radian et ()gq un signal représentant un volume en m

3 en fonction d"un

angle q en radian, déterminer l"unité de chacune des grandeurs suivantes : ()Fn la transformée de Fourier de f. ()fq est en Pa donc ( ) ( )j2F f e d +¥- pnq -¥n = q q∫ est en (Pa.rd) ()Gn la transformée de Fourier de g. ()gq est en m3 donc ( ) ( )j2G g e d +¥- pnq -¥n = q q∫ est en (m3.rd) 3 2 3 3 Médian SY53 Pr 2008 6 ()ffSn la densité spectrale de Puissance de f. 2 ff1S Lim F

QQ®+¥( )n = n( )Q( ) est en (Pa2.rd).

()fgSn la densité spectrale de Puissance d"interaction de f avec g. fg1S Lim F G Q QQ®+¥( )n = n n( )Q( ) est en (Pa.m3.rd) ou (N.m.rd) 2) Si ()f t est un signal périodique de période T0, que pouvez-vous dire sur sa transformée de Fourier ()Fn ? ()Fn sera de la forme ( )n n 0 nFT =-¥( )n = a d n -( )( )∑ où na représente les coefficients de la série de Fourier de f(t). La représentation graphique de ()Fn est un spectre complexe de raies. (Voir cours pour plus de détails) 1 Médian SY53 Pr 2008 7

FORMULAIRE

Convolution : f g t f g t fa gt a da* ® * = --¥+¥∫: ( )( ) ( ) ( )

Puissance instantanée d"interaction

()()()P t x t y txy= ×*

Energie totale :

¥-=dt)t(f)t(fE*

Energie d"interaction sur l"intervalle T :

∫=T* xydt)t(y)t(x)T(E Puissance moyenne d"un signal périodique : a== n2 nT2 moydttfT1P

Signaux aléatoires :

Moyenne : ∫∫

¥-+¥®===dx)x(xpdt)t(xT

1Lim)x(Emoy

TiTi

Puissance :

¥-+¥®===dx)x(pxdt)t(xT

1Lim)x(EP2

T2 iT2 i

Rapport signal/bruit de quantification :

3N2 max2.12BS-=) et dB76,1N.02,6BS dBmax+=)

Décomposition en série de Fourier :

ftaant Tbnt Tn n n( ) cos sin= +( =+¥∑0 1

22 2P P

avec aTftnt

TdtnTT=(

-+∫2 2

22( )cosP et bTftnt

TdtnTT=(

-+∫2 2

22( )sinP

ou ft enjnt T n( )= =-¥+¥∑a 2P avec ∫∫ -=a=a P- 2T 2 T2T 2

Tdt)t(fT

1etdte)t(f

T 1

0Tnt2j

n

Transformation de Fourier :

¥-nP-=ndte)t(x)(Xt2j et xt X e dj t( ) ( )=-¥+¥∫n n2Pn Quelques propriétés de la transformée de Fourier. fataFaTF( )¾ ®¾¾¾¾( 1n ()()n-¾¾¾¾ ®¾-FtfTF ()()n-¾¾¾¾ ®¾**FtfTF ft a e FTFj a( ) ()- ¾ ®¾¾¾¾-2P nn e ft F aj atTF2P( ) ()¾ ®¾¾¾¾ -n f g F GTF´ ¾ ®¾¾¾¾ * f g F GTF* ¾ ®¾¾¾¾ ´

¢¾ ®¾¾¾¾f t j FTF( ) ()2Pn n

Médian SY53 Pr 2008 8 f t j FnTFn( )( ) ( ) ()¾ ®¾¾¾¾2Pn n )t(f)(F)t(fTFTF-¾¾¾¾ ®¾n¾¾¾¾ ®¾

¥-nn=d)(Fdt)t(f22

Transformée des signaux périodiques : Fn

Tn n( )n a d n= -(

Autres propriétés :

()f t ()Fn réelle Re(F) est paire

Im(F) est impaire

réelle et paire réelle et paire réelle et impaire imaginaire et impaire

Quelques Transformées de Fourier.

()Fourier1¾¾¾¾¾¾® d n ()Fouriert 1d ¾¾¾¾¾¾® ()n¾¾¾¾¾ ®¾sinc)t(rectFourier ()n¾¾¾¾¾ ®¾2Fouriersinc)t(tri ())(rectt sincFouriern¾¾¾¾¾ ®¾ ())(trit sincFourier2n¾¾¾¾¾ ®¾ pn+¾¾¾¾¾ ®¾???<³= 2j11

0t pour 00t pour e)t(1ie

Fouriert

( )2Fourier t212e)t(2iepn+¾¾¾¾¾ ®¾=

22ee)t(igFouriertpn-p-¾¾¾¾¾ ®¾=

( )( ) ( )( )Fourier1cos 2 ft f f2p ¾¾¾¾¾¾® d n - + d n +

Signaux à énergie finie :

DSE : ()()2

ffFSn=n DSEI : ()()()nn=n* fgGFS

Signaux à énergie non finie :

DSP : ( )( ))

n=n+¥® 2

TTffFT1LimS

pour les fonctions périodiques -nda=n∑ TnSn2 nff

DSPI :

fg T TT1S Lim F GT ( )n = n n( )( ) Médian SY53 Pr 2008 9 Autocorrélation et intercorrélation des fonctions à énergie finie ()()()C x t x t dtxxt t= × -* -¥+¥∫ et ( ) ( ) ( )dttytxCxy∫

¥-*t-×=t

Autocorrélation et intercorrélation des fonctions à énergie non finie +¥®t-×=t2T 2

TTxxdttxtxT1limC et ( )( ) ( )dttytxT1LimC2T

2

TTxy∫

+¥®t-×=t

Pour les fonctions périodiques :

()( ) ( )CTx t x t dtxxTTt t= × -* -+∫1

22 et ( )( ) ( )CTx t y t dtxyTTt t= × -*

-+∫1 22
Autocorrélation et intercorrélation des fonctions aléatoires +¥®*t-×=t-=t2T 2

TTxxdttxtxT1limtxtxEC

et ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )dttytxT1LimtytxEC2T 2

TTxy∫

+¥®*t-×=t-=t

Formules d"Euler.

()()()()cossinx e e xje ejx jxjx jx= + = ---1 21

2 et

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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