[PDF] Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices) M1 IM 2021

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Séries chronologiques (avecR)

(Cours et exercices)

M1 IM, 2023-2024

Sylvain Rubenthaler, Athanasios Vasilieiadis

Table des matières

Préfaceiii

Chapitre 1. Introduction 1

1.1. Tendances et composantes saisonnières 2

1.2. Indices descriptifs d"une série temporelle 2

1.3. Feuille d"exercices numéro 1 (durée : 3h) 4

1.4. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 1 5

Chapitre 2. Lissages exponentiels 15

2.1. Lissage exponentiel simple 15

2.2. Lissage exponentiel double 16

2.3. Méthode de Holt-Winters 18

2.4. Feuille d"exercices numéro 2 (durée : 3h) 20

Chapitre 3. Estimation et élimination de la tendance et de la saisonnalité 23

3.1. Bruit blanc 23

3.2. Processus stationnaire 23

3.3. Estimation paramétrique de la tendance 23

3.4. Estimation non paramétrique : moyenne mobile 26

3.5. Élimination de la tendance et de la saisonnalité par la méthode des différences 27

3.6. Test sur la série résiduelle 29

3.7. Exemple : un système proies-prédateurs 31

3.8. Feuille d"exercices numéro 3 (durée : 3h) 32

Chapitre 4. Modélisation des séries stationnaires et des séries non-stationnaires 35

4.1. Auto-corrélation partielle 35

4.2. Les processus linéaires généraux 35

4.3. Les processus auto-régressifs 36

4.4. Les processus moyennes mobiles 41

4.5. Les processus mixtes ARMA(p,q). 42

4.6. Tableau des propriétés 44

4.7. Les modèles des séries non-stationnaires 44

4.8. La méthodologie de Box-Jenkins 47

4.9. Feuille d"exercices numéro 4 (durée : 6h) 55

4.10. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 4 57

4.11. Feuille d"exercices numéro 5 (durée : 6h) 63

Chapitre 5. Analyse spectrale 73

5.1. Densité spectrale 73

5.2. Le périodogramme 76

5.3. Récupération des composantes périodiques 77

5.4. Feuille d"exercices numéro 6 (durée : 3h) 77

Chapitre 6. ProcessusARCHetGARCH83

6.1. ProcessusARCH83

6.2. ProcessusGARCH85

i

6.3. Feuille d"exercices numéro 7 (durée : 3h) 86

6.4. Feuille d"exercices numéro 8 (révisions) 87

6.5. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 8 88

Table de la loi normale 97

Bibliographie99

Liste des symboles101

Index103

ii

Préface

Ce polycopié s"inspire fortement de [Jac, OPV]. Les TP se feront enR, les exemples de programmes seront aussi donnés enR. Les corrigés des exercices sur tables sont inclus dans ce polycopié. Pour les corrigés des exercices sur ordinateur : voir surhttps://www.math.unice.fr/ ~rubentha/cours.html. Prérequis : cours de L3 MASS d"introduction aux séries chronologiques et cours de L3 MASS de probabilités. Important : les fichiers sources sont disponibles sur :https://www.math.unice.fr/~rubentha/

cours.html. J"encourage toute personne enseignant ce cours à utiliser ces fichiers et à ajouter son

nom à la liste d"auteurs de ce polycopié. iii iv

Chapitre 1

Introduction

Définition1.1.Une série temporelle (ou série chronologique) est une suite réelle finie(xt)1tn

(n2N). L"indicetreprésente une unité de temps (qui peut être le mois, l"année ...). Exemple1.2.La figure 1.0.1 représente le total mondial des passagers aériens par mois entre

1949 et 1960. Noter que les points sont reliés par des traits (qui sont là pour faire joli et n"ont pas

de signification particulière). Les données (AirPassengers) sont disponibles dansR.Figure 1.0.1.AirPassengers

L"objectif de l"étude des séries temporelles est de faire des prédictions sur l"évolution de la

série. Voici une liste non-exhaustive des modèles mathématiques que l"on pourra utiliser : Régression. On supp oseque xtest polynomial ent, par exemplext=2t2+1t+0+t (avectun bruit aléatoire). On estime les coefficients parb2,b1,b0(à partir des valeurs x

1;:::;xn). Ainsi, avec la donnée dex1;:::;xn, on fera la prédictionbxn+1=b2(n+1)2+

b1(n+ 1) +b0de la valeurxn+1. 1

2 1. INTRODUCTION

Lissages exp onentiels(v oirc hapitresuiv ant).

Mo dèlesARMA, qui cons istentà e nleverde la série les tendances et la saisonnalité (=p é-

riodicité). Ces modèles sont plus lourds numériquement, mais plus performants.

Les défis à relever (dans l"ordre) :

Définir un mo dèlea vecun nom brefini de paramètres.

Estimer les paramètres du mo dèle.

Vérifier la qualité de l"a justementdu mo dèle,comparer d ifférentsmo dèles(on p ourra

découper les données en un échantillon d"apprentissage et un échantillon de test).

Effectuer des prédictions.

1.1. Tendances et composantes saisonnières

Définition1.3.On dit que la série admet une tendance si on peut écrirext=f(t)+tavec fune fonction fixée et(t)des bruits aléatoires. Si f(t) =t+, on dit que la tendance est linéaire. Plus généralement, sixt=Pp i=0iti, on dit que la tendance est polynomiale. Si f(t)est périodique, on dit que la tendance est périodiqe. Si f(t) =s(t) +t+avecsune fonction périodique on dit que la série a une tendance

linéaire et une composante périodique (/saisonnière). (On remarque que ces définitions ne

sont pas très cohérentes.)

1.2. Indices descriptifs d"une série temporelle

1.2.1. Indice de tendance centrale.Moyenne empirique :x

n=1n P n t=1xt.

1.2.2. Indices de dispersion.Variance empirique :bn(0) =1n

P n t=1(xtx n)2(sa racine carrée est l"écart-type empirique).

1.2.3. Indices de dépendance.(qui renseignent sur la dépendance entre les donnéesxt)

Auto-covariance empirique d"ordreh(hdansN) :bn(h) =1nhP nh t=1(xtx n)(xt+hx n) (h < npour que la formule ait un sens).

Fonction d"auto-covariance empirique :h7!bn(h).

Auto-corrélation empirique :bn(h) =bn(h)bn(0)(prend ses valeurs dans[1;1]). Fonction d"auto-corrélation empirique :h7!bn(h). Remarque1.4.Les quantités empiriques ci-dessus sont des estimateurs consistants de cer- taines grandeurs (c"est à dire qu"elles convergent vers certaines grandeurs quandn!+1). Les convergences sont basées sur des applications de la loi des grands nombres. En particulier, pourh proche den(disonsjnhj<50), la quantitébn(h)n"a pas beaucoup d"intérêt. La représentation graphique deux nuage de points(xt;xt+1)1tn1illustre la valeur debn(1)

(voir figure 1.2.1). Plus le nuage est arrondi, plusbn(1)est proche de0. Plus le nuage est allongé,

plusbn(1)est proche de1. Cette remarque est aussi valable pour lesbn(h)avech2. Proposition1.5.Supposonsxt=a+bt+t, avec(t)t1une suite de variable aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) eta6= 0. Supposons queE(21)<1. Alors, pourhfixé dansN, bn(h)p.s.!n!+11:

Démonstration.Notons

n=1n (1+2++n). Nous avonsx n=1n n X t=1(at+b+t) =a(n+ 1)2 +b+ t:

Fixonsh2 f1;2;:::;n1g. Nous avons

bn(h) =1nhnhX t=1 a tn+ 12 +t n a t+hn+ 12 +t+h n

1.2. INDICES DESCRIPTIFS D"UNE SÉRIE TEMPORELLE 3

1nhnhX

t=1 a 2 tn+ 12 t+hn+ 12 + (t n)(t+h n) +(t n)a t+hn+ 12 +a tn+ 12 (t+h n)

Nous avons

1nhnhX

t=1(t n)(t+h n) =1nh nX t=1 tt+h+ 2n nt+ht n! et (par application de la loi de grands nombres),

1nhnhX

t=1 tt+hp.s.!n!+1E(11+h); n

2nnhp.s.!n!+1E(21);

1nhnhX

t=1 nt+hp.s.!n!+1E(1)2;

1nhnhX

t=1 ntp.s.!n!+1E(1)2:

De plus, par Cauchy-Schwartz,

1nhnhX

t=1(t n)a t+hn+ 12 a

1nhnhX

t=1(t n)2! 1=2

1nhnhX

t=1 t+hn+ 12 2!1=2 a

1nhnhX

t=1(t n)2! 1=2 1nh n+hn+ 12 2!1=2 Nous avons (par application de la loi de grands nombres)

1nhnhX

t=1(t n)2p.s.!n!+1Var(1):

Donc, p.s.,

1nhnhX

t=1(t n)a t+hn+ 12 =O(n):

De même

1nhnhX

t=1a tn+ 12 (t+h n) =O(n):

Nous avons

1nhnhX

t=1a 2 tn+ 12 t+hn+ 12 a2nhnhX t=1 t

2+(n+ 1)24

+ (h(n+ 1))t+hn+ 12

4 1. INTRODUCTION

(formule pour la somme des carrés)=a2nh (2(nh) + 1)(nh+ 1)(nh)6 +a2(n+ 1)24 a2(hn1)nhn(n+ 1)2 +a2(n+ 1)2 =a23 n2+a24 n2+o(n2):

Donc, p.s.,

bn(h)n!+17a212 n2: Donc bn(h)p.s.!n!+11: Proposition1.6.Sous les mêmes hypothèse que dans la proposition 1.5, sixt=acos(2t=T)+ t, aveca6= 0etT2N, alors bn(h)!n!+1cos(2h=T) Remarque1.7.On admet ensuite que si l"auto-corrélation d"une série est constante, c"est

qu"elle a une tendance linéaire et que si cette auto-corrélation est périodique de périodeT, alors la

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