[PDF] Correction dexercice Calculer la fonction d'autocorré

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Correction d"exercice

Module de Traitement du Signal en Master 1 d"´electronique Laurent Albera - Laboratoire LTSI - UMR INSERM 642 - Universit´e de Rennes1

Exercice 2 de la feuille de TD no. 1 :

SoitZun signal d´eterministe `a temps continu, Δ-p´eriodique (autrement dit p´eriodi- que de p´eriode Δ) et `a valeurs complexes d´efini par : ?t?[0,Δ], Z(t)def=?Asi [0,αΔ] avecα?[0,1]

0 sinon

Calculer la fonction d"autocorr´elationγ:

?→?du signalZ, not´eeγzet d´efinie par : z(τ)def= limT→+∞1 T? T -TZ(t)Z(t-τ)?dt

Solution :

Tout d"abord, et ce d"apr`es le r´esultat de l"exercice 1, r´e´ecrivons la d´efinition deγz

tenant compte du fait que la fonctionZ:t?-→Z(t) (et doncX:t?-→Z(t)Z(t-τ)?) est Δ-p´eriodique : z(τ) =1 0

Z(t)Z(t-τ)?dt

D"autre part, demandons-nous s"il est vraiment n´ecessaire de calculer la fonctionγz pour tout nombre r´eelτ? La r´eponse est non car on montre facilement que : z(τ+ Δ) =1 0

Z(t)Z(t-τ-Δ)?dt

1 0

Z(t)Z(t-τ)?dt(carZest Δ-p´eriodique)

=γz(τ) autrement dit, queγzest Δ-p´eriodique. Par cons´equent il suffit de calculer la fonction zuniquement sur une p´eriode, par exemple pourτappartenant `a ]-Δ/2,Δ/2 ]. 1 Par ailleurs, remarquons la sym´etrie hermitienne de la fonctionγzpar rapport `a 0 : z(-τ) =1 0

Z(t)Z(t+τ)?dt

1

Z(u-τ)Z(u)?du(en posantu=t+τ)

1 0 Z(u-τ)Z(u)?du(d"apr`es le r´esultat de l"exercice 1) ?1 0

Z(u-τ)?Z(u)du?

=γz(τ)? De ce fait, nous pouvons juste nous contenter de calculer la fonctionγzsur la demi-

p´eriode [0,Δ/2]. Il nous suffira ensuite d"utiliser les propri´et´es de sym´etrie hermi-

tienne et de p´eriodicit´e deγzpour en d´eduire sa valeur sur ?tout entier. Calculons d`es lors la fonctionγzpourτappartenant `a [0,Δ/2]. Nous avons : z(τ) =1 0 AZ(t-τ)?dt(par d´efinition deZsur l"intervalle [0,Δ]) Rappelons alors queZ:t?-→Z(t), d"apr`es sa d´efinition, est une fonction (en cr´eneaux) de support? k? ?[kΔ,kΔ+αΔ] (rappelons que le support d"une fonction est d´efini comme l"ensemble des points pour lesquels la fonction est non nulle). On en d´eduit alors que la fonctionY:t?-→Z(t-τ) admet pour support? k? ?[kΔ+τ,kΔ+

τ+αΔ]. De ce fait, calculerγz(τ) revient `a int´eger la constante (AA?)/Δ=|A|2/Δ

sur [0,αΔ]∩{?k? ?[kΔ+τ,kΔ+τ+αΔ]}. Notons que cette intersection d"intervalles peut se r´e´ecrire sous la forme suivante : [0,αΔ]∩{?k? ?[kΔ+τ,kΔ+τ+αΔ]}=?k? Or, en consid´erant d"une part queαest compris entre 0 et 1 et d"autre part queτ est compris entre 0 et Δ/2, nous avons : k?

?{[0,αΔ]∩[kΔ+τ,kΔ+τ+αΔ]}=...? {[0,αΔ]∩[-5Δ+τ,-5Δ+τ+αΔ]}????

? {[0,αΔ]∩[-4Δ+τ,-4Δ+τ+αΔ]}? {∅}? {[0,αΔ]∩[-3Δ+τ,-3Δ+τ+αΔ]}???? {∅}? {[0,αΔ]∩[-Δ+τ,-Δ+τ+αΔ]}???? [0,-Δ+τ+αΔ]si{α≥1

2etτ≥(1-α)Δ},{∅}sinon

? {[0,αΔ]∩[τ,τ+αΔ]}? Nous obtenons donc, pourαetτappartenant respectivement `a [0,1] et [0,Δ/2] : [0,αΔ]∩{?k? ?[kΔ+τ,kΔ+τ+αΔ]}=???[0,τ+(α-1)Δ]?[τ,αΔ] siα≥1

2etτ≥(1-α)Δ

[τ,αΔ] si?α≥1 {∅}sinon 2

Utilisant le r´esultat pr´ec´edent pour le calcul deγzsiτappartient `a [0,Δ/2], nous

obtenons : z(τ) =?????|A|2 ?τ+(α-1)Δ

01dt+?αΔ

τ1dt?

siα≥12etτ≥(1-α)Δ |A|2

0 sinon

ce qui nous donne : z(τ) =?????|A|2 Δ(τ+ (α-1)Δ +αΔ-τ) siα≥12etτ≥(1-α)Δ |A|2

0 sinon

d"o`u : z(τ) =???|A|2(2α-1) siα≥1

2etτ≥(1-α)Δ

|A|2

0 sinon

En exploitant `a pr´esent la sym´etrie hermitienne deγz, nous obtenons : ?α?[ 0,12[?α??12,1? γz(τ) = 0 siτ?[-Δ/2,-αΔ[γz(τ) =|A|2(2α-1) siτ?[-Δ/2,(α-1)Δ]

γz(τ) =|A|2(αΔ+τ)Δsiτ?[-αΔ,0[γz(τ) =|A|2(αΔ+τ)Δsiτ?[(α-1)Δ,0[

γz(τ) =|A|2(αΔ-τ)Δsiτ?[0,αΔ]γz(τ) =|A|2(αΔ-τ)Δsiτ?[0,(1-α)Δ[

γz(τ) = 0 siτ?]αΔ,Δ/2]γz(τ) =|A|2(2α-1) siτ?[(1-α)Δ,Δ/2] Sachant que la fonctionγzest Δ-p´eriodique, il est alors facile d"obtenir sa valeur en tout point de ?. Enfin, remarquons que quelque soitαappartenant `a [0,1], le graphe de la fonctionγzn"est autre qu"une alternance de palliers et de triangles. Toutefois, ces palliers sont non nuls uniquement pourα≥1/2. 3quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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