Polynésie juin 2019 PDF Démontrer que le plan

1 EQUATIONS DE PLANS DE DROITES

http://www.pierrelux.net/documents/cours/1es/espace_equations.pdf

DROITES ET PLANS DE LESPACE

même plan (ADG) et sont parallèles. - Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires. 2) Positions relatives de deux plans. Propriété : Deux plans de

Chapitre 4 - Équations cartésiennes de plans et de droites

(b) Soit ? l'intersection des deux plans Pl et P2. Montrer que ? est la droite (ML). (c) Justifier que le plan P2 est parallèle à l'axe (A

1 DROITES ET PLANS DANS LESPACE

Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. PROPRIETE 11: Si deux droites sont parallèles

Sommaire 0- Objectifs Géométrie dans lEspace Sections par un plan

La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe de rotation est un rectangle dont l'une des dimensions est la hauteur du cylindre. la

Parallélisme et orthogonalité dans lespace

La droite d est parallèle au plan P. 2- Plans parallèles. Pour que deux plans soient parallèles il suffit que l'un d'entre eux contienne deux droites.

Equations de droites et de plans : exemples

Déterminer l'équation du plan P parallèle au plan Q d'équation 2x + y ? 3z +7=0 et passant par A(3; ?2; 5). P a même vecteur normal que Q :.

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Propriété : Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. Page 5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-

1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

1° méthode : Une droite (d) est parallèle à un plan (P) si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal

Polynésie juin 2019

Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED). 5.b. Construire alors sur l'annexe à rendre avec la copie l'intersection du

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- Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même plan (ADG) et sont parallèles - Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires 2) Positions relatives de deux

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Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre PROPRIETE 11: Si deux droites sont parallèles alors toute droite

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Plan parallèle à l'axe ( Ox ) sécant aux deux autres axes Le plan a une équation de la forme a x + b y = d ( où a et b ne sont pas tous les deux nuls )

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Attention dans un plan si deux droites sont perpendiculaires à une même troisièmes alors elles sont parallèles Cette propriété n'est pas transposable pour l

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Si deux plans sont parallèles alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles Théorème 2 Si une droite

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1) Deux plans confondus ou disjoints sont dits parallèles 2) Deux plans non parallèles sont dits sécants leur intersection est alors une droite Exemple : On

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?Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes il faut d'abord montrer qu'elles sont coplanaires Il s'agit de trouver un plan contenant ces

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les deux plans P//P avec P = P sont parallèles et non confondus ?? aucune solu- tion; • les deux plans P ? P = D sont transversaux i e sécants en une

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Une droite et un plan peuvent être parallèles : • Ou bien une droite et un plan peuvent être sécants : Remarquez que l'intersection du plan et de la droite est

C'est quoi un plan parallèle ?
* Plans parallèles
Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l'un des plans sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre plan. Si deux plans sont parallèles à un même troisième alors ils sont parallèles entre eux.
Comment montrer que des plans sont parallèles ?
Pour prouver que deux plans sont parallèles, il suffit de trouver deux droites sécantes d'un plan qui sont parallèles à l'autre plan.
Comment créer une parallèle ?
On bloque l'équerre avec une règle. On déplace l'équerre, le long de la règle, jusqu'à rencontrer A. On trace d' le long de l'équerre. d' et d sont toutes les deux perpendiculaires à la règle donc parallèles entre elles.
Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P parallèle à d. Propriété : Si un plan P contient deux droites sécantes d et d' parallèles à un plan P' alors les plans P et P' sont parallèles.

Polynésie juin 2019

EXERCICE 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points Sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie : . ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB=12, AD=18 et AE=6. . EBDG est un tétraèdre.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées

respectives B(12;0;0), D(0;18;0) et E(0;0;6).

1. Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne 3x+2y+6z-36=0.

2.a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).

2.b. En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4;6;2).

3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.

4.a. Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.

4.b. Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.

5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.

5.a. Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).

5.b. Construire alors sur l'annexe à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du

tétraèdre EBDG.

Polynésie juin 2019

ANNEXE

(à rendre avec la copie)

Polynésie juin 2019

CORRECTION

Le repère est orthonormal.

B(12;0;0) D(0;18;0) E(0;0;6)

1. ⃗BD(-12

0) ⃗BE(-12

6) Les vecteurs

⃗BD et ⃗BE ne sont pas colinéaires donc les points B, D et E ne sont pas alignés.

3x+2y+6z-36=0 est une équation cartésienne du plan (EBD) si et seulement si les coordonnées des

points B, D et E sont des solutions de cette équation.

B(12;0;0) 3×12+2×0+6×0-36=36-36=0

D(0;18;0)

3×0+2×18×6×0-36=36-36=0 E(0;0;6)

3×0+2+3×0+6×6-36=36-36=0 Conclusion

(EBD) : 3x+2y+6z-36=0

2.a. Les coordonnées du point G sont (12;18;6).

(AG) est la droite passant par A(0;0;0) et de vecteur directeur ⃗AG(12 18 6). On obtient pour représentation paramétrique : (AG) {x=12t y=18t z=6t t décrit R

2.b. Pour déterminer l'intersection du plan(EBD) et de la droite (AG), on résout le système :

{3x+2y+6z-36=0 x=12t y=18t z=6t On obtient :

3×12t+2×18t+6×6t-36=0 ⇔ 36t+36t+36t-36=0 ⇔ t=36

108=1

3 donc x=12×1

3=4 y=18×1

3=6 z=6×1

3=2.

Conclusion

Le plan (EBD) et la droite (AG) sont sécants en K(4;6;2).

3. (EBD) : 3x+2y+6z-36=0

⃗n(3 2

6) est un vecteur normal au plan (EBD) ⃗AG(12

18 6).

Les vecteurs

⃗n et ⃗AG ne sont pas colinéaires donc la droite (AG) n'est pas orthogonale au plan (EBD).

4.a. M est le milieu de [ED] E(0;0;6) D(0;18;0) donc M(0;9;3).

B(12;0;0) K(4;6;2)

⃗BM(-12 9

3) ⃗BK(-8

6 2) ⃗BM=3

2⃗BK

Les vecteurs

⃗BM et ⃗BK sont colinéaires et les points B ; M et K sont alignés.

4.b. Le point K est le point d'intersection des droites (AG) et (BM) (en bleu sur le dessin).

Polynésie juin 2019

5.a. Les plans (ADE) et (EBD) sont sécants leur intersection est la droite (DE).

P est le plan parallèle à (ADE) passant par K (appartenant au plan (EBD)).

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les deux droites d'intersection

sont parallèles. La droite d'intersection des plans P et (EBD) est la droite parallèle à (DE) passant par K.

5.b. On trace la droite parallèle à la droite (DE) passant par K et on ne conserve que le segment intérieur au

triangle EBD (en rouge sur le dessin).

ANNEXE

à rendre avec la copie

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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C'est quoi un plan parallèle ?

Comment montrer que des plans sont parallèles ?

Comment créer une parallèle ?

Polynésie juin 2019

1. Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne 3x+2y+6z-36=0.

2.a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).

2.b. En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4;6;2).

3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.

4.a. Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.

4.b. Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.

5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.

5.a. Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).

5.b. Construire alors sur l'annexe à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du

Polynésie juin 2019

ANNEXE

Polynésie juin 2019

CORRECTION

Le repère est orthonormal.

B(12;0;0) D(0;18;0) E(0;0;6)

1. ⃗BD(-12

0) ⃗BE(-12

6) Les vecteurs

3x+2y+6z-36=0 est une équation cartésienne du plan (EBD) si et seulement si les coordonnées des

B(12;0;0) 3×12+2×0+6×0-36=36-36=0

D(0;18;0)

3×0+2×18×6×0-36=36-36=0 E(0;0;6)

3×0+2+3×0+6×6-36=36-36=0 Conclusion

2.a. Les coordonnées du point G sont (12;18;6).

2.b. Pour déterminer l'intersection du plan(EBD) et de la droite (AG), on résout le système :

3×12t+2×18t+6×6t-36=0 ⇔ 36t+36t+36t-36=0 ⇔ t=36

3 donc x=12×1

3=4 y=18×1

3=6 z=6×1

Conclusion

3. (EBD) : 3x+2y+6z-36=0

6) est un vecteur normal au plan (EBD) ⃗AG(12

Les vecteurs

4.a. M est le milieu de [ED] E(0;0;6) D(0;18;0) donc M(0;9;3).

B(12;0;0) K(4;6;2)

3) ⃗BK(-8

2⃗BK

Les vecteurs

4.b. Le point K est le point d'intersection des droites (AG) et (BM) (en bleu sur le dessin).

Polynésie juin 2019

5.a. Les plans (ADE) et (EBD) sont sécants leur intersection est la droite (DE).

5.b. On trace la droite parallèle à la droite (DE) passant par K et on ne conserve que le segment intérieur au

ANNEXE

à rendre avec la copie