[PDF] Equations de droites et de plans : exemples

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Equations de droites et de plans : exemplespage 1 de 3

Equations de droites et de plans : exemples

1.Déterminer une équation cartésienne du planPtel que le projeté orthogonal deO

(origine) surPsoit le pointA(1;5;7)!OA(1;5;7)est normal àPetA2P, donc l"équation dePest :!AM!OA= 0,:::,x5y+ 7z75 = 0

2.Déterminer l"équation du plan médiateur de[AB], avecA(0;2;1)etB(4;1;3)

Le milieu de[AB]estI

2;12 ;2 .Pest le plan qui passe parIet qui est normal !AB(4;3;2), donc son équation est : !IM!AB= 0,:::,4x3y+ 2z212 = 0 Autre méthode :Pest l"ensemble des pointsMtels queMA=MB, c"est-à-dire MA

2=MB2,x2+ (y2)2+ (z1)2= (x4)2+ (y+ 1)2+ (z3)2,

8x6y+ 4z21 = 0

3.A(4;0;3),B(2;2;2),C(3;3;1),D(0;0;3). Déterminer la sphère circonscrite au

tétraèdreABCD. On peut déterminer les équations des plans médiateurs de[AB];[BC]et[CD]et calculer leur intersection.

On obtient (à vérifier) :8

:4x4y10z13 = 0

2x10y6z7 = 0

3x3y+ 2z5 = 0

On résout (à vérifier) : les plans ont un point commun uniqueE

2;0;12

D"après la propriété d"un plan médiateur,Eest équidistant des pointsA;B;Cet D, donc il est le centre de la sphère circonscrite àABCD. Le rayon de cette sphère estEA==p41 2

4.Déterminer l"équation du planPparallèle au planQd"équation2x+y3z+ 7 = 0

et passant parA(3;2;5) Pa même vecteur normal queQ:!n(2;1;3), etA2P, donc l"équation deP s"écrit!AM!n= 0,:::,2x+y3z+ 11 = 0

5.Enoncer une méthode pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonalH(x;y;z)

du pointAsur le planPSoitax+by+cz+d= 0une équation dePetA(xA;yA;zA). Un vecteur normal àPest!n(a;b;c)On traduit lesdeuxconditions de la définition :!AH?PetH2P. Dire que!AH?Previent à dire que!AH=k!n. On obtient :8>>< >:x=xA+ka y=yA+kb z=zA+kc ax+by+cz+d= 0(système de 4 équations à 4 inconnues). On remplacex;yetzdans la dernière équation, on trouvek, qu"on remplace ensuite dansx;yetz.Il est prudent de vérifier.

6.Enoncer une méthode pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonalH(x;y;z)

du pointAsur la droiteD SoitA(xA;yA;zA). On suppose qu"on a une représentation paramétrique deD:8< :x=a+t y=b+t z=c+ t On traduit lesdeuxconditions de la définition :!AH?DetH2D.

Un vecteur directeur deDest!u(;;

). La condition!AH?Ds"écrit!AH!u= 0. On résout le système de 4 équations à 4 inconnues(x;y;z;t):8>>< >:(xxA) +(yyA) + (zzA) = 0 x=a+t y=b+t z=c+ t On remplacex;yetzdans la première équation, on trouvet, on remplace dansx;y etz. On vérifie.

7.SoitPle plan d"équationxy+ 1 = 0. Déterminer une équation du planQperpen-

diculaire àPet contenant la droite définie par8 :x= 13t y=1 + 3t z= 1t Il suffit de déterminer un vecteur normal àQet un point deQ. Tout point deDest un point deQ, donc en particulierA(1;1;1)(obtenu avec t= 0). Equations de droites et de plans : exemplespage 2 de 3Soit !n(a;b;c)un vecteur normal àQ. Il doit être orthogonal à un vecteur normal àP, par exemple!u(1;1;0).Attention : si on rédige ainsi (" il doit ») alors on affirme une implication et pas une équivalence. Pourquoi pas, mais il faudra une réciproque à la fin pour être certain que la proposition de solution est bien une vraie solution. D"autre part!ndoit être orthogonal à tout vecteur deQ, par exemple!v(3;3;1) (coefficients detdans la représentation paramétrique deD).(" doit » : implica- tion, pas équivalence)On détermine(a;b;c)par un système de 2 équations à 3 inconnues :ab= 0

3a+ 3bc= 0

Il y a une inconnue " en trop », donc on choisit une des inconnues comme paramètre, et on exprime les autres en fonction de celle-ci. Choisirbcomme paramètre (par exemple) est avantageux car alorsaest directement résolu. Puis on remplace dans la deuxième équation pour trouverc:a=b c=3a+ 3b= 0 On trouve donc une infinité de triplets(a;b;c), tous proportionnels :(b;b;0), ce qui est normal (!) puisqu"un plan admet une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires. Il suffit de choisir un de ces triplets (non nul), par exemple avecb= 1:(1;1;0).

On écrit alors l"équation du plan normal à!n(1;1;0)et passant parA, ce qui s"écrit :!AM!n= 0,(x1) + (y+ 1) + 0 = 0,x+y= 0.

Réciproque: on a raisonné par implications et pas par équivalences, il faut donc une réciproque. Le planQainsi défini vérifie-t-il bientoutesles conditions de l"énoncé? Si oui, alors ce sera la solution et elle sera unique, sinon cela prouvera qu"il n"y a pas de solution (ou qu"on s"est trompé quelque part ...) Qest perpendiculaire àPcar son vecteur normal!n(1;1;0)est bien orthogonal à un vecteur normal àP:!u(1;1;0)(on a bien!n!u= 11 + 0 = 0). Contient-il la droiteD? La meilleure vérification est de revenir directement à l"énoncé : on remplacex;yetzpar les formules de la représentation paramétrique deD: a-t-onx+y= 0? Oui car13t+ (1 + 3t) = 0. Donc la réponse est :x+y= 08.SoitA(1;3;1),B(3;0;1)etDla droite définie par :8 :x= 2 + 2t y=53t z= 2 + 2t. a) Les droites(AB)etDsont-elles coplanaires? b) Déterminer une équation du planPparallèle à(AB)et contenant la droiteD. a)Les vecteurs directeurs!AB(2;3;0)et!u(2;3;2)ne sont pas colinéaires, donc

les droites ne sont pas parallèles (ni confondues). Il reste à savoir si elles sontsécantes. Pour cela on écrit d"abord une représentation paramétrique de(AB)(avec

un paramètre de nom différent det, par exemplet0) :8 :x= 1 + 2t0 y= 33t0 z= 1 On résout ensuite un système de 3 équations à 2 inconnuestett0:8< :2 + 2t= 1 + 2t0

53t= 33t0

2 + 2t= 1

Il y a une équation " en trop », donc on résout avec deux équations et on vérifie la compatibilité avec la troisième. Les équation 1 et 3 donnentt=12 ett0= 0, mais ces valeurs ne sont pas compatibles avec l"équation 2. Donc les droites ne sont pas sécantes. Comme elles ne sont pas non plus parallèles, elles ne sont pas coplanaires. b)On peut déterminer un point du plan et deux vecteurs non colinéaires du plan, puis un vecteur normal au plan. Un point : il suffit de choisir un point deD, par exempleC(2;5;2). Deux vecteurs deP:!AB(2;3;0)et!u(2;3;2)(vecteur directeur deD). Ils ne sont pas proportionnels (2n"est pas multiple de0). Remarque : bien queAetBne soient pas des points deP, on dit quand même que le vecteur!ABest un vecteur du planP, parce qu"il existe au moins deux points CetDdu planPtels que!CD=!AB(ce qui compte pour un vecteur d"un plan, c"est sa direction). Donc on cherche un vecteur!n(a;b;c)orthogonal à ces deux vecteurs :2a3b= 0

2a3b2c= 0(systéme de 2 équations à 3 inconnues).

On choisit une inconnue comme paramètre, par exempleb. On trouve une infinité de solutions, toutes proportionnelles :(a;b;c) =32 b;b;0

On choisit une de ces solutions, par exemple

!n(3;2;0). On écrit l"équation du plan orthogonal à!net contenantC:!CM!n= 0,3(x2) + 2(y+ 5) + 0 = 0,3x+ 2y+ 4 = 0 Vérification :Pest parallèle à(AB)car!n!AB= 66 + 0 = 0 PcontientD, car si on reporte les formules deDdans l"équation deP, on obtient :

3(2 + 2t) + 2(53t) + 4 = 0

Donc la réponse est3x+ 2y+ 4 = 09.Déterminer une équation du plan(ABC)avecA(2;3;1),B(3;1;1)etC(5;2;1).

On peut utiliser une méthode standard (par exemple déterminer(a;b;c;d)pour que l"équationax+by+cz+d= 0soit vérifiée parA;BetC), mais ici il y a

Equations de droites et de plans : exemplespage 3 de 3une astuce possible : remarquer que les trois points vérifientz= 1. Orz= 1est

l"équation d"un plan, et ce plan contientA;BetC, donc c"est le plan cherché : z= 1.

10.Déterminer l"intersection de la droite8

:x= 1 +t y=1t z=1tet du planx+yz3 = 0

On remplacex;yetzdans l"équation deP:

(t+ 1) + (t1)(t1)3 = 0, d"oùt= 2.

Il y a un point d"intersection unique(3;3;3)11.Calculer la distance du pointA(1;1;1)au planP:x+yz3 = 0

j1 + (1)(1)3jp1

2+ 12+ (1)2=2p3

12.Déterminer l"intersection des deux plansP:2xy2z1 = 0etQ:x+4y+z3 = 0

Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont ni parallèles ni confondus. On résout un système de 2 équations à 3 inconnues :2xy2z1 = 0 x+ 4y+z3 = 0 Il y a une inconnue " en trop », qu"on peut choisir comme paramètre, par exemple z. On obtient (à vérifier) :8< :x=z+ 1 y= 1 z=z. Vérification : on remplacex;yetzdans les équations dePetQ, qui doivent être vérifiées (une vérification doit être la plus proche possible de l"énoncé). C"est la représentation paramétrique de la droite qui passe parA(1;1;0)et de vecteur directeur!u(1;0;1).

13.Déterminer l"ensemble des points équidistants des deux plansx= 1ety= 0.

On écrit l"égalité des distances :

jx1jp1

2+ 02+ 02=jyjp0

2+ 12+ 02.

c"est équivalent àjx1j=jyj, c"est-à-dire à (x1 =youx1 =y). L"ensemble des points équidistants des deux plansx= 1ety= 0est donc la réunion des deux plansxy1 = 0etx+y1 = 0, appelésplans bissecteurs des deux plans de départ. Tous ces plans sont verticaux (parallèles àOz) et se coupent suivant la droite ver- ticale passant parA(1;0;0). Quand on fait la figure projetée sur le plan horizontal z= 0, on obtient :xy1 = 0x+y1 = 0y= 0x= 1OAx= 0MH K

Tout pointMde l"ensemble vérifieMH=MK

14.Dans le plan, déterminer une parabole d"équationy=ax2+bx+cpassant par les

points(1;6);(1;4)et(2;9) On écrit un système de trois équations à 3 inconnues(a;b;c):8< :ab+c=6 a+b+c=4

4a+ 2b+c=9

On le résout, et on obtienta=2;b= 1;c=3.

L"équation de la parabole est donc :y=2x2+x3Ce type de problème s"appelle un problème d"interpolation: il faut trouver une

courbe d"une famille donnée (ici : parabole) passant par des points donnés.

15.Construire la droite perpendiculaire commune aux deux droitesdetd0dont les repré-

sentations paramétriques sont :d8 :x= 1t y=t z= 2tetd08< :x=t y= 2 + 2t z=t Pour cela, construire le planPparallèle àdet contenantd0, puis le planQperpendi- culaire àPet contenantd0. Ce planQcoupedenH. SoitKle projeté deHsurP. Démontrer que la perpendiculaire commune àdetd0est la droite(HK). On trouve quePa pour équationxy+z+ 2 = 0,Qa pour équationxz= 0 H23 ;13 ;23 .K 13 ;43 ;13 .d 0H dKQ Pquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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