Méthode Étude de suites implicites.
On appelle suite implicite une suite (un) telle que un est l'unique solution d'une certaine équation. Si l'équation en question est assez compliquée
Suites implicites
Cette suite est définie de manière implicite (non explicite). Pour tout n ? N? xn est l'unique élément tel que : × xn ? ]0
Exercice 1 Étude dune suite définie implicitement Soit n un entier
Sep 18 2020 Exercice 1 Étude d'une suite définie implicitement. Soit n un entier naturel non nul et En l'équation : xn ln(x)=1 d'inconnue x ? R?.
DEVOIR SURVEILLÉ N?05
Jan 24 2014 EXERCICE 3 : Étude d'une suite implicite ... On introduit la fonction g : [a
Problème - Etude dune suite définie implicitement 1
Etude d'une suite définie implicitement. Soit p. ?. ? ? . L'objectif du problème est d'étudier les solutions des équations ( ) : ln.
Compléments sur les suites réelles
Suites définies implicitement : Une suite implicite est une suite (un) dont chaque terme un est l'unique solution d'une certaine équation dépendant de n.
TD n 10: étude dune suite définie de manière implicite .
Soit p ? N . L'objectif du problème est d'étudier les solutions des équations ln(x) + x = p d'inconnue x ? R+?. Partie I - Étude de la suite des
Suites
Jan 19 2013 maîtriser les techniques classiques de calcul de limite et d'étude de suite. • savoir étudier une suite récurrente ou une suite implicite en ...
Chapitre 4. Suites et séries réelles
2.4.3 Méthode d'étude d'une suite récurrente . 2.6 Suites définies par une relation de récurrence linéaire `a deux termes .
TABLE DES MATI`ERES
Etude de séries enti`eres régularité de la fonction somme. Etude au point 1
[PDF] Suites implicites - Arnaud Jobin
Cette suite est définie de manière implicite (non explicite) Pour tout n ? N? xn est l'unique élément tel que : × xn ? ]0
[PDF] Chapitre 3 Pour en finir avec les suites récur- rentes & implicites
Définition 1 Une suite implicite (xn) est une suite définie par une équation En qui dépend de n souvent de la forme xn est l
[PDF] Chapitre 3 Suites récurrentes et implicites
Une suite implicite (xn) est une suite définie par une certaine équation (En) qui dépend de n Bien souvent le terme xn est l'unique solution de l'équation fn(
[PDF] Exercice 1 Étude dune suite définie implicitement Soit n un entier
18 sept 2020 · Exercice 1 Étude d'une suite définie implicitement Soit n un entier naturel non nul et En l'équation : xn ln(x)=1 d'inconnue x ? R?
[PDF] TD n 10: étude dune suite définie de manière implicite
L'objectif du problème est d'étudier les solutions des équations ln(x) + x = p d'inconnue x ? R+? Partie I - Étude de la suite des solutions 1 Montrer qu'
[PDF] Problème - Etude dune suite définie implicitement 1 - Xiffr
ln x x ? est croissante : ln f x p x ? ? est décroissante Les points fixes de f correspondent aux valeurs d'annulation de : ? +? ? ? ? définie
[PDF] Problème - Etude dune suite définie implicitement 1 - Xiffr
Etude d'une suite définie implicitement Soit p ? ? ? L'objectif du problème est d'étudier les solutions des équations ( ) : ln
[PDF] TD 4 : suites récurrentes et suites implicites
Pour prouver l'existence des termes d'une suite implicite Etude de la suite définie par ?n ? Nun+1 = ln(un) + e ? 1 pour différentes valeurs de u0
[PDF] Suites - Normale Sup
19 jan 2013 · maîtriser les techniques classiques de calcul de limite et d'étude de suite • savoir étudier une suite récurrente ou une suite implicite en
[PDF] Compléments sur les suites réelles - Anthony Mansuy
Suites définies implicitement : Une suite implicite est une suite (un) dont chaque terme un est l'unique solution d'une certaine équation dépendant de n
C'est quoi une suite implicite ?
Une suite implicite est une suite (un) de réels dont on a prouvé l'existence mais dont on ne connait pas la valeur. On dit alors qu'ils sont définis implicitement.Comment faire l'étude d'une suite ?
Etude pratique des suites récurrentes
1Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…)2Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l . 3Etape 3 : Déterminer un intervalle I stable par f sur lequel f est monotone, et tel que u0?I u 0 ? I .Comment déterminer la limite d'une suite définie par récurrence ?
Si une suite (un) est décroissante et minorée alors la suite (un) converge. Soit une suite (un) définie par u0 et un+1 = f(un) convergente vers ?. Si la fonction associée f est continue en ?, alors la limite de la suite ? est solution de l'équation f(x) = x.- On suppose qu'il existe l > 0 tel que f (x) ? l < 1 pour tout x ? [a, b]. Soit u0 ? [a, b] et soit un la suite définie par récurrence par un+1 = f(un). Alors, la suite un converge vers l'unique point fixe ? de f. De plus, si f (?) est = 0, il existe ? = 0 tel que l'on ait un ?? ? ?f (?)n.
ECE2-B2017-2018Suites implicites
Exercice 1.(☀☀)
On définit surR+la fonctionfpar :f(x) =x+ ln(x). a.Dresser le tableau de variations def.Démonstration.
La quantitéln(x)est définie pourx >0.
Ainsi,Df= ]0;+1[.
De plus,lnest dérivable sur]0;+1[.
Ainsi,fest dérivable sur cet ensemble. Pour toutx2]0;+1[: f0(x) = 1 +1x
>0 On obtient donc le tableau de variations suivant.x f0(x)f0+1+
1+1+1b.Montrer que l"équationf(x) =na une unique solution dansR+.
On la noteun.
Démonstration.
La fonctionfest :
continue sur]0;+1[, strictement croissante sur]0;+1[.Elle réalise donc une bijection de]0;+1[sur :
f(]0;+1[) = ]limx!0f(x);limx!+1f(x)[ = ] 1;+1[ Soitn2N. Commen2]1;+1[,nadmet un unique antécédentx2 ]0;+1[par la fonctionf. On note alorsun(2]0;+1[) cet antécédent. (on a doncf(un) =n)c.Montrer que la suite(un)est croissante.Démonstration.
Soitn2N. Par définition, on af(un) =netf(un+1) =n+ 1.On en déduit que :n=f(un)< f(un+1) =n+ 1.
Or, d"après le théorème de la bijection, la fonction : f1: ] 1;+1[7!]0;+1[
est strictement croissante. En appliquantf1de part et d"autre de l"inégalité, on obtient : f1(f(un)) =un< un+1=f1(f(un+1))
La suite(un)est donc strictement croissante.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
ECE2-B2017-2018Exercice 2.(☀☀)
Soitfla fonction définie surR+parf(x) =xln(x)1six >0etf(0) =1.1.Montrer quefest continue surR+.
Démonstration.
La fonctionfest continue sur]0;+1[car elle est la somme de : x7!xln(x)continue sur]0;+1[comme produit des fonctions : (i)x7!xpolynomiale donc continue sur]0;+1[, (ii)x7!ln(x)continue sur]0;+1[. x7! 1constante donc continue sur]0;+1[. D"autre part,limx!0+f(x) = limx!0+xln(x)1 = 01 =1 =f(0).On en déduit quefest continue en0.
Ainsi,fest continue surR+.2.Calculer la limite defen+1.Démonstration.
Commelimx!+1x= +1etlimx!+1ln(x) = +1, on a
lim x!+1f(x) = +1.3.Justifier quefest dérivable sur]0;+1[puis calculerf0(x).Démonstration.
La fonctionfest dérivable sur]0;+1[car elle est la somme de : x7!xln(x)dérivable sur]0;+1[comme produit des fonctions : (i)x7!xpolynomiale donc dérivable sur]0;+1[, (ii)x7!ln(x)dérivable sur]0;+1[. x7! 1constante donc dérivable sur]0;+1[.Ainsi,fest dérivable sur]0;+1[.(on pouvait montrer dès la question1.quefestC1sur]0;+1[)Soitx2]0;+1[. On a alors :f0(x) = ln(x) +x1x
= ln(x) + 1.8x >0; f0(x) = ln(x) + 14.Établir le tableau de variations defsurR+.
Démonstration.
Soitx >0. On a :
f0(x)>0,ln(x) + 1>0,ln(x)>1,x >e1
On en déduit le tableau de variations suivant.xSigne def0(x)Variations def0e
1+10+111e11e1+1+1Avecf(e1) =e1ln(e1)1 =e115.Soitn2N.
Montrer que l"équationf(x) =npossède une unique solution dansR+.On noteuncette solution. Justifier queun>1.
Démonstration.
La fonctionf:R+!Rest :
continue sur[e1;+1[, strictement croissante sur[e1;+1[. Elle réalise donc une bijection de[e1;+1[surf([e1;+1[)avec :f([e1;+1[) = [f(e1);limx!+1f(x)[ = [1e1;+1[(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2
ECE2-B2017-2018Commen>0,n2[1e1;+1[.
Ainsi, l"équationf(x) =npossède une unique solution dans[e1;+1[.Enfin,f(1) = 1ln(1)1 =1doncf(un) =n >1 =f(1). On applique alors, de part et d"autre de cette inégalité, la fonctionf1 strictement croissante. On obtient ainsi :un>1.6.On notegla restriction defà l"intervalle[1;+1[. a)Justifier quegest une bijection de[1;+1[dans un intervalleJà préciser.Démonstration.
La fonctiong: [1;+1[!Rest injective car restriction defqui est elle-même injective. D"autre part,g: [1;+1[!Jest surjective si l"on choisitJ=Im(g) =g([1;+1[). Or :
g([1;+1[) = [f(1);limx!+1f(x)[ = [1;+1[ gréalise une bijection de[1;+1[sur[1;+1[.(ou par application du théorème de la bijection) b)Donner le tableau de variation complet de la réciproqueg1surJ.Démonstration.
D"après le théorème de la bijection, la fonctiong1estcontinuesur [1;+1[et de même monotonie queg.Or[1;+1[[e1;+1[, etfest strictement croissante sur[e1;+1[.On en déduit donc le tableau de variations suivant.x
Variations deg11+111+1+1c)Exprimezunà l"aide deg1. En déduire la monotonie de la suite(un)et sa limite lorsquentend vers+1.Démonstration.
Soitn2N.
Par définition, on a :f(un) =n.
De plus, commeun>1, on af(un) =g(un).
On en déduit queg(un) =net donc queun=g1(n).Commeg1est strictement croissante etn < n+ 1, on obtient :
u n=g1(n)< g1(n+ 1) =un+1La suite(un)est donc (strictement) croissante.Pour ce dernier point, on pouvait raisonner de deux manières diffé-
rentes. La manière adaptée à l"énoncé, à privilégier ici D"après le théorème de composition des limites : limn!+1un= limn!+1g1(n) = limx!+1g1(x) = +1(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3
ECE2-B2017-2018Ou alors à l"aide du théorème de convergence monotone (peu adapté à l"énoncé mais raisonnement classique qu"il est important de com- prendre) Rappelons que, par définition de la suite(un), on af(un) =n.Commeun>1>0, cela s"écrit :
u nln(un)1 =nou encoreunln(un) =n+ 1Deux cas se présentent alors.
1)Soit(un)estmajorée
Étant croissante, elle est convergente vers une limite finie`2R. En passant à la limite dans l"égalité précédente, on obtient alors : `ln(`) = +1. Ceci étant impossible, ce cas est à écarter.2)Soit(un)n"estpasmajorée
Étant croissante, elle tend vers+1.
On en déduit quelimn!+1un= +1.Exercice 3.(☀☀)On considère les fonctionsfn:x7!xn+x1pourn2N.
a.Soitn2N. Démontrer que l"équationfn(x) = 0admet une unique solutionxn2]0;1[.Démonstration.
Soitn2N.
La fonctionfnest une fonction polynomiale.
Elle est donc dérivable surR.
Soitx2R. On a :f0n(x) =n xn1+ 1.
Six >0,n xn1+1>0. On en déduit le tableau de variations suivant.xSigne def0(x)f01
0+0 1111La fonctionfnest :
continue sur]0;1[, strictement croissante sur]0;1[. Elle réalise donc une bijection de]0;1[surf(]0;1[) = ]1;1[. Comme02]1;1[, l"équationfn(x) = 0admet une unique solution x n2]0;1[.Remarque
On peut aussi rédiger comme suit.
Comme02]1;1[,0admet un unique antécédentxn2]0;1[par la fonctionfn. Quelle que soit la rédaction, il faut comprendre que l"on vient de définir une suite(xn)n2N. (à chaque valeur dencorrespond un uniquexn) Cette suite est définie de manièreimplicite(non explicite). Pour toutn2N,xnest l"unique élément tel que : xn2]0;1[,fn(xn) = 0i.e.xnn+xn+ 1 = 0(déterminant pour la suite)b.Démontrer que, pour toutn >0:fn+1(xn)< fn+1(xn+1).
En déduire que :8n >0; xn< xn+1.
Démonstration.
D"après la question précédente :8m2N; fm(xm) = 0. (pour bien comprendre qu"on peut écrire cette égalité enm=nmais aussi enm=n+ 1)Soitn2N.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4
ECE2-B2017-2018Par définition de la fonctionfn+1, on a :fn+1(xn) =xnn+1+xn1. Or, d"après la question précédente, on a :fn(xn) = 0.Orfn(xn) =xnn+xn1 = 0. Ainsi, on a :xnn= 1xn.
On en conclut que :
f n+1(xn) =xnn+1+xn1 =xnxnn+xn1 =xn(1xn) +xn1 =xn2+ 2xn1 =(xn22xn+ 1) =(xn1)2<0carxn<1Par la question précédente,fn+1(xn+1) = 0.
On a donc bien :fn+1(xn)<0 =fn+1(xn+1).
D"après le théorème de la bijection, la fonctionfn+11: ]1;1[!]0;1[ est de même monotonie quefn+1, à savoir strictement croissante.On en déduit que :
xn=fn+11(fn+1(xn))< fn+11(fn+1(xn+1)) =xn+1c.Démontrer que(xn)converge et que sa limite`est telle que0< `61.
Démonstration.
La suite(xn)est croissante et majorée par1.
Elle converge donc vers une limite`2R.
Par passage à la limite dans l"inégalité :0< xn<1, on en déduit que `est telle que :06`61. La suite(xn)étant croissante, on en déduit que :8n2N; xn>x1.Et donc, par passage à la limite, on a :`>x1.
Par définition,x1est l"unique élément de]0;1[qui vérifie : f1(x1) =x1+x11 = 0i.e.2x1= 1et doncx1=12
On en conclut que :0<12
6`61.d.Démontrer que :8n >0; xn6`.
Démonstration.
Attention : démonstration hors programme!
Le théorème de convergence monotone stipule que`= sup n2Nxn.Ainsi, on a :8n2N,xn6sup
n2Nxn=`.Démonstration attendue.
Supposons par l"absurde qu"il existe un rangn0>0tel que :xn0> `. La suite(xn)étant croissante, on a :8n>n0,xn>xn0. Par passage à la limite, on en déduit que :`>xn0. Et donc que :`>xn0> `, ce qui est impossible!e.En procédant par l"absurde, montrer que`= 1.Démonstration.
Supposons par l"absurde que`6= 1.
D"après les questions précédentes, on a :0< ` <1,
0< xn6`et donc, par croissance de la fonction élévation à la puissance
nsur]0;+1[, on en déduit que :06xnn6`n. Or : `n!n!+10car0< ` <1,0!n!+10.
Ainsi, par le théorème d"encadrement, on a :xnn!n!+10. Or :xnn= 1xn. Par passage à la limite dans cette égalité, on en déduit que :0 = 1`et ainsi que`= 1.Ceci contredit l"hypothèse`6= 1.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 5
ECE2-B2017-2018Exercice 4(☀☀)(d"aprèsEDHEC 2008) Pour tout entier naturelnnon nul, on considèrefn:x7!11 +ex+nx. On appelle(Cn)sa courbe représentative dans un repère orthogonal(O;!i;!j). 1) a. Déterminer, pour tout réelx,f0n(x)etf00n(x).Démonstration.
Soitn2N. La fonctionfnest définie surRcar1 +ex6= 0pour toutx2R(8x2R,1 +ex>1>0). festC1surR, car somme de : x7!11 +exC1surRcomme inverse de la fonctionx7!1+exqui est elle-mêmeC1surRet qui ne s"annule pas sur cet intervalle. x7!nx C1surRcar polynomiale. f0n(x) =(1 +ex)2ex+nf
00n(x) = (2(1 +ex)3ex(1 +ex)2)exb.En déduire que la fonctionfnest strictement croissante surR.
Démonstration.
Afin de déterminer le signe def0n, on dresse son tableau de variations. Pour ce faire, on doit au préalable déterminer le signe de sa dérivée, f 00n. f00n(x)>0
,2(1 +ex)3ex(1 +ex)2>0 ,2(1 +ex)3ex>(1 +ex)2 ,2ex>(1 +ex) ,ex>1 ,x>0D"où le tableau de variations suivant.x f00n(x)f
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] équivalents usuels
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