[PDF] Chapitre 4. Suites et séries réelles

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Chapitre 4. Suites et s´eries r´eelles

Table des mati`eres

1 Rappels sur les fonctions2

1.1 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Fonction exponentielle :f(x) =ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Polynˆomes et fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Croissances compar´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Limites usuelles issues du calcul des d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Rappels sur les d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2 Equation de la tangente `a la courbe defen un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.3 D´eriv´ees et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.4 D´eriv´ees d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.5 Convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 In´egalit´e des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Suites r´eelles6

2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Equivalence et n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Suite d´efinie par son terme g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Rappels sur les suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.2 Th´eor`emes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.3 M´ethode d"´etude d"une suite r´ecurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Suites d´efinies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Suites d´efinies par :unest solution de l"´equationf(x) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.2 Suites d´efinies par :unest solution de l"´equationf(x) =1n

. . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.3 Suites d´efinies par :unest solution de l"´equationfn(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Suites d´efinies par une relation de r´ecurrence lin´eaire `a deux termes . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7 Suites d´efinies par une int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8 Suites et alg`ebre lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 S´eries r´eelles9

3.1 G´en´eralit´es sur les s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 S´eries usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 S´erie harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 S´erie harmonique altern´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.3 S´eries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.4 S´eries g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.5 S´eries associ´ees `a des s´eries g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.6 S´erie de terme g´en´eralxnn!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Etude des s´eries `a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 S´eries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

2

1 Rappels sur les fonctions

1.1 Fonctions usuelles

1.1.1 Logarithme n´ep´erien

D´efinition 1 :La fonctionlnest la primitive surR?+de la fonction inverse, qui s"annule en 1.

Propri´et´es :ln(ab) = lna+ lnbln

?ab = lna-lnbLimites :lim x→0+lnx=-∞lim x→+∞lnx= +∞lim x→+∞lnxx = 0La courbe de la fonctionlnadmet unebranche paraboliquede directionOx.

Tangente au point (1,0) :y=x-1

Convexit´e :f??(x) =-1x

2, donc la fonctionlnest concave sur son ensemble de d´efinition. Par cons´equent la

courbe est en dessous de ses tangentes, et en particulier :

1.1.2 Fonction exponentielle :f(x) =ex

D´efinition 2 :fest la fonction r´eciproque de la fonctionln:y=ex?x=ln(y)

Propri´etes :

•fest d´efinie surRet `a valeurs dansR?+. •e a+b=eaeb(ex)a=eaxet en particulier :e -x=1e xLimites :lim x→-∞ex= 0lim x→+∞ex= +∞lim x→+∞e xx = +∞lim

x→-∞xex= 0La courbe de la fonction exponentielle admet unebranche paraboliquede directionOy.

Tangente au point (0,1) :y=x+ 1

Convexit´e :f??(x) =ex, donc la fonction exponentielle est convexe surR. Par cons´equent la courbe est au

dessus de ses tangentes, et en particulier : ?x?Rex≥x+ 1

1.1.3 Exponentielle de basea

D´efinition 3 :Soitaun r´eel strictement positif. L"exponentielle de baseaest la fonctionfad´efinie par :

f a(x) =ax=exln(a)

Propri´et´es :

•Sia >1 alorsfaest croissante surRet les limites sont les mˆemes que pour la fonction exponentielle (de

basee).

•Sia <1 alorsfaest d´ecroissante surRet les limites en plus et moins l"infini sont interverties.

1.1.4 Fonctions puissances

D´efinition 4 :Soitαun r´eel quelconque. On d´efinit surR?+la fonctionfαpar : f

α(x) =xα=eαln(x)

D´eriv´ee :f?α(x) =αxα-1Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

3

•Siα <0 limx→0+fα(x) = +∞et limx→+∞fα(x) = 0 : les deux axes sont asymptotes `a la courbe.

•Siα= 0fαest la fonction constante de valeur 1.

•Si 0< α <1 limx→0+fα(x) = 0 et limx→+∞fα(x) = +∞: La fonction admet un prolongement par

continuit´e en 0. lim x→0f

α(x)x

= limx→0xα-1= +∞donc la courbe admet une tangente verticale au point d"abscisse 0. lim x→+∞f

α(x)x

= limx→+∞xα-1= 0 donc la courbe admet une branche parabolique de directionOx. •Siα= 1fα(x) =x: la courbe repr´esentative defαest la premi`ere bissectrice.

•Siα >1 limx→0+fα(x) = 0 et limx→+∞fα(x) = +∞: La fonction admet un prolongement par continuit´e

en 0. lim x→0f

α(x)x

= limx→0xα-1= 0 donc la courbe admet une tangente horizontale au point d"abscisse 0. lim x→+∞f

α(x)x

= limx→+∞xα-1= +∞donc la courbe admet une branche parabolique de directionOy. Exercice :Repr´esenter graphiquement les fonctionsfαcorrespondant aux diff´erents cas.

1.2 Limites usuelles

1.2.1 Polynˆomes et fonctions rationnelles

•La limite en +∞(resp. en-∞) d"une fonction polynˆome est ´egale `a celle de son terme de plus haut

degr´e.

•La limite en +∞(resp. en-∞) d"une fonction rationnelle (c"est-`a-dire un quotient de deux fonctions

polynˆomes) est ´egale `a celle du quotient des termes de plus haut degr´e du num´erateur et du d´enominateur.

Exemple :Soitf(x) =x3-6x2+ 4x+ 2x

2-1alors limx→+∞f(x) = limx→+∞x= +∞

Remarque :f(x)≂xquandxtend vers +∞.

On a aussi : lim

x→+∞(f(x)-x) = limx→+∞-6x2+ 5x+ 2x

2-1=-6

La courbe de la fonctionfadmet pour asymptote la droite d"´equation :y=x-6

1.2.2 Croissances compar´ees des fonctions usuelles

Soitαun r´eel strictement positif.lim

x→+∞ln(x)x

α= 0lim

x→+∞e xx

α= +∞lim

x→0xαln(x) = 0lim x→-∞xαex= 01.2.3 Limites usuelles issues du calcul des d´eriv´ees lim x→1ln(x)x-1= 1lim x→0e x-1x = 1lim x→0ln(1 +x)x = 11.2.4 Op´erations sur les limites

On compl`etera les tableaux suivants :?

????gfa+∞-∞ ba+b+∞+∞+∞+∞-∞? ????gf0 +a+∞0 +b ????gf0 +a+∞0 +b

+∞Somme defetgProduit defetg,a >0,b >0 Quotient defetg,a >0,b >0Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

4

1.3 Bijections

Th´eor`eme 1 : Th´eor`eme fondamental de l"analyse•Si une fonctionfestcontinueetstrictement monotonesur un intervalleI, elle d´efinitune bijection deIvers l"intervalle image deIparf, not´eJ.•La restriction def`a l"intervalleIadmet donc une application r´eciproque qui est une bijectiondeJversI, etf-1a mˆeme sens de variation surJquefsurI.•Si un r´eelαappartient `aJ, l"´equationf(x) =αadmet une unique solution dans l"intervalleI.En pratique :Apr`es une ´etude des variations def, en g´en´eral `a l"aide de sa d´eriv´ee, on d´etermine un

intervalleIsur lequelfest strictement monotone. De plus sifest d´erivable surI, elle est continue surI. Si

cet intervalle est ferm´e, du typeI= [a,b], alorsJest ferm´e et ses bornes sontf(a) etf(b). S"il est ouvert,

I=]a,b[,Jest ´egalement ouvert et ses bornes sont limx→af(x) et limx→bf(x). Si on ´etudie l"´equationf(x) =α, il reste alors `a d´eterminer siαappartient `aJ.

Th´eor`eme 2 :Soitfune bijection deIversJ, d´erivable surI, alors sa r´eciproquef-1est d´erivable en tout pointydeJtel quef?(f-1(y))?= 0,et (f-1)?(y) =1f

?(f-1(y)=1f ?(x)(On notey=f(x))Exemple :Soitf(x) =ex-e-x2 , alorsf?(x) =ex+e-x2 , doncfest strictement croissante (et continue car d´erivable) surR.

D"apr`es un facile calcul de limites,fest une bijection deRversR. On remarque que (f?(x))2-(f(x))2= 1,

d"o`uf?(x) =?1 + (f(x))2, c"est-`a-dire :f?(f-1(y)) =?1 +y2. On a donc : (f-1)?(y) =1?1 +y2

1.4 Rappels sur les d´eriv´ees

1.4.1 D´efinitions

D´efinition 5 :

•Soit une fonctionfd´efinie sur un intervalleouvertIetx0un ´el´ement deI. La fonctionfest d´erivable

enx0si, et seulement si, le taux d"accroissementf(x)-f(x0)x-x0admet une limite finie quandxtend versx0. Cette limite est le nombre d´eriv´e defenx0, not´ef?(x0).

•Une fonctionfest d´erivable sur un intervalleIsi elle est d´erivable en tout point deI. La fonctionf?qui

`a toutxdeIassocie le nombre d´eriv´e defenxest lad´eriv´eedefsurI.

•Si le taux d"accroissement admet une limite finie quandxtend versx0par valeurssup´erieures(resp.

inf´erieures) la fonction estd´erivable `a droite enx0(resp.d´erivable `a gauche enx0) et on note :

f ?d(x0) = lim x→x+

0f(x)-f(x0)x-x0etf?g(x0) = lim

x→x-

0f(x)-f(x0)x-x0

•Attention: Sifest d´erivable `a droite et d´erivable `a gauche, et sif?d(x0)?=f?g(x0) , alorsfn"est pas

d´erivable enx0.

1.4.2 Equation de la tangente `a la courbe defen un point

Si une fonctionfest d´erivable au pointa, la courbe defadmet au point (a,f(a)) la droite d"´equation :

y-f(a) =f?(a)(x-a)

1.4.3 D´eriv´ees et op´erations

Th´eor`eme 3 :Soient deux fonctionsuetvd´erivables sur un intervalleI. Leur somme et leur produit sont

d´erivables surI, et sivne s"annule pas surI, leur quotient est d´erivable surI, et on a :(u+v)?=u?+v?(uv)?=u?v+v?u?

uv ?=u?v-v?uv

2Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

5

Th´eor`eme 4 :Soitfune fonction d´erivable surIetgune fonction d´erivable sur un intervalleJcontenant

f(I). Alorsg◦fest d´erivable surIet :(g◦f)?(x) =f?(x)·g?◦f(x)Exemples :[f(ax+b)]?=af?(ax+b) et [f(lnx)]?=1x

f?(lnx)

1.4.4 D´eriv´ees d"ordren

D´efinition 6 :

•Soitfune fonction d´erivable surI. Si sa d´eriv´eef?est d´erivable surI, on dit quefest d´erivable deux

fois, etf??= (f?)?est la d´eriv´ee seconde def.

•Soitnun entier naturel tel quen≥2, etfune fonction d´erivablen-1 fois surI. Alorsfest d´erivable

nfois si sa d´eriv´ee d"ordren-1 est d´erivable, et on note : f (n)= (f(n-1))?

Exemple :Sif(x) =1x

,?n?N?f(n)(x) =(-1)nn!x n+1

1.4.5 Convexit´e

D´efinition 7 :SoitIun intervalle sur lequelfest d´erivable deux fois. •Si?x?I f??(x)≥0,festconvexesurI.

•Sif??s"annule et change de signe en un pointx0, la courbe defadmet unpoint d"inflexionen (x0,f(x0)),

c"est-`a-dire que la courbetraverse la tangenteen ce point.

Propri´et´e :Sur un intervalle o`u la fonction est convexe (resp. concave), la courbe estau-dessus(resp.en

dessous) de toutes ses tangentes. Cette propri´et´e peut servir `a d´emontrer certaines in´egalit´es usuelles, voir

paragraphe 1.1.

1.5 Etude des branches infinies

•Asymptote verticale :Si limx→x0f(x) = +∞(ou-∞), la courbe defadmet pour asymptote la droite

d"´equationx=x0.

•Asymptote horizontale :Si limx→+∞f(x) =a, la courbe defadmet pour asymptote la droite d"´equation

y=a. (De mˆeme pour une limite en-∞.)

•Asymptote oblique :Si limx→+∞(f(x)-(ax+b)) = 0, la courbe defadmet pour asymptote la droite

d"´equationy=ax+b. (De mˆeme en-∞.) •Etude d"une branche infinie dans le cas o`ulimx→+∞f(x) = +∞: ?si limx→+∞f(x)x = 0, la courbe admet unebranche paraboliquede directionOx. ?si limx→+∞f(x)x = +∞(ou-∞), la courbe admet unebranche paraboliquede directionOy. ?si limx→+∞f(x)x =a, et que limx→+∞(f(x)-ax) =b, la courbe admet uneasymptote obliqued"´equation y=ax+b. ?si limx→+∞f(x)x =a, et que limx→+∞(f(x)-ax) = +∞(ou-∞), la courbe admet unebranche parabolique de direction la droite d"´equationy=ax.

1.6 In´egalit´e des accroissements finis

vitesse de convergence de ces suites. On peut utiliser une autre version :Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

6 S n=n? i=11i

2 Suites r´eelles

2.1 G´en´eralit´es

D´efinition 8 :Une suite r´eelle est une application deN, ou d"une partie deN, versR:n?→un.

u nest leterme g´en´eralde la suite. La suite elle-mˆeme est not´eeu, ou (un)n?N. D´efinition 9 :La suiteuestcroissante(resp.d´ecroissante) `a partir du rangn0si

D´efinition 10 :La suite (un) estconvergentesi il existe un r´eel?tel que limn→+∞un=?. Elle estdivergente

si cette limite est infinie. D´efinition 11 :La suite (un) estmajor´ee`a partir du rangn0si il existe un r´eelMtel que Elle estminor´ee`a partir du rangn0si il existe un r´eelmtel que?n≥n0un≥m.

Etudier une suite, c"est d´eterminer le comportement de son terme g´en´eralunquandntend vers +∞, en

particulier dire si cette suite est convergente ou divergente. Th´eor`eme 6 :Toute suite croissante et major´ee est convergente, toute suite d´ecroissante et minor´ee est convergente.

Th´eor`eme 7 (th´eor`eme des "gendarmes") :

Soient trois suitesu,v,wtelles que, `a partir d"un certain rang,u

Si tous les termes de la suite, `a partir d"un certain rang, appartiennent `a un certain intervalleI,et que la suite converge vers?, alors??I, ou?est l"une des bornes deI.Th´eor`eme 9 (Compos´ee d"une suite par une fonction continue) :

Si lim

n→+∞un=?et quefest continue sur un intervalle contenant?,alors lim n→+∞f(un) =f(?).Th´eor`eme 10 (suites adjacentes) : Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010 7

Soient deux suitesuetvtelles que•uest croissante etvest d´ecroissante.•limn→+∞(vn-un) = 0.Alors ces deux suites convergent, vers une mˆeme limite.

2.2 Equivalence et n´egligeabilit´e

D´efinition 12 :

•Une suite (un) estn´egligeabledevant une suite (vn) si : limn→+∞u nv n= 0. (Notation :un=◦n→+∞(vn) ou plus simplement :un=◦(vn).)) •Deux suites (un) et (vn) sont´equivalentessi : limn→+∞u nv n= 1. (Notation :un≂n→+∞vnou plus simplement :un≂vn.)

Remarque :on parle en g´en´eral d"´equivalence entre les termes g´en´eraux des deux suites.

Propri´et´es

(1)un≂vn?limn→+∞un= limn→+∞vn. Attention, la r´eciproque est fausse : par exemple 1n n"est pas ´equivalent `a1n 2. (2) siα < β nα=◦(nβ) et1n

β=◦?1n

(3)?α >0 lnn=◦(nα), nα=◦(en), e-n=◦?1n (4) Sivn=◦(un), un+vn≂un. Application: Toute fonction polynˆome ennest ´equivalente `a son terme de plus haut degr´e. (5) un≂vn w n≂tn? ?unwn≂vntnetunw n≂vnt n

Application:

2n2-n+ 35n3+ 6≂25n.

(6)?α?Run≂vn?unα≂vnα. Par exemple :un≂vn?un2≂vn2etun≂vn?⎷u n≂⎷v n. (7) Si lim n→+∞un?= 1, alors :un≂vn?ln(un)≂ln(vn).

Attention, la r´eciproque est fausse.

Exemple :Trouver un ´equivalent simple deln(n2+ 1)ln(n3-3). (R´eponse :23

2.3 Suite d´efinie par son terme g´en´eral

On a :un=f(n), o`ufest une fonction r´eelle de variable r´eelle. Etudier la convergence de (un) revient `a

chercher la limite defen +∞.

2.4 Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence simple

Soit une suiteund´efinie par son premier termeu0et la relation :?n?Nun+1=f(un), o`ufest une fonction deRversR.

2.4.1 Rappels sur les suites usuelles

Les suites arithm´etiques, g´eom´etriques, arithm´etico-g´eom´etriques, sont d´efinies par r´ecurrence, mais on peut

calculer ais´ement leur terme g´en´eral. (1) Suite g´eom´etrique de raisonq:un+1=qun,un=u0qn (2) Suite arithm´etique de raisonr:un+1=un+r,un=u0+nr (3) Suite arithm´etico-g´eom´etrique :un+1=aun+b,un=?+ (u0-?)anavec?=b1-a.

Cette formule n"est pas `a savoir "par coeur", il faut savoir l"´etablir dans chaque cas particulier.Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

8

2.4.2 Th´eor`emes utiles

Th´eor`eme 11 (th´eor`eme "des trois si") :Si (un) est convergente vers une limite?, siun+1=f(un), sifest continuesur un intervalle o`u se trouvent tous les termes de la suite, alorsf(?) =?.Th´eor`eme 12 (variations d"une suite r´ecurrente) :

Sifest croissante sur sur un intervalle o`u se trouvent tous les termes de la suite, alors (un) estmonotone.Pour d´eterminer son sens de variation il suffit de comparer les deux premiers termes.

d´em donc par r´ecurrence la suite est croissante.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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